第第2節(jié)節(jié) 空間幾何體的表面積與體積空間幾何體的表面積與體積 最新考綱 了解球、棱柱、棱錐、臺的表面積和體積的計算公式. 1.多面體的表(側(cè))面積 多面體的各個面都是平面，則多面體的側(cè)面積就是所有側(cè)面的面積之和，表面積是側(cè)面積與底面面積之和. 知知 識識 梳梳 理理 2.圓柱、圓錐、圓臺的側(cè)面展開圖及側(cè)面積公式 2rl 圓柱 圓錐 圓臺 側(cè)面展開圖 側(cè)面積公式 S圓柱側(cè)_ S圓錐側(cè)_ S圓臺側(cè)_ rl (r1r2)l 3.空間幾何體的表面積與體積公式 名稱 幾何體 表面積 體積 柱體(棱柱和圓柱) S表面積S側(cè)2S底 V 錐體(棱錐和圓錐) S表面積S側(cè)S底 V 臺體(棱臺和圓臺) S表面積S側(cè)S上S下 V13(S上S下 S上S下)h 球 S V S底h 13S底h 4R2 43R3 常用結(jié)論與微點提醒 1.正方體與球的切、接常用結(jié)論 正方體的棱長為 a，球的半徑為 R， 若球為正方體的外接球，則 2R 3a； 若球為正方體的內(nèi)切球，則 2Ra； 若球與正方體的各棱相切，則 2R 2a. 2.長方體的共頂點的三條棱長分別為a， b， c， 外接球的半徑為R， 則2R a2b2c2. 3.正四面體的外接球與內(nèi)切球的半徑之比為 31. 1.思考辨析(在括號內(nèi)打“”或“”) 解析 (1)錐體的體積等于底面面積與高之積的三分之一，故不正確. (2)球的體積之比等于半徑比的立方，故不正確. 答案 (1) (2) (3) (4) (1)錐體的體積等于底面面積與高之積.( ) (2)球的體積之比等于半徑比的平方.( ) (3)臺體的體積可轉(zhuǎn)化為兩個錐體的體積之差.( ) (4)已知球 O 的半徑為 R，其內(nèi)接正方體的邊長為 a，則 R32a.( ) 診診 斷斷 自自 測測 2.(必修2P27練習(xí)1改編)已知圓錐的表面積等于12 cm2，其側(cè)面展開圖是一個半圓，則底面圓的半徑為( ) 解析 由題意，得S表r2rlr2r 2r3r212，解得r24，所以r2(cm). 答案 B A.1 cm B.2 cm C.3 cm D.32 cm 答案 A 解析 設(shè)正方體的棱長為 a，則 a38，解得 a2.設(shè)球的半徑為 R，則 2R 3a，即 R 3.所以球的表面積 S4R212. 3.(2016 全國卷)體積為 8 的正方體的頂點都在同一球面上， 則該球的表面積為( ) A.12 B.323 C.8 D.4 答案 B 解析 如圖畫出圓柱的軸截面 ABCD，O 為球心.球半徑 ROA1，球心到底面圓的距離為 OM12.底面圓半徑 r OA2OM232，故圓柱體積 Vr2 h322134. 4.(2017 全國卷)已知圓柱的高為 1，它的兩個底面的圓周在直徑為 2 的同一個球的球面上，則該圓柱的體積為( ) A. B.34 C.2 D.4 5.(2018 天津河西區(qū)質(zhì)檢)已知一個四棱錐的底面是平行四邊形，該四棱錐的三視圖如圖所示(單位：m)，則該四棱錐的體積為_m3. 答案 2 解析 根據(jù)三視圖可知該四棱錐的底面是底邊長為 2 m，高為 1 m 的平行四邊形，四棱錐的高為 3 m.故該四棱錐的體積 V132132 (m3). 