第第7節(jié)拋物線節(jié)拋物線最新考綱1.了解拋物線的實(shí)際背景，了解拋物線在刻畫(huà)現(xiàn)實(shí)世界和解決實(shí)際問(wèn)題中的作用；2.掌握拋物線的定義、幾何圖形、標(biāo)準(zhǔn)方程及簡(jiǎn)單幾何性質(zhì).1.拋物線的定義(1)平面內(nèi)與一個(gè)定點(diǎn)F和一條定直線l(Fl)的距離 的點(diǎn)的軌跡叫做拋物線.點(diǎn)F叫做拋物線的焦點(diǎn)，直線l叫做拋物線的.(2)其數(shù)學(xué)表達(dá)式：M|MF|d(d為點(diǎn)M到準(zhǔn)線l的距離).知知 識(shí)識(shí) 梳梳 理理相等準(zhǔn)線2.拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程與幾何性質(zhì)圖形標(biāo)準(zhǔn)方程y22px(p0)y22px(p0)x22py(p0)x22py(p0)p的幾何意義：焦點(diǎn)F到準(zhǔn)線l的距離1.思考辨析(在括號(hào)內(nèi)打“”或“”)診診 斷斷 自自 測(cè)測(cè)解析(1)當(dāng)定點(diǎn)在定直線上時(shí)，軌跡為過(guò)定點(diǎn)F與定直線l垂直的一條直線，而非拋物線.(3)拋物線是只有一條對(duì)稱(chēng)軸的軸對(duì)稱(chēng)圖形.答案(1)(2)(3)(4)2.以x1為準(zhǔn)線的拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為() A.y22x B.y22x C.y24x D.y24x拋物線的方程為y24x.答案D3.(2018黃岡聯(lián)考)已知方程y24x表示拋物線，且該拋物線的焦點(diǎn)到直線xm的距離為4，則m的值為()A.5 B.3或5C.2或6 D.6解析拋物線y24x的焦點(diǎn)為F(1，0)，它與直線xm的距離為d|m1|4，m3或5，故選B.答案B4.(選修11P64A4(2)改編)已知拋物線的頂點(diǎn)是原點(diǎn)，對(duì)稱(chēng)軸為坐標(biāo)軸，并且經(jīng)過(guò)點(diǎn)P(2，4)，則該拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為_(kāi).解析很明顯點(diǎn)P在第三象限，所以拋物線的焦點(diǎn)可能在x軸負(fù)半軸上或y軸負(fù)半軸上.當(dāng)焦點(diǎn)在x軸負(fù)半軸上時(shí)，設(shè)方程為y22px(p0)，把點(diǎn)P(2，4)的坐標(biāo)代入得(4)22p(2)，解得p4，此時(shí)拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為y28x；當(dāng)焦點(diǎn)在y軸負(fù)半軸上時(shí)，設(shè)方程為x22py(p0)，此時(shí)拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為x2y.綜上可知，拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為y28x或x2y.答案y28x或x2y5.已知拋物線方程為y28x，若過(guò)點(diǎn)Q(2，0)的直線l與拋物線有公共點(diǎn)，則直線l的斜率的取值范圍是_.解析設(shè)直線l的方程為yk(x2)，代入拋物線方程，消去y整理得k2x2(4k28)x4k20，當(dāng)k0時(shí)，顯然滿(mǎn)足題意；當(dāng)k0時(shí)，(4k28)24k24k264(1k2)0，解得1k0或0k1，因此k的取值范圍是1，1.答案1，1考點(diǎn)一拋物線的定義及應(yīng)用考點(diǎn)一拋物線的定義及應(yīng)用答案(1)C(2)(2，2)【訓(xùn)練1】 (1)動(dòng)圓過(guò)點(diǎn)(1，0)，且與直線x1相切，則動(dòng)圓的圓心的軌跡方程為_(kāi).(2)(2017全國(guó)卷)已知F是拋物線C：y28x的焦點(diǎn)，M是C上一點(diǎn)，F(xiàn)M的延長(zhǎng)線交y軸于點(diǎn)N.若M為FN的中點(diǎn)，則|FN|_.解析(1)設(shè)動(dòng)圓的圓心坐標(biāo)為(x，y)，則圓心到點(diǎn)(1，0)的距離與到直線x1的距離相等，根據(jù)拋物線的定義易知?jiǎng)訄A的圓心的軌跡方程為y24x.(2)如圖，不妨設(shè)點(diǎn)M位于第一象限內(nèi)，拋物線C的準(zhǔn)線交x軸于點(diǎn)A，過(guò)點(diǎn)M作準(zhǔn)線的垂線，垂足為點(diǎn)B，交y軸于點(diǎn)P，PMOF.