《（全國(guó)通用）高考數(shù)學(xué)大一輪復(fù)習(xí) 第八章 立體幾何初步 第2節(jié) 空間幾何體的表面積與體積課件 文 新人教A》由會(huì)員分享，可在線閱讀，更多相關(guān)《（全國(guó)通用）高考數(shù)學(xué)大一輪復(fù)習(xí) 第八章 立體幾何初步 第2節(jié) 空間幾何體的表面積與體積課件 文 新人教A（33頁(yè)珍藏版）》請(qǐng)?jiān)谘b配圖網(wǎng)上搜索。

1、第第2節(jié)節(jié) 空間幾何體的表面積與體積空間幾何體的表面積與體積 最新考綱 了解球、棱柱、棱錐、臺(tái)的表面積和體積的計(jì)算公式. 1.多面體的表(側(cè))面積 多面體的各個(gè)面都是平面，則多面體的側(cè)面積就是所有側(cè)面的面積之和，表面積是側(cè)面積與底面面積之和. 知知 識(shí)識(shí) 梳梳 理理 2.圓柱、圓錐、圓臺(tái)的側(cè)面展開(kāi)圖及側(cè)面積公式 2rl 圓柱 圓錐 圓臺(tái) 側(cè)面展開(kāi)圖 側(cè)面積公式 S圓柱側(cè)_ S圓錐側(cè)_ S圓臺(tái)側(cè)_ rl (r1r2)l 3.空間幾何體的表面積與體積公式 名稱(chēng) 幾何體 表面積 體積 柱體(棱柱和圓柱) S表面積S側(cè)2S底 V 錐體(棱錐和圓錐) S表面積S側(cè)S底 V 臺(tái)體(棱臺(tái)和圓臺(tái)) S表面積S

2、側(cè)S上S下 V13(S上S下 S上S下)h 球 S V S底h 13S底h 4R2 43R3 常用結(jié)論與微點(diǎn)提醒 1.正方體與球的切、接常用結(jié)論 正方體的棱長(zhǎng)為 a，球的半徑為 R， 若球?yàn)檎襟w的外接球，則 2R 3a； 若球?yàn)檎襟w的內(nèi)切球，則 2Ra； 若球與正方體的各棱相切，則 2R 2a. 2.長(zhǎng)方體的共頂點(diǎn)的三條棱長(zhǎng)分別為a， b， c， 外接球的半徑為R， 則2R a2b2c2. 3.正四面體的外接球與內(nèi)切球的半徑之比為 31. 1.思考辨析(在括號(hào)內(nèi)打“”或“”) 解析 (1)錐體的體積等于底面面積與高之積的三分之一，故不正確. (2)球的體積之比等于半徑比的立方，故不正確.

3、答案 (1) (2) (3) (4) (1)錐體的體積等于底面面積與高之積.( ) (2)球的體積之比等于半徑比的平方.( ) (3)臺(tái)體的體積可轉(zhuǎn)化為兩個(gè)錐體的體積之差.( ) (4)已知球 O 的半徑為 R，其內(nèi)接正方體的邊長(zhǎng)為 a，則 R32a.( ) 診診 斷斷 自自 測(cè)測(cè) 2.(必修2P27練習(xí)1改編)已知圓錐的表面積等于12 cm2，其側(cè)面展開(kāi)圖是一個(gè)半圓，則底面圓的半徑為( ) 解析 由題意，得S表r2rlr2r 2r3r212，解得r24，所以r2(cm). 答案 B A.1 cm B.2 cm C.3 cm D.32 cm 答案 A 解析 設(shè)正方體的棱長(zhǎng)為 a，則 a38，解

4、得 a2.設(shè)球的半徑為 R，則 2R 3a，即 R 3.所以球的表面積 S4R212. 3.(2016 全國(guó)卷)體積為 8 的正方體的頂點(diǎn)都在同一球面上， 則該球的表面積為( ) A.12 B.323 C.8 D.4 答案 B 解析 如圖畫(huà)出圓柱的軸截面 ABCD，O 為球心.球半徑 ROA1，球心到底面圓的距離為 OM12.底面圓半徑 r OA2OM232，故圓柱體積 Vr2 h322134. 4.(2017 全國(guó)卷)已知圓柱的高為 1，它的兩個(gè)底面的圓周在直徑為 2 的同一個(gè)球的球面上，則該圓柱的體積為( ) A. B.34 C.2 D.4 5.(2018 天津河西區(qū)質(zhì)檢)已知一個(gè)四棱錐的

