2 從位移的合成到向量的加法2.1 向量的加法北京北京廣州廣州上海上海1.1.飛機(jī)從廣州飛往上海飛機(jī)從廣州飛往上海, ,再從上海再從上海飛往北京飛往北京, ,這兩次位移的結(jié)果與飛這兩次位移的結(jié)果與飛機(jī)從廣州直接飛往北京的位移相同機(jī)從廣州直接飛往北京的位移相同嗎？嗎？我們把后面這樣一次位移叫作我們把后面這樣一次位移叫作前面兩次位移的合位移前面兩次位移的合位移. .相同相同A AB BC CD D2.2.在大型生產(chǎn)車間里在大型生產(chǎn)車間里, ,一重物被天車從一重物被天車從A A處搬運(yùn)到處搬運(yùn)到B B處處. .它的實(shí)際位移它的實(shí)際位移AB,AB,可以看作水平可以看作水平運(yùn)動的分位移運(yùn)動的分位移ACAC與豎直運(yùn)動的分與豎直運(yùn)動的分位移位移ADAD的合位移的合位移. .由分位移求合位移由分位移求合位移, ,稱為位移的合成稱為位移的合成. .在上一節(jié)課中我們知道位移是向量，因此位移合在上一節(jié)課中我們知道位移是向量，因此位移合成就是向量的加法，那么向量的加法怎么體現(xiàn)？成就是向量的加法，那么向量的加法怎么體現(xiàn)？符合哪些規(guī)律呢？這就是我們今天要探究的內(nèi)容符合哪些規(guī)律呢？這就是我們今天要探究的內(nèi)容. .1.1.掌握向量加法的概念；能熟練運(yùn)用三角形法則和掌握向量加法的概念；能熟練運(yùn)用三角形法則和平行四邊形法則求幾個向量的和向量平行四邊形法則求幾個向量的和向量. .（重點(diǎn)（重點(diǎn)) )2.2.能準(zhǔn)確表述向量加法的交換律和結(jié)合律，并能熟練能準(zhǔn)確表述向量加法的交換律和結(jié)合律，并能熟練運(yùn)用它們進(jìn)行向量計算運(yùn)用它們進(jìn)行向量計算. . （重點(diǎn)）（重點(diǎn)）3.3.向量加法的概念和向量加法的法則及運(yùn)算律向量加法的概念和向量加法的法則及運(yùn)算律. .（難點(diǎn)）（難點(diǎn)）既然向量的加法可以類比位移的合成，想一想，求既然向量的加法可以類比位移的合成，想一想，求兩個向量的和是否也可以類比前面位移的合成呢？兩個向量的和是否也可以類比前面位移的合成呢？探究點(diǎn)探究點(diǎn)1 1 向量加法的三角形法則向量加法的三角形法則b ba aa,b, 如下圖，已知向量如下圖，已知向量 如何求這兩向量的和？如何求這兩向量的和？這種作法叫作向量求和的這種作法叫作向量求和的三角形法則三角形法則. .A AC C作法作法：1.1.在平面內(nèi)任取一點(diǎn)在平面內(nèi)任取一點(diǎn)A.A.討論：討論：作圖的關(guān)鍵點(diǎn)在哪？作圖的關(guān)鍵點(diǎn)在哪？ 首尾順次相連首尾順次相連. .B Babababa,b類比前面的廣類比前面的廣州至北京的飛州至北京的飛機(jī)位移的合成機(jī)位移的合成再作向量再作向量ACuuu r.(1)(1)同向同向(2)(2)反向反向abab思考：思考：當(dāng)向量當(dāng)向量a a，b b是共線向量時，是共線向量時，a+ba+b又如何作？又如何作？abABBC=AC (3)(3)規(guī)定：規(guī)定：a00aa.ABCBAaCbabABBC=AC A A探究點(diǎn)探究點(diǎn)2 2 向量加法的平行四邊形法則向量加法的平行四邊形法則思考：思考：類比位移的合成方法，作兩向量的和還有類比位移的合成方法，作兩向量的和還有沒有其他的方法呢？沒有其他的方法呢？B BD DC Cb ba a作法：作法： 作作 以以ABAB，ADAD為鄰邊為鄰邊 作平行四邊形，則作平行四邊形，則ABa,ADb, ACab +上述這種方法叫作向量求和的上述這種方法叫作向量求和的平行四邊形法則平行四邊形法則. .思考：思考：這種方法的作圖關(guān)鍵點(diǎn)是什么呢？這種方法的作圖關(guān)鍵點(diǎn)是什么呢？提示：提示：共起點(diǎn)共起點(diǎn). .提升總結(jié)：提升總結(jié)：三角形法則和平行四邊形法則的使用范三角形法則和平行四邊形法則的使用范圍圍. .（1 1）三角形法則適用于任意兩個向量的加法）三角形法則適用于任意兩個向量的加法; ; （2 2）平行四邊形法則適用于不共線的兩個向量的加）平行四邊形法則適用于不共線的兩個向量的加法法. .例例 輪船從港沿東偏北輪船從港沿東偏北 3030方向行駛了方向行駛了40 n mile40 n mile（海里）到達(dá)（海里）到達(dá) B B 處處, ,再由再由B B處沿正北方向行駛處沿正北方向行駛40 n mile40 n mile 到達(dá)到達(dá) C C 處處. .求此時輪船與求此時輪船與A A港的相對位置港的相對位置. .北北A AB B30D D東東CCAB BACACABB ：如如圖圖，設(shè)設(shè), ,分分別別表表示示輪輪船船的的兩兩次次位位移移, ,則則表表示示輪輪船船的的合合位位移移, ,解解. .C C東東北北AB30CRt ADB , ADB 90 , DAB 30 ,|AB| 40 n mile|DB| 20 n mile,|AD| 20 3 n mile 在 中，所以2222RtADC ,ADC90 ,|DC| 60 n mile|AC|AD|DC|(20 3)6040 3 (n mile). 