南京市2016屆高三學(xué)情調(diào)研考試-數(shù)學(xué)參考公式樣本數(shù)據(jù)x1，x2，xn的方差s2 nn(xi)2，其中 nnxi錐體的體積公式：V13Sh，其中S為錐體的底面積，h為錐體的高一、填空題（本大題共14小題，每小題5分，共70分不需要寫出解答過程，請把答案寫在答題紙的指定位置上）1已知集合A1，0，1，2，Bx|x210，則AB_2已知復(fù)數(shù)z滿足：z(1i)24i，其中i為虛數(shù)單位，則復(fù)數(shù)z的模為_3. 某射擊選手連續(xù)射擊5槍命中的環(huán)數(shù)分別為：9.7，9.9，10.1，10.2，10.1，則這組數(shù)據(jù)的方差為_4從2個紅球，2個黃球，1個白球中隨機取出兩個球，則兩球顏色不同的概率是_5已知向量a(1，2)，b(m，4)，且 a(2ab)，則實數(shù)m的值為_6如圖，它是一個算法的流程圖，最后輸出的k值為_ 7如圖，它是函數(shù)f(x)Asin(wxj)(A0，w0，j0，2p) )圖象的一部分，則f (0)的值為_8已知雙曲線1 (a0，b0)的一條漸近線的方程為2xy0，則該雙曲線的離心率為_9直三棱柱ABCA1B1C1的各條棱長均為2，E為棱CC1的中點，則三棱錐A1B1C1E的體積為_10對于直線l，m，平面，m，則“l(fā)m”是“l(fā)”成立的_條件（在“充分不必要”、“必要不充分”、“充要”、“既不充分又不必要”中選填一個）11已知函數(shù)f(x)x3x22ax1，若函數(shù)f(x)在(1，2)上有極值，則實數(shù)的取值范圍為_12已知平行四邊形ABCD中，AD2，BAD60若E為DC中點，且1，則的值為_13已知等比數(shù)列an的公比q1，其前n項和為Sn若S42S21，則S6的最小值為_14在平面直角坐標(biāo)系xOy中，A，B為x軸正半軸上的兩個動點，P（異于原點O）為y軸上的一個定點若以AB為直徑的圓與圓x2(y2)21相外切，且APB的大小恒為定值，則線段OP的長為_二、解答題（本大題共6小題，共90分解答應(yīng)寫出必要的文字說明，證明過程或演算步驟，請把答案寫在答題紙的指定區(qū)域內(nèi)）15（本小題滿分14分）在ABC中，角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，且acosBbcosA（1）求的值；（2）若sinA，求sin(C)的值 16（本小題滿分14分）如圖，在四棱錐PABCD中，底面ABCD為平行四邊形，E為側(cè)棱PA的中點（1）求證：PC / 平面BDE；（2）若PCPA，PDAD，求證：平面BDE平面PAB 17（本小題滿分14分）某市對城市路網(wǎng)進行改造，擬在原有a個標(biāo)段（注：一個標(biāo)段是指一定長度的機動車道）的基礎(chǔ)上，新建x個標(biāo)段和n個道路交叉口，其中n與x滿足nax5已知新建一個標(biāo)段的造價為m萬元，新建一個道路交叉口的造價是新建一個標(biāo)段的造價的k倍（1）寫出新建道路交叉口的總造價y（萬元）與x的函數(shù)關(guān)系式；（2）設(shè)P是新建標(biāo)段的總造價與新建道路交叉口的總造價之比若新建的標(biāo)段數(shù)是原有標(biāo)段數(shù)的20%，且k3問：P能否大于，說明理由 18（本小題滿分16分）已知橢圓1(a>b>0)的離心率e，一條準(zhǔn)線方程為x = 2過橢圓的上頂點A作一條與x軸、y軸都不垂直的直線交橢圓于另一點P，P關(guān)于x軸的對稱點為Q（1）求橢圓的方程；（2）若直線AP，AQ與x軸交點的橫坐標(biāo)分別為m，n，求證：mn為常數(shù)，并求出此常數(shù) 19（本小題滿分16分）已知函數(shù)f(x)ex，g(x)xb，bR （1）若函數(shù)f(x)的圖象與函數(shù)g(x)的圖象相切，求b的值； （2）設(shè)T(x)f(x)ag(x)，aR，求函數(shù)T(x)的單調(diào)增區(qū)間；（3）設(shè)h(x)|g(x)|f(x)，b1若存在x1，x20，1，使|h(x1)h(x2)|1成立，求b的取值范圍 20（本小題滿分16分）已知等差數(shù)列an的前n項和為Sn，且2a5a313，S416 （1）求數(shù)列an的前n項和Sn； （2）設(shè)Tn(1)iai，若對一切正整數(shù)n，不等式Tnan1(1)n1an2n1 恒成立，求實數(shù)的取值范圍； （3）是否存在正整數(shù)m，n(nm2)，使得S2，SmS2，SnSm成等比數(shù)列？若存在，求出所有的m，n；若不存在，說明理由 南京市2016屆高三學(xué)情調(diào)研考試 數(shù)學(xué)附加題 2015.09注意事項：1附加題供選修物理的考生使用2本試卷共40分，考試時間30分鐘3答題前，考生務(wù)必將自己的姓名、學(xué)校寫在答題紙上試題的答案寫在答題紙上對應(yīng)題目的答案空格內(nèi)考試結(jié)束后，交回答題紙21【選做題】在A、B、C、D四小題中只要選做2題，每小題10分，共計20分請在答題紙指定區(qū)域內(nèi)作答解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟A選修41：幾何證明選講在圓O中，AB，CD是互相平行的兩條弦，直線AE與圓O相切于點A，且與CD的延長線交于點E，求證：AD2ABED B選修42：矩陣與變換已知點P(3，1)在矩陣A變換下得到點P(5，1)試求矩陣A和它的逆矩陣A C選修44：坐標(biāo)系與參數(shù)方程在平面直角坐標(biāo)系xOy中，圓C的參數(shù)方程為（為參數(shù)，m為常數(shù)）以原點O為極點，以x軸的非負半軸為極軸的極坐標(biāo)系中，直線l的極坐標(biāo)方程為cos()=若直線l與圓C有兩個公共點，求實數(shù)m的取值范圍 D選修45：不等式選講設(shè)實數(shù)x，y，z滿足x5yz9，求xyz的最小值 【必做題】第22題、第23題，每題10分，共計20分請在答題紙指定區(qū)域內(nèi)作答解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟22（本小題滿分10分）假定某射手射擊一次命中目標(biāo)的概率為現(xiàn)有4發(fā)子彈，該射手一旦射中目標(biāo)，就停止射擊，否則就一直獨立地射擊到子彈用完設(shè)耗用子彈數(shù)為X，求：（1）X的概率分布；（2）數(shù)學(xué)期望E(X) 23（本小題滿分10分）如圖，已知正方形ABCD和矩形ACEF中，AB，CE1，CE平面ABCD（1）求異面直線DF與BE所成角的余弦值； （2）求二面角ADFB的大小 南京市2016屆高三學(xué)情調(diào)研考試 數(shù)學(xué)參考答案及評分標(biāo)準(zhǔn) 2015.09說明：1本解答給出的解法供參考如果考生的解法與本解答不同，可根據(jù)試題的主要考查內(nèi)容比照評分標(biāo)準(zhǔn)制訂相應(yīng)的評分細則2對計算題，當(dāng)考生的解答在某一步出現(xiàn)錯誤時，如果后續(xù)部分的解答未改變該題的內(nèi)容和難度，可視影響的程度決定給分，但不得超過該部分正確解答應(yīng)得分數(shù)的一半；如果后續(xù)部分的解答有較嚴重的錯誤，就不再給分3解答右端所注分數(shù)，表示考生正確做到這一步應(yīng)得的累加分數(shù)4只給整數(shù)分數(shù)，填空題不給中間分數(shù)一、填空題：本大題共14小題，每小題5分，共70分 12 2 30.032 4 5265 7 8 9 10必要不充分 11(，4) 123 1323 14二、解答題：本大題共6小題，共90分15解：（1）由acosBbcosA，得sinAcosBsinBcosA， 3分 即sin(AB)0 