高考導(dǎo)航 1.立體幾何初步是高考的重要內(nèi)容，幾乎每年都考查一個(gè)解答題，兩個(gè)選擇或填空題，客觀題主要考查空間概念，三視圖及簡(jiǎn)單計(jì)算；解答題主要采用“論證與計(jì)算”相結(jié)合的模式，即利用定義、公理、定理證明空間線線、線面、面面平行或垂直，并與幾何體的性質(zhì)相結(jié)合考查幾何體的計(jì)算；2.重在考查學(xué)生的空間想象能力、邏輯推理論證能力及數(shù)學(xué)運(yùn)算能力.考查的熱點(diǎn)是以幾何體為載體的垂直、平行的證明、平面圖形的折疊、探索開(kāi)放性問(wèn)題等；同時(shí)考查轉(zhuǎn)化化歸思想與數(shù)形結(jié)合的思想方法. 熱點(diǎn)一熱點(diǎn)一 空間位置關(guān)系與幾何體度量計(jì)算空間位置關(guān)系與幾何體度量計(jì)算(教材教材VS高考高考) 以空間幾何體(主要是柱、錐或簡(jiǎn)單組合體)為載體，通過(guò)空間平行、垂直關(guān)系的論證命制，主要考查公理4及線、面平行與垂直的判定定理與性質(zhì)定理，常與平面圖形的有關(guān)性質(zhì)及體積的計(jì)算等知識(shí)交匯考查，考查學(xué)生的空間想象能力和推理論證能力以及轉(zhuǎn)化與化歸思想，一般以解答題的形式出現(xiàn)，難度中等. 【例 1】 (滿分 12 分)(2017 全國(guó)卷)如圖，四棱錐 PABCD 中，側(cè)面 PAD 為等邊三角形且垂直于底面 ABCD，ABBC12AD，BADABC90 . (1)證明：直線 BC平面 PAD； (2)若PCD 的面積為 2 7，求四棱錐 PABCD 的體積. 教材探源 1.考題源于教材必修2P74習(xí)題2.3B組T2，T4及P62習(xí)題T3，將教材三棱錐改成以四棱錐為載體，考查空間平行與垂直，在問(wèn)題(1)和(2)的前提下設(shè)置求四棱錐的體積，在計(jì)算體積的過(guò)程中，考查面面垂直與線面垂直，可謂合二為一的精彩之作. 2.考題將教材中多個(gè)問(wèn)題整合，采取知識(shí)嫁接，添加數(shù)據(jù)，層層遞進(jìn)設(shè)置問(wèn)題，匠心獨(dú)運(yùn)，考題源于教材高于教材. 滿分解答 (1)證明 在平面ABCD中， 因?yàn)锽ADABC90.所以BCAD， 1分 (得分點(diǎn)1) 又BC平面PAD，AD平面PAD.所以直線BC平面PAD. 3分 (得分點(diǎn)2) (2)解 如圖，取AD的中點(diǎn)M，連接PM，CM， 因?yàn)閭?cè)面PAD為等邊三角形且垂直于底面ABCD，平面PAD平面ABCDAD，PM平面PAD，所以PMAD，PM底面ABCD， 7分 (得分點(diǎn)4) 因?yàn)镃M底面ABCD，所以PMCM. 8分 (得分點(diǎn)5) 由 ABBC12AD 及 BCAD， ABC90 得四邊形 ABCM 為正方形， 則 CMAD. 5 分 (得分點(diǎn) 3) 于是 ABBC2，AD4，PM2 3. 所以四棱錐 PABCD 的體積 V132（24）22 34 3. 12 分 (得分點(diǎn) 7) 設(shè) BCx，則 CMx，CD 2x，PM 3x，PCPD2x， 如圖，取 CD 的中點(diǎn) N，連接 PN.則 PNCD， 所以 PN142x.因?yàn)镻CD 的面積為 2 7，所以12 2x142x2 7， 解得 x2(舍去)或 x2. 10 分 (得分點(diǎn) 6) 得步驟分：在立體幾何類解答題中，對(duì)于證明與計(jì)算過(guò)程中得分點(diǎn)的步驟，有則給分，無(wú)則沒(méi)分，所以對(duì)于得分點(diǎn)步驟一定要寫.如第(1)問(wèn)中的 BCAD，第(2)問(wèn)中 CMAD，PMCM，PN142x 等. 得關(guān)鍵分：解立體幾何類解答題時(shí)，一定要寫清得分關(guān)鍵點(diǎn)，如第(1)問(wèn)中一定要寫出 BC平面 PAD，AD平面 PAD 兩個(gè)條件，否則不能得全分.