在 中，所以D|AC| 2|AD|,CAD60 所以.因?yàn)橐驗(yàn)榇鸫? : 輪船此時位于輪船此時位于A A港東偏北港東偏北6060，且距，且距A A港港40 n mile 40 n mile 的的C C處處. .3探究點(diǎn)探究點(diǎn)3 3 向量加法的運(yùn)算律向量加法的運(yùn)算律數(shù)的加法滿足交換律與結(jié)合律數(shù)的加法滿足交換律與結(jié)合律 ，即對任意，即對任意a a，bRbR，有，有a+ba+b= =b+ab+a，（，（a+ba+b）+c=a+c=a+（b+cb+c）. .任意向量任意向量 的加法是的加法是否也滿足交換律和結(jié)合律？否也滿足交換律和結(jié)合律？a,b 向量的加法滿足交換律和結(jié)合律向量的加法滿足交換律和結(jié)合律D DA AC CB BA AB BC CD Da+b +c= a+ b+c（）（）A A1 1A A2 2+A+A2 2A A3 3+A+A3 3A A4 4+A+A4 4A A5 5+ +A+ +An-2n-2A An-1n-1+A+An-1n-1A An n = =思考：思考：能否將它推廣至多個向量的求和？能否將它推廣至多個向量的求和？A A1 1A A2 2A A3 3A A1 1A A2 2+A+A2 2A A3 3+A+A3 3A A4 4=_=_A A1 1A A2 2+A+A2 2A A3 3= _= _A A1 1A A2 2A A3 3A A4 4多邊形法則：多邊形法則：n n個首尾順次相接的向量的和等于折個首尾順次相接的向量的和等于折線起點(diǎn)到終點(diǎn)的向量線起點(diǎn)到終點(diǎn)的向量. .13A A 14A A 1nA A解：解：如圖，如圖， 表示表示 ， 表示表示 . .以以O(shè)AOA，OBOB為鄰邊作為鄰邊作OACBOACB，則，則 表示合力表示合力 . .在在RtRtOACOAC中，中， =40N=40N， =30N.=30N.由勾股定理得由勾股定理得例例2 2 兩個力兩個力 和和 同時作用在一個物體上同時作用在一個物體上, ,其中其中 的大小的大小為為40 N,40 N,方向向東方向向東, , 的大小為的大小為30 N,30 N,方向向北方向向北, ,求它們的合力求它們的合力. .東東北北O(jiān) OC COAOB OC 1|OA| |F |2|AC| |OB| |F | 2222|F| |OC|OA|AC|403050(N). 設(shè)合力設(shè)合力 與力與力 的夾角為的夾角為，則，則 所以所以3737. .答：合力大小為答：合力大小為50N50N，方向?yàn)闁|偏北，方向?yàn)闁|偏北3737. .21|F |AC|3tan0.75.4|OA|F | 1F2F 1F2F 1F2FurFF1FF1F2F OB B例例3 3 在小船過河時在小船過河時, ,小船沿垂直河岸方向行駛的速度小船沿垂直河岸方向行駛的速度為為v v1 1=3.46 km/h,=3.46 km/h,河水流動的速度河水流動的速度v v2 2=2.0 km/h.=2.0 km/h.試求試求小船過河實(shí)際航行速度的大小和方向小船過河實(shí)際航行速度的大小和方向. . v v1 1v v2 2解：解：如圖，設(shè)如圖，設(shè) 表示小船垂直于河表示小船垂直于河岸行駛的速度岸行駛的速度, , 表示水流的速度，表示水流的速度，以以O(shè)A,OBOA,OB為鄰邊作為鄰邊作OABCOABC，則，則 就就是小船實(shí)際航行的速度是小船實(shí)際航行的速度. .OAOB OC C CA A12222212RtOBCBC =v3.46 km/ hOB =v2.0 km/ hOCOBBC3.462.04.0km/ hvtan BOC=1.73,BOC60 .v60. ：中，（）.小船實(shí)際的航行速度的大小約為，方向與水流方向約成在在所所以以因因?yàn)闉橐砸源鸫鹚墙?4.0 km/hABCDEFBACDEF . .如圖，在正六邊形如圖，在正六邊形ABCDEFABCDEF中，中， （ ） A A B B C C0BE ADCF 2.2.下列非零向量的運(yùn)算結(jié)果為零向量的是下列非零向量的運(yùn)算結(jié)果為零向量的是( )( )A.A.B. B. C.C.D.D.BC AB PM MN MP BC CA AB CD MP GM PQ QG D D3.試用向量方法證明：對角線互相平分的四試用向量方法證明：對角線互相平分的四邊形必是平行四邊形邊形必是平行四邊形.證明證明AMMC BMMD AD AM MDMC BMBC AD與與 平行且相等平行且相等,BC結(jié)論得證結(jié)論得證.所以ABCDMab因?yàn)橐驗(yàn)?.3.向量加法運(yùn)算律向量加法運(yùn)算律. .1.1.向量加法的三角形法則向量加法的三角形法則（首尾相接）（首尾相接）. .2.2.向量加法的向量加法的平行四邊形法則平行四邊形法則（起點(diǎn)相同）（起點(diǎn)相同）. .4.4.三角形法則推廣為三角形法則推廣為多邊形法則多邊形法則長期的心灰意懶以及煩惱足以致人于貧病枯萎. 布朗