第第2節(jié)節(jié) 兩直線的位置關(guān)系兩直線的位置關(guān)系 最新考綱 1.能根據(jù)兩條直線的斜率判定這兩條直線平行或垂直；2.能用解方程組的方法求兩條相交直線的交點(diǎn)坐標(biāo)；3.掌握兩點(diǎn)間的距離公式、點(diǎn)到直線的距離公式，會(huì)求兩條平行直線間的距離. 1.兩條直線平行與垂直的判定 (1)兩條直線平行 對(duì)于兩條不重合的直線l1，l2，其斜率分別為k1，k2，則有l(wèi)1l2 .特別地，當(dāng)直線l1，l2的斜率都不存在時(shí)，l1與l2 . (2)兩條直線垂直 如果兩條直線l1，l2斜率都存在，設(shè)為k1，k2，則l1l2 ，當(dāng)一條直線斜率為零，另一條直線斜率不存在時(shí)，兩條直線 . 知知 識(shí)識(shí) 梳梳 理理 k1k2 平行 k1 k21 垂直 2.兩直線相交 直線 l1：A1xB1yC10 和 l2：A2xB2yC20 的公共點(diǎn)的坐標(biāo)與方程組A1xB1yC10，A2xB2yC20的解一一對(duì)應(yīng). 相交方程組有 ，交點(diǎn)坐標(biāo)就是方程組的解； 平行方程組 ； 重合方程組有 . 唯一解 無解 無數(shù)個(gè)解 3.距離公式 (1)兩點(diǎn)間的距離公式 平面上任意兩點(diǎn)P1(x1，y1)，P2(x2，y2)間的距離公式為|P1P2| . 特別地，原點(diǎn)O(0，0)與任一點(diǎn)P(x，y)的距離|OP| . (2)點(diǎn)到直線的距離公式 平面上任意一點(diǎn)P0(x0，y0)到直線l：AxByC0的距離d . (3)兩條平行線間的距離公式 一般地，兩條平行直線l1：AxByC10，l2：AxByC20間的距離d . （x2x1）2（y2y1）2 x2y2 |Ax0By0C|A2B2 |C1C2|A2B2 常用結(jié)論與微點(diǎn)提醒 1.直線系方程 (1)與直線AxByC0平行的直線系方程是AxBym0(mR且mC). (2)與直線AxByC0垂直的直線系方程是BxAyn0(nR). 2.在判斷兩條直線的位置關(guān)系時(shí)，首先應(yīng)分析直線的斜率是否存在.若兩條直線都有斜率，可根據(jù)判定定理判斷，若直線無斜率，要單獨(dú)考慮. 3.在運(yùn)用兩平行直線間的距離公式 d|C1C2|A2B2時(shí)，一定要注意將兩方程中 x，y的系數(shù)分別化為相同的形式. 1.思考辨析(在括號(hào)內(nèi)打“”或“”) (1)當(dāng)直線l1和l2的斜率都存在時(shí)，一定有k1k2l1l2.( ) (2)如果兩條直線l1與l2垂直，則它們的斜率之積一定等于1.( ) (3)若兩直線的方程組成的方程組有唯一解，則兩直線相交.( ) (4)直線外一點(diǎn)與直線上一點(diǎn)的距離的最小值就是點(diǎn)到直線的距離.( ) 解析 (1)兩直線l1，l2有可能重合. (2)如果l1l2，若l1的斜率k10，則l2的斜率不存在. 答案 (1) (2) (3) (4) 診診 斷斷 自自 測(cè)測(cè) 答案 C 解析 圓(x1)2y22 的圓心坐標(biāo)為(1，0)，由 yx3 得 xy30，則圓心到直線的距離 d|103|12（1）2 2. 2.圓(x1)2y22 的圓心到直線 yx3 的距離為( ) A.1 B.2 C. 2 D.2 2 3.(2018 高安期中)經(jīng)過拋物線y22x的焦點(diǎn)且平行于直線3x2y50的直線l的方程是( ) A.6x4y30 B.3x2y30 C.2x3y20 D.2x3y10 答案 A 解析 因?yàn)閽佄锞€ y22x 的焦點(diǎn)坐標(biāo)為12，0 ，直線 3x2y50 的斜率為32，所以所求直線 l 的方程為 y32x12，化為一般式，得 6x4y30. 4.直線2x2y10，xy20之間的距離是_. 答案 3 24 解析 先將2x2y10化為xy120， 則兩平行線間的距離為d21223 24. 5.(必修2P89練習(xí)2改編)已知P(2，m)，Q(m，4)，且直線PQ垂直于直線xy10，則m_. 答案 1 解析 由題意知 m42m1，所以 m42m，所以 m1. 考點(diǎn)一考點(diǎn)一 兩直線的平行與垂直兩直線的平行與垂直 【例1】 (一題多解)已知直線l1：ax2y60和直線l2：x(a1)ya210. (1)當(dāng)l1l2時(shí)，求a的值； (2)當(dāng)l1l2時(shí)，求a的值. 