第第5節(jié)直線、平面垂直的判定及其性質(zhì)節(jié)直線、平面垂直的判定及其性質(zhì)最新考綱1.以立體幾何的定義、公理和定理為出發(fā)點(diǎn)，認(rèn)識(shí)和理解空間中線面垂直的有關(guān)性質(zhì)與判定定理；2.能運(yùn)用公理、定理和已獲得的結(jié)論證明一些空間圖形的垂直關(guān)系的簡(jiǎn)單命題.1.直線與平面垂直(1)直線和平面垂直的定義如果一條直線l與平面內(nèi)的直線都垂直，就說(shuō)直線l與平面互相垂直.知知 識(shí)識(shí) 梳梳 理理任意(2)判定定理與性質(zhì)定理兩條相交直線lalbab平行ab2.平面與平面垂直(1)平面與平面垂直的定義兩個(gè)平面相交，如果它們所成的二面角是，就說(shuō)這兩個(gè)平面互相垂直.直二面角(2)判定定理與性質(zhì)定理垂線ll交線alal 常用結(jié)論與微點(diǎn)提醒1.兩個(gè)重要結(jié)論(1)若兩平行線中的一條垂直于一個(gè)平面，則另一條也垂直于這個(gè)平面.(2)若一條直線垂直于一個(gè)平面，則它垂直于這個(gè)平面內(nèi)的任何一條直線(證明線線垂直的一個(gè)重要方法).2.使用線面垂直的定義和線面垂直的判定定理，不要誤解為“如果一條直線垂直于平面內(nèi)的無(wú)數(shù)條直線，就垂直于這個(gè)平面”.3.線線、線面、面面垂直間的轉(zhuǎn)化1.思考辨析(在括號(hào)內(nèi)打“”或“”)(1)直線l與平面內(nèi)的無(wú)數(shù)條直線都垂直，則l.()(2)垂直于同一個(gè)平面的兩平面平行.()(3)若兩平面垂直，則其中一個(gè)平面內(nèi)的任意一條直線垂直于另一個(gè)平面.()(4)若平面內(nèi)的一條直線垂直于平面內(nèi)的無(wú)數(shù)條直線，則.()診診 斷斷 自自 測(cè)測(cè)解析(1)直線l與平面內(nèi)的無(wú)數(shù)條直線都垂直，則有l(wèi)或l與斜交或l或l，故(1)錯(cuò)誤.(2)垂直于同一個(gè)平面的兩個(gè)平面平行或相交，故(2)錯(cuò)誤.(3)若兩個(gè)平面垂直，則其中一個(gè)平面內(nèi)的直線可能垂直于另一平面，也可能與另一平面平行，也可能與另一平面相交，也可能在另一平面內(nèi)，故(3)錯(cuò)誤.(4)若平面內(nèi)的一條直線垂直于平面內(nèi)的所有直線，則，故(4)錯(cuò)誤.答案(1)(2)(3)(4)2.(必修2P73A組T1改編)下列命題中不正確的是()A.如果平面平面，且直線l平面，則直線l平面B.如果平面平面，那么平面內(nèi)一定存在直線平行于平面C.如果平面不垂直于平面，那么平面內(nèi)一定不存在直線垂直于平面D.如果平面平面，平面平面，l，那么l解析根據(jù)面面垂直的性質(zhì)，A不正確，直線l平面或l或直線l與相交.答案A3.(2018湖南六校聯(lián)考)已知m和n是兩條不同的直線，和是兩個(gè)不重合的平面，下面給出的條件中一定能推出m的是()A.且m B.mn且nC.mn且n D.mn且解析由線線平行性質(zhì)的傳遞性和線面垂直的判定定理，可知C正確.答案C4.(2017全國(guó)卷)在正方體ABCDA1B1C1D1中，E為棱CD的中點(diǎn)，則()A.A1EDC1 B.A1EBDC.A1EBC1 D.A1EAC解析如圖，由題設(shè)知，A1B1平面BCC1B1且BC1平面BCC1B1，從而A1B1BC1.又B1CBC1，且A1B1B1CB1，所以BC1平面A1B1CD，又A1E平面A1B1CD，所以A1EBC1.答案C5.邊長(zhǎng)為a的正方形ABCD沿對(duì)角線BD折成直二面角，則折疊后AC的長(zhǎng)為_(kāi).解析如圖所示，取BD的中點(diǎn)O，連接AO，CO，則AOC是二面角ABDC的平面角，即AOC90.答案a考點(diǎn)一線面垂直的判定與性質(zhì)考點(diǎn)一線面垂直的判定與性質(zhì)【例1】 如圖，在四棱錐PABCD中，PA底面ABCD，ABAD，ACCD，ABC60，PAABBC，E是PC的中點(diǎn).證明：(1)CDAE；(2)PD平面ABE.證明(1)在四棱錐PABCD中，PA底面ABCD，CD平面ABCD，PACD，又ACCD，且PAACA，CD平面PAC.而AE平面PAC，CDAE.(2)由PAABBC，ABC60，可得ACPA.E是PC的中點(diǎn)，AEPC.由(1)知AECD，且PCCDC，AE平面PCD.