九年級數(shù)學第二十四章圓 圓切線長切線圓與圓的位置關(guān)系系圓的切線直線與圓的位置關(guān)系點與圓的位置關(guān)系垂徑定理及其推論圓周角、同弧上圓周角的關(guān)系弧、弦與圓心角與圓有關(guān)的位置關(guān)系圓的基本性質(zhì)圓的對稱性兩圓公切線與圓有關(guān)的計算正多邊形與圓弧長和扇形的面積圓錐的側(cè)面積和全面積一【知識脈絡(luò)】二、基礎(chǔ)知識（1）掌握圓的有關(guān)性質(zhì)和計算 弧、弦、圓心角之間的關(guān)系:在同圓或等圓中，如果兩條劣弧（優(yōu)?。?、兩條兩個圓心角中有一組量對應(yīng)相等，那么它們所對應(yīng)的其余各組量也分別對應(yīng)相等. 垂徑定理: 垂直于弦的直徑平分這條弦，并且平分弦所對的兩條弧 垂徑定理的推論:平分弦（不是直徑）的直徑垂直于弦，并且平分弦所對的兩條弧.弦的垂直平分線經(jīng)過圓心，并且平分弦所對的兩條弧.平分弦所對的一條弧的直徑，垂直平分弦，并且平分弦所對的另一條弧 在同一圓內(nèi)，同弧或等弧所對的圓周角相等，都等于該弧所對的圓心角的一半. 圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì):圓的內(nèi)接四邊形對角互補，并且任何一個外角等于它的內(nèi)對角.（2）點與圓的位置關(guān)系 設(shè)點與圓心的距離為，圓的半徑為，則點在圓外； 點在圓上； 點在圓內(nèi) 過不在同一直線上的三點有且只有一個圓. 一個三角形有且只有一個外接圓. 三角形的外心是三角形三邊垂直平分線的交點.三角形的外心到三角形的三個頂點的距離相等.（3）直線與圓的位置關(guān)系 設(shè)圓心到直線的距離為，圓的半徑為，則直線與圓相離；直線與圓相切；直線與圓相交切線的性質(zhì):與圓只有一個公共點；圓心到切線的距離等于半徑；圓的切線垂直于過切點的半徑.切線的識別:如果一條直線與圓只有一個公共點，那么這條直線是圓的切線. 到圓心的距離等于半徑的直線是圓的切線.經(jīng)過半徑的外端且垂直與這條半徑的直線是圓的切線. 三角形的內(nèi)心是三角形三條內(nèi)角平分線的交點.三角形的內(nèi)心到三角形三邊的距離相等. 切線長：圓的切線上某一點與切點之間的線段的長叫做這點到圓的切線長. 切線長定理:從圓外一點引圓的兩條切線，它們的切線長相等.這一點和圓心的連線平分這兩條切線的夾角.（4）圓與圓的位置關(guān)系圓與圓的位置關(guān)系有五種:外離、外切、相交、內(nèi)切、內(nèi)含. 設(shè)兩圓心的距離為，兩圓的半徑為，則兩圓外離 兩圓外切 兩圓相交 兩圓內(nèi)切 兩圓內(nèi)含 兩個圓構(gòu)成軸對稱圖形，連心線（經(jīng)過兩圓圓心的直線）是對稱軸.由對稱性知:兩圓相切，連心線經(jīng)過切點. 兩圓相交，連心線垂直平分公共弦. 兩圓公切線的定義:和兩個圓都相切的直線叫做兩圓的公切線.兩個圓在公切線同旁時,這樣的公切線叫做外公切線.兩個圓在公切線兩旁時,這樣的公切線叫做內(nèi)公切線. 