在第(2)問(wèn)中，證明 PM平面 ABCD 時(shí)，一定寫全三個(gè)條件，如平面 PAD平面 ABCDAD，PMAD 一定要有，否則要扣分.再如第(2)問(wèn)中，一定要分別求出 BC，AD 及 PM，再計(jì)算幾何體的體積. 得計(jì)算分：涉及體積與面積的計(jì)算，正確求得數(shù)據(jù)結(jié)果是關(guān)鍵，如利用面積求線段BC的長(zhǎng)度，否則無(wú)法得分，再者PM及AD的計(jì)算失誤也會(huì)扣去2分，在第(2)問(wèn)的推理中，巧用第(1)問(wèn)結(jié)果，借助BCAD，證明CMAD優(yōu)化解題過(guò)程. 第一步：根據(jù)平面幾何性質(zhì)，證BCAD. 第二步：由線面平行判定定理，證線BC平面PAD. 第三步：判定四邊形ABCM為正方形，得CMAD. 第四步：證明直線PM平面ABCD. 第五步：利用面積求邊BC，并計(jì)算相關(guān)量. 第六步：計(jì)算四棱錐PABCD的體積. 【訓(xùn)練1】 (2015 全國(guó)卷)如圖，四邊形ABCD為菱形，G是AC與BD的交點(diǎn)，BE平面ABCD. (1)證明 因?yàn)樗倪呅蜛BCD為菱形，所以ACBD. 因?yàn)锽E平面ABCD，AC平面ABCD， 所以ACBE，且BEBDB，故AC平面BED. 又AC平面AEC，所以平面AEC平面BED. (1)證明：平面 AEC平面 BED； (2)若ABC120 ，AEEC，三棱錐 EACD 的體積為63，求該三棱錐的側(cè)面積. (2)解 設(shè)ABx，在菱形ABCD中，由ABC120， 由BE平面ABCD，BG平面ABCD知BEBG， 因?yàn)?AEEC，所以在 Rt AEC 中，可得 EG32x. 故三棱錐 EACD 的側(cè)面積為 32 5. 故EBG 為直角三角形，可得 BE22x. 由已知得，三棱錐 EACD 的體積 VEACD1312AC GD BE624x363，故 x2. 可得 AGGC32x，GBGDx2. 所以EAC 的面積為 3，EAD 的面積與ECD 的面積均為 5. 從而可得 AEECED 6. 熱點(diǎn)二熱點(diǎn)二 平面圖形折疊成空間幾何體平面圖形折疊成空間幾何體 先將平面圖形折疊成空間幾何體，再以其為載體研究其中的線、面間的位置關(guān)系與計(jì)算有關(guān)的幾何量是近幾年高考考查立體幾何的一類重要考向，它很好地將平面圖形拓展成空間圖形，同時(shí)也為空間立體圖形向平面圖形轉(zhuǎn)化提供了具體形象的途徑，是高考深層次上考查空間想象能力的主要方向. 【例2】 (2016 全國(guó)卷)如圖，菱形ABCD的對(duì)角線AC與BD交于點(diǎn)O，點(diǎn)E，F(xiàn)分別在AD，CD上，AECF，EF交BD于點(diǎn)H，將DEF沿EF折到DEF的位置. (1)證明：ACHD； (2)若 AB5，AC6，AE54，OD2 2，求五棱錐 DABCFE 的體積. (1)證明 由已知得ACBD，ADCD， 由此得EFHD，故EFHD，所以ACHD. (2)解 由 EFAC 得OHDOAEAD14. 由 AB5，AC6 得 DOBO AB2AO24， 所以 OH1，DHDH3，于是 OD2OH2(2 2)2129DH2，故 ODOH. 又由 AECF 得AEADCFCD，故 ACEF， 由(1)知ACHD，又ACBD，BDHDH， 所以AC平面BHD，于是ACOD， 又由ODOH，ACOHO，所以O(shè)D平面ABC. 五邊形 ABCFE 的面積 S126812923694. 所以五棱錐 DABCFE 的體積 V136942 223 22. 又由EFACDHDO得 EF92. 探究提高 1.(1)利用AC與EF平行，轉(zhuǎn)化為證明EF與HD垂直；(2)求五棱錐的體積需先求棱錐的高及底面的面積，結(jié)合圖形特征可以發(fā)現(xiàn)OD是棱錐的高，而底面的面積可以利用菱形ABCD與DEF面積的差求解，這樣就將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為證明OD與底面垂直以及求DEF的面積問(wèn)題了. 2.