而PD平面PCD，AEPD.PA底面ABCD，AB平面ABCD，PAAB.又ABAD，且PAADA，AB平面PAD，而PD平面PAD，ABPD.又ABAEA，PD平面ABE.規(guī)律方法1.證明直線和平面垂直的常用方法有：(1)判定定理；(2)垂直于平面的傳遞性(ab，ab)；(3)面面平行的性質(zhì)(a，a)；(4)面面垂直的性質(zhì)(，a，la，ll).2.證明線面垂直的核心是證線線垂直，而證明線線垂直則需借助線面垂直的性質(zhì).因此，判定定理與性質(zhì)定理的合理轉(zhuǎn)化是證明線面垂直的基本思想.求證：PACD.證明因?yàn)锳B為圓O的直徑，所以ACCB.由余弦定理得CD2DB2BC22DBBCcos 303，所以CD2DB2BC2，即CDAB.因?yàn)镻D平面ABC，CD平面ABC，所以PDCD，由PDABD得，CD平面PAB，又PA平面PAB，所以PACD.考點(diǎn)二面面垂直的判定與性質(zhì)考點(diǎn)二面面垂直的判定與性質(zhì)【例2】 如圖，在四棱錐PABCD中，ABCD，ABAD，CD2AB，平面PAD底面ABCD，PAAD，E和F分別是CD和PC的中點(diǎn)，求證：(1)PA底面ABCD；(2)BE平面PAD；(3)平面BEF平面PCD.證明(1)平面PAD底面ABCD，且PA垂直于這兩個(gè)平面的交線AD，PA平面PAD，PA底面ABCD.(2)ABCD，CD2AB，E為CD的中點(diǎn)，ABDE，且ABDE.四邊形ABED為平行四邊形.BEAD.又BE平面PAD，AD平面PAD，BE平面PAD.(3)ABAD，而且ABED為平行四邊形.BECD，ADCD，由(1)知PA底面ABCD，CD平面ABCD，PACD，且PAADA，PA，AD平面PAD，CD平面PAD，又PD平面PAD，CDPD.E和F分別是CD和PC的中點(diǎn)，PDEF.CDEF，又BECD且EFBEE，CD平面BEF，又CD平面PCD，平面BEF平面PCD.規(guī)律方法1.證明平面和平面垂直的方法：(1)面面垂直的定義；(2)面面垂直的判定定理.2.已知兩平面垂直時(shí)，一般要用性質(zhì)定理進(jìn)行轉(zhuǎn)化，在一個(gè)平面內(nèi)作交線的垂線，轉(zhuǎn)化為線面垂直，然后進(jìn)一步轉(zhuǎn)化為線線垂直.【訓(xùn)練2】 (2017北京卷)如圖，在三棱錐PABC中，PAAB，PABC，ABBC，PAABBC2，D為線段AC的中點(diǎn)，E為線段PC上一點(diǎn).(1)求證：PABD；(2)求證：平面BDE平面PAC；(3)當(dāng)PA平面BDE時(shí)，求三棱錐EBCD的體積.(1)證明PAAB，PABC，AB平面ABC，BC平面ABC，且ABBCB，PA平面ABC，又BD平面ABC，PABD.(2)證明ABBC，D是AC的中點(diǎn)，BDAC.由(1)知PA平面ABC，PA平面PAC，平面PAC平面ABC.平面PAC平面ABCAC，BD平面ABC，BDAC，BD平面PAC.BD平面BDE，平面BDE平面PAC.(3)解PA平面BDE，又平面BDE平面PACDE，PA平面PAC，PADE.由(1)知PA平面ABC，DE平面ABC.D是AC的中點(diǎn)，E為PC的中點(diǎn)，考點(diǎn)三平行與垂直的綜合問(wèn)題考點(diǎn)三平行與垂直的綜合問(wèn)題(多維探究多維探究)命題角度命題角度1多面體中平行與垂直關(guān)系的證明多面體中平行與垂直關(guān)系的證明【例31】 (2017山東卷)由四棱柱ABCDA1B1C1D1截去三棱錐C1B1CD1后得到的幾何體如圖所示.四邊形ABCD為正方形，O為AC與BD的交點(diǎn)，E為AD的中點(diǎn)，A1E平面ABCD.(1)證明：A1O平面B1CD1；(2)設(shè)M是OD的中點(diǎn)，證明：平面A1EM平面B1CD1.證明(1)取B1D1的中點(diǎn)O1，連接CO1，A1O1，由于ABCDA1B1C1D1是四棱柱，所以A1O1OC，A1O1OC，因此四邊形A1OCO1為平行四邊形，所以A1OO1C，又O1C平面B1CD1，A1O平面B1CD1，所以A1O平面B1CD1.(2)因?yàn)锳CBD，E，M分別為AD和OD的中點(diǎn)，所以EMBD，又A1E平面ABCD，BD平面ABCD，所以A1EBD，因?yàn)锽1D1BD，所以EMB1D1，A1EB1D1，又A1E，EM平面A1EM，A1EEME，所以B1D1平面A1EM，又B1D1平面B1CD1，所以平面A1EM平面B1CD1.規(guī)律方法1.