|MB|MP|BP|3.由拋物線的定義知|MF|MB|3，故|FN|2|MF|6.答案(1)y24x(2)6由題意知，F(xiàn)(2，0)，|FO|AO|2.點(diǎn)M為FN的中點(diǎn)，PMOF，考點(diǎn)二拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程及其性質(zhì)考點(diǎn)二拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程及其性質(zhì)(2)不妨設(shè)拋物線C：y22px(p0)，圓的方程為x2y2r2(r0)，故C的焦點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離為4.答案(1)D(2)B規(guī)律方法1.求拋物線標(biāo)準(zhǔn)方程的常用方法是待定系數(shù)法，其關(guān)鍵是判斷焦點(diǎn)位置、開(kāi)口方向，在方程的類(lèi)型已經(jīng)確定的前提下，由于標(biāo)準(zhǔn)方程只有一個(gè)參數(shù)p，只需一個(gè)條件就可以確定拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程.2.在解決與拋物線的性質(zhì)有關(guān)的問(wèn)題時(shí)，要注意利用幾何圖形的形象、直觀的特點(diǎn)來(lái)解題，特別是涉及焦點(diǎn)、頂點(diǎn)、準(zhǔn)線的問(wèn)題更是如此.【訓(xùn)練2】 (1)如圖，過(guò)拋物線y22px(p0)的焦點(diǎn)F的直線交拋物線于點(diǎn)A，B，交其準(zhǔn)線l于點(diǎn)C，若|BC|2|BF|，且|AF|3，則此拋物線的方程為_(kāi).(2)過(guò)拋物線y24x的焦點(diǎn)F的直線交該拋物線于A，B兩點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn).若|AF|3，則AOB的面積為_(kāi).解析(1)設(shè)A，B在準(zhǔn)線上的射影分別為A1，B1，故|AC|2|AA1|6，從而|BF|1，|AB|4，(2)如圖，由題意知，拋物線的焦點(diǎn)F的坐標(biāo)為(1，0)，又|AF|3，由拋物線定義知，點(diǎn)A到準(zhǔn)線x1的距離為3，所以點(diǎn)A的橫坐標(biāo)為2，將x2代入y24x得y28，考點(diǎn)三直線與拋物線的位置關(guān)系考點(diǎn)三直線與拋物線的位置關(guān)系(多維探究多維探究)命題角度命題角度1直線與拋物線的公共點(diǎn)直線與拋物線的公共點(diǎn)(交點(diǎn)交點(diǎn))問(wèn)題問(wèn)題將其代入y22px整理得px22t2x0，(2)直線MH與C除H以外沒(méi)有其它公共點(diǎn)，理由如下：代入y22px得y24ty4t20，解得y1y22t，即直線MH與C只有一個(gè)公共點(diǎn)，所以除H以外，直線MH與C沒(méi)有其它公共點(diǎn).命題角度命題角度2與拋物線弦長(zhǎng)與拋物線弦長(zhǎng)(中點(diǎn)中點(diǎn))有關(guān)的問(wèn)題有關(guān)的問(wèn)題所以拋物線C的方程為y2x，(2)證明當(dāng)直線MN斜率不存在或斜率為零時(shí)，顯然與拋物線只有一個(gè)交點(diǎn)不滿(mǎn)足題意，所以直線MN(也就是直線l)斜率存在且不為零.因?yàn)辄c(diǎn)P的坐標(biāo)為(1，1)，所以直線OP的方程為yx，點(diǎn)A的坐標(biāo)為(x1，x1).規(guī)律方法1.直線與拋物線的位置關(guān)系和直線與橢圓、雙曲線的位置關(guān)系類(lèi)似，一般要用到根與系數(shù)的關(guān)系.2.有關(guān)直線與拋物線的弦長(zhǎng)問(wèn)題，要注意直線是否過(guò)拋物線的焦點(diǎn).若過(guò)拋物線的焦點(diǎn)，可直接使用公式|AB|x1x2p，若不過(guò)焦點(diǎn)，則必須用一般弦長(zhǎng)公式.3.涉及拋物線的弦長(zhǎng)、中點(diǎn)、距離等相關(guān)問(wèn)題時(shí)，一般利用根與系數(shù)的關(guān)系采用“設(shè)而不求”、“整體代入”等解法.提醒：涉及弦的中點(diǎn)、斜率時(shí)一般用“點(diǎn)差法”求解.【訓(xùn)練3】 (2017全國(guó)卷)已知F為拋物線C：y24x的焦點(diǎn)，過(guò)F作兩條互相垂直的直線l1，l2，直線l1與C交于A，B兩點(diǎn)，直線l2與C交于D，E兩點(diǎn)，則|AB|DE|的最小值為()A.16 B.14 C.12 D.10故|AB|DE|的最小值為16.答案A