第第2節(jié)不等式的證明節(jié)不等式的證明最新考綱通過(guò)一些簡(jiǎn)單問(wèn)題了解證明不等式的基本方法：比較法、綜合法、分析法.1.基本不等式知知 識(shí)識(shí) 梳梳 理理2ababababc2.不等式的證明方法ab(2)綜合法與分析法綜合法：從已知條件出發(fā)，利用定義、公理、定理、性質(zhì)等，經(jīng)過(guò)一系列的、 而得出命題成立.綜合法又叫順推證法或由因?qū)Ч?分析法：從要證的結(jié)論出發(fā)，逐步尋求使它成立的，所需條件為已知條件或一個(gè)明顯成立的事實(shí)(定義、公理或已證明的定理、性質(zhì)等)，從而得出要證的命題成立，這種證法稱為分析法，即“執(zhí)果索因”的證明方法.推理論證充分條件1.思考辨析(在括號(hào)內(nèi)打“”或“”)(1)比較法最終要判斷式子的符號(hào)得出結(jié)論.()(2)綜合法是從原因推導(dǎo)到結(jié)果的思維方法，它是從已知條件出發(fā)，經(jīng)過(guò)逐步推理，最后達(dá)到待證的結(jié)論.()(3)分析法又叫逆推證法或執(zhí)果索因法，是從待證結(jié)論出發(fā)，一步一步地尋求結(jié)論成立的必要條件，最后達(dá)到題設(shè)的已知條件或已被證明的事實(shí).()(4)使用反證法時(shí)，“反設(shè)”不能作為推理的條件應(yīng)用.()答案(1)(2)(3)(4)診診 斷斷 自自 測(cè)測(cè)由ab1得ab1，ab0，答案A3.(選修45P23習(xí)題2.1T1改編)已知ab0，M2a3b3，N2ab2a2b，則M，N的大小關(guān)系為_(kāi).解析2a3b3(2ab2a2b)2a(a2b2)b(a2b2)(a2b2)(2ab)(ab)(ab)(2ab).因?yàn)閍b0，所以ab0，ab0，2ab0，從而(ab)(ab)(2ab)0，故2a3b32ab2a2b.答案MN解析由題意得，ab1，a0，b0，答案45.已知x0，y0，證明：(1xy2)(1x2y)9xy. 證明因?yàn)閤0，y0，考點(diǎn)一比較法證明不等式考點(diǎn)一比較法證明不等式【例11】 (2017江蘇卷)已知a，b，c，d為實(shí)數(shù)，且a2b24，c2d216.試證明：acbd8.證明(a2b2)(c2d2)(acbd)2a2c2a2d2b2c2b2d2(a2c2b2d22acbd)b2c2a2d22acbd(bcad)20，(a2b2)(c2d2)(acbd)2，又a2b24，c2d216.因此(acbd)264，從而acbd8.規(guī)律方法1.作差(商)證明不等式，關(guān)鍵是對(duì)差(商)式進(jìn)行合理的變形，特別注意作商證明不等式，不等式的兩邊應(yīng)同號(hào).2.在例12證明中，法一采用局部通分，優(yōu)化了解題過(guò)程；在法二中，利用不等式的性質(zhì)，把證明ab轉(zhuǎn)化為證明1(b0).提醒在使用作商比較法時(shí)，要注意說(shuō)明分母的符號(hào).考點(diǎn)二綜合法證明不等式考點(diǎn)二綜合法證明不等式【例21】 (2017全國(guó)卷)已知實(shí)數(shù)a0，b0，且a3b32.證明：(1)(ab)(a5b5)4；(2)ab2.證明(1)a0，b0，且a3b32.則(ab)(a5b5)a6ab5a5bb6(a3b3)22a3b3ab(a4b4)4ab(a42a2b2b4)4ab(a2b2)24.(2)因?yàn)?ab)3a33a2b3ab2b323ab(ab)所以f(x)2的解集Mx|1x1.(2)證明由(1)知，當(dāng)a，bM時(shí)，1a1，1b1，從而(ab)2(1ab)2a2b2a2b21(a21)(1b2)0，所以(ab)2(1ab)2，因此|ab|1ab|.規(guī)律方法1.綜合法證明不等式，要著力分析已知與求證之間，不等式的左右兩端之間的差異與聯(lián)系.合理進(jìn)行轉(zhuǎn)換，恰當(dāng)選擇已知不等式，這是證明的關(guān)鍵.2.在用綜合法證明不等式時(shí)，不等式的性質(zhì)和基本不等式是最常用的.在運(yùn)用這些性質(zhì)時(shí)，要注意性質(zhì)成立的前提條件.(1)解當(dāng)x3；當(dāng)1x2時(shí)，f(x)2(x1)(x2)x4，此時(shí)，3f(x)6；當(dāng)x2時(shí)，f(x)2(x1)(x2)3x6.綜上可知，f(x)的最小值m3.(2)證明a，b，c均大于0，且abc3.考點(diǎn)三分析法證明不等式考點(diǎn)三分析法證明不等式證明由abc且abc0，知a0，c0.只需證b2ac3a2.abc0，只需證b2a(ab)0，只需證(ab)(2ab)0，只需證(ab)(ac)0.abc，ab0，ac0，(ab)(ac)0顯然成立，故原不等式成立.(1)解依題意，原不等式等價(jià)于|x1|x3|8.當(dāng)x1時(shí)，則2x28，解得x3.所以不等式f(x)f(x4)8的解集為x|x3或x5.只需證|ab1|ba|，只需證(ab1)2(ba)2.|a|1，|b|1，知a21，b20.故(ab1)2(ba)2成立.從而原不等式成立.