因為A，B(0，)，所以AB(，)，所以AB0， 所以ab，即1 6分 （2）因為sinA，且A為銳角，所以cosA 8分 所以sinCsin(2A)sin2A2sinAcosA， 10分 cosCcos(2A)cos2A12sin2A12分 所以sin(C)sinCcoscosCsin14分16證明：（1）連結(jié)AC，交BD于O，連結(jié)OE 因為ABCD是平行四邊形，所以O(shè)AOC2分 因為 E為側(cè)棱PA的中點，所以O(shè)EPC4分 因為PC平面BDE，OE平面BDE，所以PC / 平面BDE6分 （2）因為E為PA中點，PDAD，所以PADE8分 因為PCPA，OEPC，所以PAOE 因為OE平面BDE，DE平面BDE，OEDEE， 所以PA平面BDE12分 因為PA平面PAB，所以平面BDE平面PAB 14分 17解：（1）依題意得 ymknmk(ax5)，xN* 4分 （2）方法一 依題意x0.2a 6分所以P 8分 13分 答：P不可能大于 14分方法二 依題意x0.2a 6分所以P8分假設(shè)P，得ka220a25k0 10分因為k3，所以100(4k2)0，不等式ka220a25k0無解13分 答：P不可能大于 14分18解： 因為， = 2， 所以a，c1，所以b 故橢圓的方程為y21 4分 解法一 設(shè)P點坐標(biāo)為(x1，y1)，則Q點坐標(biāo)為(x1， y1) 因為kAP，所以直線AP的方程為yx1令y = 0，解得m. 8分 因為kAQ，所以直線AQ的方程為yx1 令y0，解得n 12分 所以mn 14分 又因為(x1，y1)在橢圓+ y2 = 1上，所以1 + y= 1，即1y= 1， 所以2，即mn2 所以mn為常數(shù)，且常數(shù)為2 16分解法二 設(shè)直線AP的斜率為k(k0)，則AP的方程為y = kx +1， 令y = 0，得m 6分 聯(lián)立方程組 消去y，得(12k2)x24kx0，解得xA0，xP =， 8分 所以yPkxP1， 則Q點的坐標(biāo)為(，) 10分所以kAQ，故直線AQ的方程為yx1令y0，得n2k， 14分 所以mn()(2k)2 所以mn為常數(shù)，常數(shù)為2 16分19解：(1)設(shè)切點為(t，et)，因為函數(shù)f(x)的圖象與函數(shù)g(x)的圖象相切， 所以et1，且ettb， 解得b1 2分 （2)T(x)exa(xb)，T(x)exa 當(dāng)a0時，T(x)0恒成立 4分 當(dāng)a0時，由T(x)0，得xln(a) 6分 所以，當(dāng)a0時，函數(shù)T(x)的單調(diào)增區(qū)間為(，)； 當(dāng)a0時，函數(shù)T(x)的單調(diào)增區(qū)間為(ln(a)，) 8分（3) h(x)|g(x)|f(x)當(dāng)x>b時，h(x)(xb1) ex0，所以h(x)在(b，)上為增函數(shù)；當(dāng)x<b時，h(x)(xb1) ex，因為b1xb時，h(x)(xb1) ex0，所以h(x)在(b1，b)上是減函數(shù)；因為xb1時， h(x)(xb1) ex0，所以h(x)在(，b1)上是增函數(shù)10分 當(dāng)b0時，h(x)在(0，1)上為增函數(shù)所以h(x)maxh(1)(1b)e，h(x)minh(0)b由h(x)maxh(x)min1，得b1，所以b0 12分當(dāng)0b時，因為bx1時， h(x)(xb1) ex0，所以h(x)在(b，1)上是增函數(shù)，因為0xb時， h(x)(xb1) ex0，所以h(x)在(0，b)上是減函數(shù)所以h(x)maxh(1)(1b)e，h(x)minh(b)0由h(x) maxh(x) min1，得b因為0b，所以0b 14分當(dāng)b1時，同理可得，h(x)在(0，b)上是減函數(shù)，在(b，1)上是增函數(shù)所以h(x)maxh(0)b，h(x)minh(b)0因為b1，所以h(x)maxh(x)min1不成立 