考點一考點一 空間幾何體的表面積空間幾何體的表面積 【例1】 (1)(2016 全國卷)如圖是由圓柱與圓錐組合而成的幾何體的三視圖，則該幾何體的表面積為( ) A.20 B.24 C.28 D.32 (2)(2017 全國卷)某多面體的三視圖如圖所示，其中正視圖和側(cè)視圖都由正方形和等腰直角三角形組成，正方形的邊長為2，俯視圖為等腰直角三角形，該多面體的各個面中有若干個是梯形，這些梯形的面積之和為( ) A.10 B.12 C.14 D.16 解析 (1)幾何體是圓錐與圓柱的組合體，設(shè)圓柱底面圓半徑為r，周長為c，圓錐母線長為l，圓柱高為h. 由三視圖知r2，c2r4，h4. 所以 l 22（2 3）24. 故該幾何體的表面積 S表r2ch12cl416828. 答案 (1)C (2)B (2)由三視圖可畫出直觀圖， 該直觀圖各面內(nèi)只有兩個相同的梯形的面， S梯12(24)26，S全梯6212. 規(guī)律方法 1.由幾何體的三視圖求其表面積：(1)關(guān)鍵是分析三視圖確定幾何體中各元素之間的位置關(guān)系及度量大小.(2)還原幾何體的直觀圖，套用相應(yīng)的面積公式. 2.(1)多面體的表面積是各個面的面積之和；組合體的表面積注意銜接部分的處理. (2)旋轉(zhuǎn)體的表面積問題注意其側(cè)面展開圖的應(yīng)用. 【訓(xùn)練1】 (1)某幾何體的三視圖如圖所示，則該幾何體的表面積等于( ) A.82 2 B.112 2 C.142 2 D.15 A.17 B.18 C.20 D.28 (2)(2016 全國卷)如圖，某幾何體的三視圖是三個半徑相等的圓及每個圓中兩條互相垂直的半徑.若該幾何體的體積是283，則它的表面積是( ) 解析 (1)由三視圖知，該幾何體是一個直四棱柱，上、下底面為直角梯形，如圖所示. 直角梯形斜腰長為 1212 2，所以底面周長為 4 2，側(cè)面積為 2(4 2)82 2，兩底面的面積和為 2121(12)3.所以該幾何體的表面積為 82 23112 2. 答案 (1)B (2)A 其表面積是球面面積的78和三個14圓面積. 設(shè)球的半徑為 R，則7843R3283，R2. 故幾何體的表面積 S784R234R217. (2)由題知，該幾何體的直觀圖如圖所示，它是一個球(被過球心 O 且互相垂直的三個平面)切掉18球所剩的組合體， 考點二考點二 空間幾何體的體積空間幾何體的體積 A.3 B.32 C.1 D.32 【例 2】 (1)如圖所示，正三棱柱 ABCA1B1C1的底面邊長為 2，側(cè)棱長為 3，D為 BC 中點，則三棱錐 AB1DC1的體積為( ) (2)(2016 山東卷)一個由半球和四棱錐組成的幾何體，其三視圖如圖所示.則該幾何體的體積為( ) A.1323 B.1323 C.1326 D.126 答案 (1)C (2)C 解析 (1)如題圖， 在正ABC中， D為BC中點， 則有AD32AB 3， 又平面BB1C1C平面 ABC， ADBC， AD平面 ABC， 由面面垂直的性質(zhì)定理可得 AD平面 BB1C1C，即 AD 為三棱錐 AB1DC1的底面 B1DC1上的高， VAB1DC113SB1DC1 AD13122 3 31. (2)由三視圖知該四棱錐是底面邊長為 1，高為 1 的正四棱錐，結(jié)合三視圖可得半球半徑為22，從而該幾何體的體積為1312112432231326. 規(guī)律方法 1.求三棱錐的體積：等體積轉(zhuǎn)化是常用的方法，轉(zhuǎn)換原則是其高易求，底面放在已知幾何體的某一面上. 2.求不規(guī)則幾何體的體積：常用分割或補形的思想，將不規(guī)則幾何體轉(zhuǎn)化為規(guī)則幾何體以易于求解. 