解 (1)法一 當(dāng)a1時(shí)，l1：x2y60， l2：x0，l1不平行于l2； 當(dāng)a0時(shí)，l1：y3，l2：xy10，l1不平行于l2； 當(dāng)a1且a0時(shí)， 綜上可知，a1. 兩直線方程可化為 l1：ya2x3，l2：y11ax(a1)， 由 l1l2可得a211a，3（a1），解得 a1. (2)法一 當(dāng)a1時(shí)，l1：x2y60， l2：x0，l1與l2不垂直，故a1不符合； 法二 l1l2，A1A2B1B20, 即a（a1）120，a（a21）160a2a20，a（a21）6a1. 當(dāng) a1 時(shí)，l1：ya2x3，l2：y11ax(a1)， 由 l1l2，得a211a1a23. 即 a2(a1)0，得 a23. 法二 由 l1l2知A1B2A2B10，A1C2A2C10， 規(guī)律方法 1.當(dāng)含參數(shù)的直線方程為一般式時(shí)，若要表示出直線的斜率，不僅要考慮到斜率存在的一般情況，也要考慮到斜率不存在的特殊情況，同時(shí)還要注意x，y的系數(shù)不能同時(shí)為零這一隱含條件. 2.在判斷兩直線的平行、垂直時(shí)，也可直接利用直線方程的系數(shù)間的關(guān)系得出結(jié)論. 【訓(xùn)練1】 (1)已知直線l過圓x2(y3)24的圓心，且與直線xy10垂直，則直線l的方程是( ) A.xy20 B.xy20 C.xy30 D.xy30 (2)設(shè)不同直線l1：2xmy10，l2：(m1)xy10.則“m2”是“l(fā)1l2”的( ) A.充分不必要條件 B.必要不充分條件 C.充要條件 D.既不充分也不必要條件 解析 (1)圓x2(y3)24的圓心為點(diǎn)(0，3)，又因?yàn)橹本€l與直線xy10垂直，所以直線l的斜率k1.由點(diǎn)斜式得直線l：y3x0，化簡(jiǎn)得xy30. (2)當(dāng)m2時(shí)，代入兩直線方程中，易知兩直線平行，即充分性成立. 但當(dāng)m1時(shí)，兩直線重合，不符合要求， 故必要性成立，故選C. 答案 (1)D (2)C 當(dāng) l1l2時(shí)，顯然 m0，從而有2mm1，解得 m2 或 m1， 考點(diǎn)二考點(diǎn)二 兩直線的交點(diǎn)與距離問題兩直線的交點(diǎn)與距離問題 【例 2】 (1)(一題多解)已知直線 ykx2k1 與直線 y12x2 的交點(diǎn)位于第一象限，則實(shí)數(shù) k 的取值范圍是_. (2)(一題多解)直線 l 過點(diǎn) P(1，2)且到點(diǎn) A(2，3)和點(diǎn) B(4，5)的距離相等，則直線 l 的方程為_. (若 2k10，即 k12，則兩直線平行) 交點(diǎn)坐標(biāo)為24k2k1，6k12k1.又交點(diǎn)位于第一象限， 24k2k10，6k12k10，解得16k12. 解析 (1)法一 聯(lián)立方程ykx2k1，y12x2，解得x24k2k1，y6k12k1. 而直線方程ykx2k1可變形為y1k(x2)， 表示這是一條過定點(diǎn)P(2，1)，斜率為k的動(dòng)直線. 兩直線的交點(diǎn)在第一象限， 兩直線的交點(diǎn)必在線段AB上(不包括端點(diǎn))， 動(dòng)直線的斜率k需滿足kPAkkPB. kPA16，kPB12.16k12. 法二 如圖，已知直線 y12x2 與 x 軸、y 軸分別交于點(diǎn) A(4，0)，B(0，2). (2)法一 當(dāng)直線l的斜率存在時(shí)，設(shè)直線l的方程為y2k(x1)， 即kxyk20. 當(dāng)直線l的斜率不存在時(shí)，直線l的方程為x1，也符合題意. 由題意知|2k3k2|k21|4k5k2|k21， 即|3k1|3k3|，k13. 直線 l 的方程為 y213(x1)，即 x3y50. 即x3y50. 當(dāng)l過AB中點(diǎn)時(shí)，AB的中點(diǎn)為(1，4). 直線l的方程為x1. 故所求直線l的方程為x3y50或x1. 答案 (1)16，12 (2)x3y50 或 x1 法二 當(dāng) ABl 時(shí)，有 kkAB13，直線 l 的方程為 y213(x1)， 規(guī)律方法 1.求過兩直線交點(diǎn)的直線方程的方法 求過兩直線交點(diǎn)的直線方程，先解方程組求出兩直線的交點(diǎn)坐標(biāo)，再結(jié)合其他條件寫出直線方程. 2.