解決與折疊有關(guān)的問(wèn)題的關(guān)鍵是搞清折疊前后的變化量和不變量，一般情況下，線段的長(zhǎng)度是不變量，而位置關(guān)系往往會(huì)發(fā)生變化，抓住不變量是解決問(wèn)題的突破口. 【訓(xùn)練2】 如圖，直角三角形ABC中，A60，沿斜邊AC上的高BD將ABD折起到PBD的位置，點(diǎn)E在線段CD上. (1)求證：PEBD； (2)過(guò)點(diǎn) D 作 DMBC 交 BC 于點(diǎn) M， 點(diǎn) N 為 PB 的中點(diǎn)， 若 PE平面 DMN， 求DEDC的值. (1)證明 BDPD，BDCD，且PDCDD，PD，CD平面PCD， BD平面PCD.又PE平面PCD，BDPE. 取BC的中點(diǎn)F，則PFMN. 又PF平面DMN，MN平面DMN， PF平面DMN. 由條件PE平面DMN，PEPFP， 平面PEF平面DMN， EFDM，DEDCMFMC13. (2)解 由題意，得 BM14BC. 熱點(diǎn)三熱點(diǎn)三 線線、面位置關(guān)系中的開(kāi)放存在性問(wèn)題面位置關(guān)系中的開(kāi)放存在性問(wèn)題 【例3】 (2018 北京海淀模擬)如圖，在四棱錐PABCD中，底面ABCD是矩形，PAPD，PAAB，N是棱AD的中點(diǎn). (1)求證：平面PAB平面PAD. (2)求證：PN平面ABCD. (3)在棱BC上是否存在動(dòng)點(diǎn)E，使得BN平面DEP？并說(shuō)明理由. (1)證明 在矩形ABCD中，ABAD， 又因?yàn)锳BPA且PAADA， 所以AB平面PAD. 又因?yàn)锳B平面PAB， 所以平面PAB平面PAD. (2)證明 在PAD中，PAPD，N是棱AD的中點(diǎn)，所以PNAD.由(1)知AB平面PAD，且PN平面PAD，所以ABPN. 又因?yàn)锳BADA，所以PN平面ABCD. (3)解 在棱BC上存在點(diǎn)E，使得BN平面DEP，此時(shí)E為BC的中點(diǎn). 證明如下： 取BC中點(diǎn)E，連接PE，DE. 在矩形ABCD中，NDBE，NDBE， 所以四邊形BNDE是平行四邊形，則BNDE. 又因?yàn)锽N平面DEP，DE平面DEP， 所以BN平面DEP. 探究提高 1.在立體幾何的平行關(guān)系問(wèn)題中，“中點(diǎn)”是經(jīng)常使用的一個(gè)特殊點(diǎn)，通過(guò)找“中點(diǎn)”，連“中點(diǎn)”，即可出現(xiàn)平行線，而線線平行是平行關(guān)系的根本. 2.例3第(3)問(wèn)是探索開(kāi)放性問(wèn)題，采用了先猜后證，即先觀察與嘗試給出條件再加以證明，對(duì)于命題結(jié)論的探索，常從條件出發(fā)，探索出要求的結(jié)論是什么，對(duì)于探索結(jié)論是否存在，求解時(shí)常假設(shè)結(jié)論存在，再尋找與條件相容或者矛盾的結(jié)論. 【訓(xùn)練3】 (2018 邯鄲模擬)如圖，直三棱柱ABCA1B1C1中，D，E分別是棱BC，AB的中點(diǎn)，點(diǎn)F在棱CC1上，已知ABAC，AA13，BCCF2. (1)求證：C1E平面ADF. (2)設(shè)點(diǎn)M在棱BB1上，當(dāng)BM為何值時(shí)，平面CAM平面ADF. (1)證明 連接CE交AD于O，連接OF. 因?yàn)镃E，AD為ABC的中線，則O為ABC的重心， 因?yàn)镺F平面ADF，C1E平面ADF， 所以C1E平面ADF. 故CFCC1COCE23，故 OFC1E， (2)解 當(dāng)BM1時(shí)，平面CAM平面ADF. 證明如下：因?yàn)锳BAC，D是BC中點(diǎn)， 故ADBC，在直三棱柱ABCA1B1C1中，BB1平面ABC，BB1平面B1BCC1， 故平面B1BCC1平面ABC. 又平面B1BCC1平面ABCBC，AD平面ABC， 所以AD平面B1BCC1，CM平面B1BCC1，故ADCM. 又BM1，BC2，CD1，F(xiàn)C2， 故CBMFCD. 易證CMDF，DFADD，故CM平面ADF. 又CM平面CAM，故平面CAM平面ADF.