三種垂直的綜合問(wèn)題，一般通過(guò)作輔助線進(jìn)行線線、線面、面面垂直間的轉(zhuǎn)化.2.垂直與平行的結(jié)合問(wèn)題，求解時(shí)應(yīng)注意平行、垂直的性質(zhì)及判定的綜合應(yīng)用.命題角度命題角度2平行垂直中探索性問(wèn)題平行垂直中探索性問(wèn)題【例32】 如圖所示，平面ABCD平面BCE，四邊形ABCD為矩形，BCCE，點(diǎn)F為CE的中點(diǎn).(1)證明：AE平面BDF.(2)點(diǎn)M為CD上任意一點(diǎn)，在線段AE上是否存在點(diǎn)P，使得PMBE？若存在，確定點(diǎn)P的位置，并加以證明；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.(1)證明連接AC交BD于O，連接OF，如圖.四邊形ABCD是矩形，O為AC的中點(diǎn)，又F為EC的中點(diǎn)，OF為ACE的中位線，OFAE，又OF平面BDF，AE平面BDF，AE平面BDF.(2)解當(dāng)P為AE中點(diǎn)時(shí)，有PMBE，證明如下：取BE中點(diǎn)H，連接DP，PH，CH，P為AE的中點(diǎn)，H為BE的中點(diǎn)，PHAB，又ABCD，PHCD，P，H，C，D四點(diǎn)共面.平面ABCD平面BCE，平面ABCD平面BCEBC，CD平面ABCD，CDBC.CD平面BCE，又BE平面BCE，CDBE，BCCE，H為BE的中點(diǎn)，CHBE，又CDCHC，BE平面DPHC，又PM平面DPHC，BEPM，即PMBE.規(guī)律方法1.求條件探索性問(wèn)題的主要途徑：(1)先猜后證，即先觀察與嘗試給出條件再證明；(2)先通過(guò)命題成立的必要條件探索出命題成立的條件，再證明充分性.2.涉及點(diǎn)的位置探索性問(wèn)題一般是先根據(jù)條件猜測(cè)點(diǎn)的位置再給出證明，探索點(diǎn)存在問(wèn)題，點(diǎn)多為中點(diǎn)或三等分點(diǎn)中某一個(gè)，也可以根據(jù)相似知識(shí)建點(diǎn).命題角度命題角度3空間位置關(guān)系與幾何體的度量計(jì)算空間位置關(guān)系與幾何體的度量計(jì)算【例33】 (2017全國(guó)卷)如圖，在四棱錐PABCD中，ABCD，且BAPCDP90.(1)證明由已知BAPCDP90，得ABPA，CDPD.由于ABCD，故ABPD.又PAPDP，PA，PD平面PAD，從而AB平面PAD.又AB平面PAB，所以平面PAB平面PAD.(2)解如圖，在平面PAD內(nèi)作PEAD，垂足為E.由(1)知，AB平面PAD，故ABPE，又ABADA，可得PE平面ABCD.規(guī)律方法1.本題證明的關(guān)鍵是垂直與平行的轉(zhuǎn)化，如由ABCD，CDPD，從而得ABPD，進(jìn)一步證明平面PAB中的AB平面PAD，再運(yùn)用面面垂直的判定定理得出平面PAB平面PAD.2.第(2)問(wèn)先由已知分別求出四棱錐各個(gè)側(cè)面的底邊長(zhǎng)和高，再求出四棱錐的側(cè)面積.其中利用第(1)問(wèn)的結(jié)論得出AB平面PAD，從而進(jìn)一步證明PE平面ABCD，確定四棱錐PABCD的高PE，將空間論證與幾何體的計(jì)算交匯滲透，這是命題的方向.(1)求證：AC平面FBC.(2)求四面體FBCD的體積.(3)線段AC上是否存在點(diǎn)M，使EA平面FDM？若存在，請(qǐng)說(shuō)明其位置，并加以證明；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.所以AC2BC2AB2，所以ACBC.又因?yàn)锳CFB，BCFBB，BC，F(xiàn)B平面FBC，所以AC平面FBC.(2)解因?yàn)锳C平面FBC，F(xiàn)C平面FBC，所以ACFC.因?yàn)镃DFC，ACCDC，所以FC平面ABCD.在等腰梯形ABCD中可得CBDC1，所以FC1.(3)解線段AC上存在點(diǎn)M，且點(diǎn)M為AC中點(diǎn)時(shí)，有EA平面FDM.證明如下：連接CE，與DF交于點(diǎn)N，取AC的中點(diǎn)M，連接MN.因?yàn)樗倪呅蜟DEF是正方形，所以點(diǎn)N為CE的中點(diǎn).所以EAMN.因?yàn)镸N平面FDM，EA平面FDM，所以EA平面FDM.所以線段AC上存在點(diǎn)M，且M為AC的中點(diǎn)，使得EA平面FDM成立.