綜上，b的取值范圍為(，) 16分20解：(1)設(shè)數(shù)列an的公差為d 因為2a5a313，S416， 所以解得a11，d2，2分 所以an2n1，Sn n2 4分(2)當(dāng)n為偶數(shù)時，設(shè)n2k，kN*，則T2k(a2a1)(a4a3)(a2ka2k1)2k 5分代入不等式Tnan1(1)n1an2n1 ，得2k4k，從而設(shè)f(k)，則f(k1)f(k)因為kN*，所以f(k1)f(k)0，所以f(k)是遞增的，所以f(k)min2，所以2 7分當(dāng)n為奇數(shù)時，設(shè)n2k1，kN*，則T2k1T2k(1)2ka2k2k(4k1)12k 8分代入不等式Tnan1(1)n1an2n1 ，得(12k)(2k1)4k，從而4k因為kN*，所以4k的最大值為4，所以4綜上，的取值范圍為42 10分(3)假設(shè)存在正整數(shù)m，n(nm2)，使得S2，SmS2，SnSm成等比數(shù)列，則(SmS2)2S2(SnSm)，即(m24)24(n2m2)，所以4n2(m22)212，即4n2(m22)212， 12分即(2nm22)(2nm22)12 14分因為nm2，所以n4，m3，所以2nm2215因為2nm22是整數(shù)，所以等式(2nm22)(2nm22)12不成立，故不存在正整數(shù)m，n(nm2)，使得S2，SmS2，SnSm成等比數(shù)列 16分 南京市2016屆高三學(xué)情調(diào)研考試 數(shù)學(xué)附加題參考答案及評分標(biāo)準(zhǔn) 2015.0921【選做題】在A、B、C、D四小題中只能選做2題，每小題10分，共20分 A選修41：幾何證明選講證明：連接BD， 因為直線AE與圓O相切，所以EADABD4分 又因為ABCD， 所以BADADE， 所以EADDBA 8分 從而，所以AD2ABED 10分B選修42：矩陣與變換解：依題意得 13b11，2分所以解得 所以A 6分因為det(A)1(1)021，8分所以A 10分C選修44：坐標(biāo)系與參數(shù)方程解：圓C的普通方程為(xm)2y24 2分直線l的極坐標(biāo)方程化為 (cossin)，即xy，化簡得xy20 4分因為圓C的圓心為C(m，0)，半徑為2，圓心C到直線l的距離d，所以d2， 8分解得22m22 10分D選修45：不等式選講解：由柯西不等式得(xyz)(125212)(1x5y1z)2 6分因為x5yz9，所以xyz3， 8分當(dāng)且僅當(dāng)x，y，z時取等號所以xyz的最小值為3 10分 【必做題】第22題、第23題，每題10分，共20分22解：耗用子彈數(shù)X的所有可能取值為1，2，3，4當(dāng)X1時，表示射擊一次，命中目標(biāo)，則P(X1)； 當(dāng)X2時，表示射擊兩次，第一次未中，第二次射中目標(biāo)，則P(X2)(1)；2分當(dāng)X3時，表示射擊三次，第一次、第二次均未擊中，第三次擊中，則P(X3)(1)(1)； 4分當(dāng)X4時，表示射擊四次，前三次均未擊中，第四次擊中或四次均未擊中，則P(X4)(1)(1)(1)(1)(1)(1)(1) X1234P X的概率分布為 6分(2)E(X)123+4 10分23解：以，為正交基底，建立如圖空間直角坐標(biāo)系Cxyz，則D(，0，0)，F(xiàn)(，1)，E(0，0，1)，B(0，0)，C(0，0，0)，所以(0，1)，(0，1)，2分從而cos<，> 4分所以直線DF與BE所成角的余弦值為5分(2)平面ADF的法向量為m (，0，0).6分設(shè)面BDF的法向量為n = (x，y，z)又(，0，1)由n0，n0，得yz0，xz0，取x1，則y1，z，所以n = (1，1，)，8分所以cos<m，n>又因為<m，n>0，p，所以<m，n>所以二面角A DF B的大小為 10分