5、底面是平行四邊形，該四棱錐的三視圖如圖所示(單位：m)，則該四棱錐的體積為_(kāi)m3. 答案 2 解析 根據(jù)三視圖可知該四棱錐的底面是底邊長(zhǎng)為 2 m，高為 1 m 的平行四邊形，四棱錐的高為 3 m.故該四棱錐的體積 V132132 (m3). 考點(diǎn)一考點(diǎn)一 空間幾何體的表面積空間幾何體的表面積 【例1】 (1)(2016 全國(guó)卷)如圖是由圓柱與圓錐組合而成的幾何體的三視圖，則該幾何體的表面積為( ) A.20 B.24 C.28 D.32 (2)(2017 全國(guó)卷)某多面體的三視圖如圖所示，其中正視圖和側(cè)視圖都由正方形和等腰直角三角形組成，正方形的邊長(zhǎng)為2，俯視圖為等腰直角三角形，該多面體的各

6、個(gè)面中有若干個(gè)是梯形，這些梯形的面積之和為( ) A.10 B.12 C.14 D.16 解析 (1)幾何體是圓錐與圓柱的組合體，設(shè)圓柱底面圓半徑為r，周長(zhǎng)為c，圓錐母線長(zhǎng)為l，圓柱高為h. 由三視圖知r2，c2r4，h4. 所以 l 22（2 3）24. 故該幾何體的表面積 S表r2ch12cl416828. 答案 (1)C (2)B (2)由三視圖可畫(huà)出直觀圖， 該直觀圖各面內(nèi)只有兩個(gè)相同的梯形的面， S梯12(24)26，S全梯6212. 規(guī)律方法 1.由幾何體的三視圖求其表面積：(1)關(guān)鍵是分析三視圖確定幾何體中各元素之間的位置關(guān)系及度量大小.(2)還原幾何體的直觀圖，套用相應(yīng)的面積公

7、式. 2.(1)多面體的表面積是各個(gè)面的面積之和；組合體的表面積注意銜接部分的處理. (2)旋轉(zhuǎn)體的表面積問(wèn)題注意其側(cè)面展開(kāi)圖的應(yīng)用. 【訓(xùn)練1】 (1)某幾何體的三視圖如圖所示，則該幾何體的表面積等于( ) A.82 2 B.112 2 C.142 2 D.15 A.17 B.18 C.20 D.28 (2)(2016 全國(guó)卷)如圖，某幾何體的三視圖是三個(gè)半徑相等的圓及每個(gè)圓中兩條互相垂直的半徑.若該幾何體的體積是283，則它的表面積是( ) 解析 (1)由三視圖知，該幾何體是一個(gè)直四棱柱，上、下底面為直角梯形，如圖所示. 直角梯形斜腰長(zhǎng)為 1212 2，所以底面周長(zhǎng)為 4 2，側(cè)面積為 2

8、(4 2)82 2，兩底面的面積和為 2121(12)3.所以該幾何體的表面積為 82 23112 2. 答案 (1)B (2)A 其表面積是球面面積的78和三個(gè)14圓面積. 設(shè)球的半徑為 R，則7843R3283，R2. 故幾何體的表面積 S784R234R217. (2)由題知，該幾何體的直觀圖如圖所示，它是一個(gè)球(被過(guò)球心 O 且互相垂直的三個(gè)平面)切掉18球所剩的組合體， 考點(diǎn)二考點(diǎn)二 空間幾何體的體積空間幾何體的體積 A.3 B.32 C.1 D.32 【例 2】 (1)如圖所示，正三棱柱 ABCA1B1C1的底面邊長(zhǎng)為 2，側(cè)棱長(zhǎng)為 3，D為 BC 中點(diǎn)，則三棱錐 AB1DC1的體

9、積為( ) (2)(2016 山東卷)一個(gè)由半球和四棱錐組成的幾何體，其三視圖如圖所示.則該幾何體的體積為( ) A.1323 B.1323 C.1326 D.126 答案 (1)C (2)C 解析 (1)如題圖， 在正ABC中， D為BC中點(diǎn)， 則有AD32AB 3， 又平面BB1C1C平面 ABC， ADBC， AD平面 ABC， 由面面垂直的性質(zhì)定理可得 AD平面 BB1C1C，即 AD 為三棱錐 AB1DC1的底面 B1DC1上的高， VAB1DC113SB1DC1 AD13122 3 31. (2)由三視圖知該四棱錐是底面邊長(zhǎng)為 1，高為 1 的正四棱錐，結(jié)合三視圖可得半球半徑為22