3.若以三視圖的形式給出幾何體，則應(yīng)先根據(jù)三視圖得到幾何體的直觀圖，然后根據(jù)條件求解. 【訓(xùn)練2】 (1)某幾何體的三視圖如圖所示，且該幾何體的體積是3，則正視圖中的x的值是( ) (2)(2018 鄭州質(zhì)檢)已知三棱錐的四個面都是腰長為2的等腰三角形，該三棱錐的正視圖如圖所示，則該三棱錐的體積是_. A.2 B.92 C.32 D.3 答案 (1)D (2)33 (2)由題可知，三棱錐每個面都是腰為 2 的等腰三角形， 由正視圖可得如右俯視圖，且三棱錐高為 h1， 則體積 V13Sh13122 31 133. 解析 (1)由三視圖知，該幾何體是四棱錐，底面是直角梯形，且 S底12(12)23.V13x 33，解得 x3. 考點三考點三 多面體與球的切多面體與球的切、接問題接問題(典例遷移典例遷移) 【例3】 (經(jīng)典母題)(2016 全國卷)在封閉的直三棱柱ABCA1B1C1內(nèi)有一個體積為V的球.若ABBC，AB6，BC8，AA13，則V的最大值是( ) A.4 B.92 C.6 D.323 解析 由ABBC，AB6，BC8，得AC10. 要使球的體積V最大，則球與直三棱柱的部分面相切， 若球與三個側(cè)面相切，設(shè)底面ABC的內(nèi)切圓的半徑為r. 球與三棱柱的上、下底面相切時，球的半徑R最大. 由 2R3，即 R32.故球的最大體積 V43R392. 則126812(6810) r，所以 r2.2r43，不合題意. 答案 B 【遷移探究 】 若本例中的條件變?yōu)椤爸比庵鵄BCA1B1C1的6個頂點都在球O的球面上”，若AB3，AC4，ABAC，AA112，求球O的表面積. 解 將直三棱柱補形為長方體ABECA1B1E1C1， 則球O是長方體ABECA1B1E1C1的外接球. 體對角線BC1的長為球O的直徑. 故S球4R2169. 因此 2R 324212213. 規(guī)律方法 1.與球有關(guān)的組合體問題，一種是內(nèi)切，一種是外接.球與旋轉(zhuǎn)體的組合通常是作它們的軸截面解題，球與多面體的組合，通過多面體的一條側(cè)棱和球心，或“切點”、“接點”作出截面圖，把空間問題化歸為平面問題. 2.若球面上四點P，A，B，C中PA，PB，PC兩兩垂直或三棱錐的三條側(cè)棱兩兩垂直，可構(gòu)造長方體或正方體確定直徑解決外接問題. 【訓(xùn)練3】 (1)(2017 全國卷)已知三棱錐SABC的所有頂點都在球O的球面上，SC是球O的直徑.若平面SCA平面SCB，SAAC，SBBC，三棱錐SABC的體積為9.則球O的表面積為_. (2)(2018 佛山一中月考)已知A，B是球O的球面上兩點，AOB90，C為該球面上的動點.若三棱錐OABC體積的最大值為36，則球O的表面積為( ) A.36 B.64 C.144 D.256 解析 (1)如圖，連接OA，OB， 因為SAAC，SBBC，所以O(shè)ASC，OBSC. 因為平面SAC平面SBC，平面SAC平面SBCSC，且OA平面SAC， 所以O(shè)A平面SBC. 設(shè)球O的半徑為r，則OAOBr，SC2r， 所以 VASBC13SSBCOA13122rrr13r3， 所以13r39r3，所以球 O 的表面積為 4r236. 答案 (1)36 (2)C (2)因為AOB 的面積為定值，所以當(dāng) OC 垂直于平面 AOB 時，三棱錐 OABC 的體積取得最大值.由1312R2R36，得 R6.從而球 O 的表面積 S4R2144.