利用距離公式應(yīng)注意：(1)點(diǎn)P(x0，y0)到直線xa的距離d|x0a|，到直線yb的距離d|y0b|；(2)兩平行線間的距離公式要把兩直線方程中x，y的系數(shù)分別化為相等. 【訓(xùn)練2】 (2018 合肥調(diào)研)設(shè)l1為曲線f(x)exx(e為自然對(duì)數(shù)的底數(shù))的切線，直線l2的方程為2xy30，且l1l2，則直線l1與l2的距離為_. 答案 2 55 解析 由 f(x)exx， 得 f(x)ex1， 設(shè) l1與曲線 f(x)exx 相切的切點(diǎn)為(x1， y1)，直線 l2的方程為 2xy30，且 l1l2，ex112，解得 x10，y11，則直線l1與 l2的距離即為切點(diǎn)到 l2的距離，即|2013|22（1）22 55. 考點(diǎn)三考點(diǎn)三 對(duì)稱問題對(duì)稱問題 【例3】 已知直線l：2x3y10，點(diǎn)A(1，2).求： (1)點(diǎn)A關(guān)于直線l的對(duì)稱點(diǎn)A的坐標(biāo)； (2)直線m：3x2y60關(guān)于直線l的對(duì)稱直線m的方程； (3)(一題多解)直線l關(guān)于點(diǎn)A(1，2)對(duì)稱的直線l的方程. 解 (1)設(shè) A(x，y)，再由已知y2x1231，2x123y2210， 解得x3313，y413，A3313，413. (2)在直線m上取一點(diǎn)，如M(2，0)，則M(2，0)關(guān)于直線l的對(duì)稱點(diǎn)必在m上. 設(shè)對(duì)稱點(diǎn)為M(a，b)， 又m經(jīng)過點(diǎn)N(4，3)， 由兩點(diǎn)式得直線方程為9x46y1020. 設(shè) m 與 l 的交點(diǎn)為 N，則由2x3y10，3x2y60，得 N(4，3). 則2a223b0210，b0a2231，解得 M613，3013. (3)法一 在l：2x3y10上任取兩點(diǎn)， 如M(1，1)，N(4，3)， 則M，N關(guān)于點(diǎn)A的對(duì)稱點(diǎn)M，N均在直線l上. 易知M(3，5)，N(6，7)，由兩點(diǎn)式可得l的方程為2x3y90. 法二 設(shè)P(x，y)為l上任意一點(diǎn)， 則P(x，y)關(guān)于點(diǎn)A(1，2)的對(duì)稱點(diǎn)為 P(2x，4y)， P在直線l上，2(2x)3(4y)10， 即2x3y90. 規(guī)律方法 1.解決點(diǎn)關(guān)于直線對(duì)稱問題要把握兩點(diǎn)，點(diǎn)M與點(diǎn)N關(guān)于直線l對(duì)稱，則線段MN的中點(diǎn)在直線l上，直線l與直線MN垂直. 2.如果直線或點(diǎn)關(guān)于點(diǎn)成中心對(duì)稱問題，則只需運(yùn)用中點(diǎn)公式就可解決問題. 3.若直線l1，l2關(guān)于直線l對(duì)稱，則有如下性質(zhì)：(1)若直線l1與l2相交，則交點(diǎn)在直線l上；(2)若點(diǎn)B在直線l1上，則其關(guān)于直線l的對(duì)稱點(diǎn)B在直線l2上. 【訓(xùn)練3】 (一題多解)光線沿直線l1：x2y50射入，遇直線l：3x2y70后反射，求反射光線所在的直線方程. 反射點(diǎn)M的坐標(biāo)為(1，2). 又取直線x2y50上一點(diǎn)P(5，0)， 設(shè)P關(guān)于直線l的對(duì)稱點(diǎn)P(x0，y0)， 由 PPl 可知，kPP23y0 x05. 而 PP的中點(diǎn) Q 的坐標(biāo)為x052，y02，又 Q 點(diǎn)在 l 上， 解 法一 由x2y50，3x2y70，得x1，y2. 根據(jù)直線的兩點(diǎn)式方程可得所求反射光線所在直線的方程為29x2y330. 法二 設(shè)直線x2y50上任意一點(diǎn)P(x0，y0)關(guān)于直線l的對(duì)稱點(diǎn)為P(x，y)， 則y0yx0 x23，又 PP的中點(diǎn) Qxx02，yy02在 l 上， 3xx022yy0270， 由y0 x0523，32（x05）y070.得x01713，y03213. 3x0522y0270. 代入方程x2y50中，化簡(jiǎn)得29x2y330， 所求反射光線所在的直線方程為29x2y330. 可得 P 點(diǎn)的橫、縱坐標(biāo)分別為 x05x12y4213，y012x5y2813， 由y0yx0 x23，3xx02（yy0）70.