10、，從而該幾何體的體積為1312112432231326. 規(guī)律方法 1.求三棱錐的體積：等體積轉(zhuǎn)化是常用的方法，轉(zhuǎn)換原則是其高易求，底面放在已知幾何體的某一面上. 2.求不規(guī)則幾何體的體積：常用分割或補(bǔ)形的思想，將不規(guī)則幾何體轉(zhuǎn)化為規(guī)則幾何體以易于求解. 3.若以三視圖的形式給出幾何體，則應(yīng)先根據(jù)三視圖得到幾何體的直觀圖，然后根據(jù)條件求解. 【訓(xùn)練2】 (1)某幾何體的三視圖如圖所示，且該幾何體的體積是3，則正視圖中的x的值是( ) (2)(2018 鄭州質(zhì)檢)已知三棱錐的四個(gè)面都是腰長(zhǎng)為2的等腰三角形，該三棱錐的正視圖如圖所示，則該三棱錐的體積是_. A.2 B.92 C.32 D.3 答案

11、 (1)D (2)33 (2)由題可知，三棱錐每個(gè)面都是腰為 2 的等腰三角形， 由正視圖可得如右俯視圖，且三棱錐高為 h1， 則體積 V13Sh13122 31 133. 解析 (1)由三視圖知，該幾何體是四棱錐，底面是直角梯形，且 S底12(12)23.V13x 33，解得 x3. 考點(diǎn)三考點(diǎn)三 多面體與球的切多面體與球的切、接問(wèn)題接問(wèn)題(典例遷移典例遷移) 【例3】 (經(jīng)典母題)(2016 全國(guó)卷)在封閉的直三棱柱ABCA1B1C1內(nèi)有一個(gè)體積為V的球.若ABBC，AB6，BC8，AA13，則V的最大值是( ) A.4 B.92 C.6 D.323 解析 由ABBC，AB6，BC8，得A

12、C10. 要使球的體積V最大，則球與直三棱柱的部分面相切， 若球與三個(gè)側(cè)面相切，設(shè)底面ABC的內(nèi)切圓的半徑為r. 球與三棱柱的上、下底面相切時(shí)，球的半徑R最大. 由 2R3，即 R32.故球的最大體積 V43R392. 則126812(6810) r，所以 r2.2r43，不合題意. 答案 B 【遷移探究 】 若本例中的條件變?yōu)椤爸比庵鵄BCA1B1C1的6個(gè)頂點(diǎn)都在球O的球面上”，若AB3，AC4，ABAC，AA112，求球O的表面積. 解 將直三棱柱補(bǔ)形為長(zhǎng)方體ABECA1B1E1C1， 則球O是長(zhǎng)方體ABECA1B1E1C1的外接球. 體對(duì)角線BC1的長(zhǎng)為球O的直徑. 故S球4R216

13、9. 因此 2R 324212213. 規(guī)律方法 1.與球有關(guān)的組合體問(wèn)題，一種是內(nèi)切，一種是外接.球與旋轉(zhuǎn)體的組合通常是作它們的軸截面解題，球與多面體的組合，通過(guò)多面體的一條側(cè)棱和球心，或“切點(diǎn)”、“接點(diǎn)”作出截面圖，把空間問(wèn)題化歸為平面問(wèn)題. 2.若球面上四點(diǎn)P，A，B，C中PA，PB，PC兩兩垂直或三棱錐的三條側(cè)棱兩兩垂直，可構(gòu)造長(zhǎng)方體或正方體確定直徑解決外接問(wèn)題. 【訓(xùn)練3】 (1)(2017 全國(guó)卷)已知三棱錐SABC的所有頂點(diǎn)都在球O的球面上，SC是球O的直徑.若平面SCA平面SCB，SAAC，SBBC，三棱錐SABC的體積為9.則球O的表面積為_(kāi). (2)(2018 佛山一中月考

14、)已知A，B是球O的球面上兩點(diǎn)，AOB90，C為該球面上的動(dòng)點(diǎn).若三棱錐OABC體積的最大值為36，則球O的表面積為( ) A.36 B.64 C.144 D.256 解析 (1)如圖，連接OA，OB， 因?yàn)镾AAC，SBBC，所以O(shè)ASC，OBSC. 因?yàn)槠矫鍿AC平面SBC，平面SAC平面SBCSC，且OA平面SAC， 所以O(shè)A平面SBC. 設(shè)球O的半徑為r，則OAOBr，SC2r， 所以 VASBC13SSBCOA13122rrr13r3， 所以13r39r3，所以球 O 的表面積為 4r236. 答案 (1)36 (2)C (2)因?yàn)锳OB 的面積為定值，所以當(dāng) OC 垂直于平面 AOB 時(shí)，三棱錐 OABC 的體積取得最大值.由1312R2R36，得 R6.從而球 O 的表面積 S4R2144.