公切線上兩個切點的距離叫做公切線的長. （5）與圓有關(guān)的計算 弧長公式： 扇形面積公式：（其中為圓心角的度數(shù)，為半徑） 圓柱的側(cè)面展開圖是矩形圓柱體也可以看成是一個矩形以矩形的一邊為軸旋轉(zhuǎn)而形成的幾何體圓柱的側(cè)面積底面周長高 圓柱的全面積側(cè)面積底面積 圓錐的側(cè)面展開圖是扇形，這個扇形的弧長等于圓錐底面的周長，扇形的半徑等于圓錐的母線長圓錐體可以看成是由一個直角三角形以一條直角邊為軸旋轉(zhuǎn)而成的幾何體 圓錐的側(cè)面積底面周長母線；圓錐的全面積側(cè)面積底面積能力鍛煉與提升（一） 圓中的有關(guān)概念和性質(zhì)一、知識點回顧： 1.確定一個圓有兩要素，一是 ，二是 ，圓心確定 、半徑確定 ；2.圓既是 對稱圖形，又是 對稱圖形；它的對稱中心是 ，對稱軸是 ，有 條對稱軸。3.在同圓或等圓中，兩個圓心角、兩條弧、兩條弦三組量之間，如果有一組量相等，那么，它們所對應(yīng)的其它量也相等。典型題1：如圖，AB、CD是O的兩條弦 若AB=CD， 則有 = ， = 若AB=CD， 則有 = ， = 若AOB=COD， 則有 = ， = 4.在在同圓或等圓中，同弧或等弧所對圓周角 ，相等的圓周角所對的弧 ，同弧或等弧所對圓周角是其所對的圓心角的 。典型題2.如圖，AB、AC、BC都是O的弦，CABCBA，COB與COA相等嗎？為什么？典型題3如圖，A是O的圓周角，A30，則BOC= ， OBC= 5.半圓或直徑所對的圓周角都是 ，90的圓周角所對的弦是圓是 。典型題4填空：1、如圖，AB是O的直徑，DCB=30，則ACD= ，ABD= 2、如圖，O的直徑AB=10，弦BC=5，B= 6.垂直于弦的直徑平分這條弦，并且平弦所對的弧。即：如圖，若ABCD，則有AP PB， ，AD= 典型題5如上圖，若CD=10，AB=8，求PC的長？典型題6某公園的一石拱橋是圓弧形（劣?。?，其跨度為24米，拱的半徑為13米，則拱高為_7三角形的內(nèi)心和外心 （1）確定圓的條件： 三個點確定一個圓 （2）三角形的外心：三角形的三個頂點確定一個圓，這個圓叫做三角形的 ，圓心就是 的交點，叫做三角形的外心 （3）三角形的內(nèi)心：和三角形的三邊都相切的圓叫做三角形的 ，圓心是 的交點，叫做三角形的內(nèi)心。典型題7. 在ABC中，A=62，點I是外接圓圓心，則BIC=_8. 與圓有關(guān)的角（1）圓心角： 叫圓心角 圓心角的度數(shù)等于它所對的弧的度數(shù)（2）圓周角： 的角，叫圓周角圓周角的度數(shù)等于它所對的弧的度數(shù)的一半（3）圓心角與圓周角的關(guān)系 同圓或等圓中，同弧或等弧所對的圓周角等于它所對的圓心角的 典型題8.如圖，A、B、C是O上的三點，BAC=30則BOC的大小是（ ） A60 B45 C30 D15典型題9.如圖，PA、PB是O的切線，切點分別為A 、B，點C在O上如果P50 ，那么ACB等于（ ） A40 B50 C65 D130二、基礎(chǔ)達標練習：（一）選擇題：1下列命題正確的是（ ）A相等的圓心角所對的弦相等 B等弦所對的弧相等 C等弧所對的弦相等 D垂直于弦的直線平分弦2“圓材埋壁”是我國古代九章算術(shù)中的問題：“今有圓材，埋在壁中，不知大小，以鋸鋸之，深一寸，鋸道長一尺，間徑幾何”用數(shù)學語言可表述為如圖135，CD為O的直徑，弦ABCD于點E，CE1寸，AB=10寸，則直徑CD的長為（ ） A125寸 B13寸 C25寸 D26寸3如圖，四邊形 ABCD內(nèi)接于O，若BOD=100，則DAB的度數(shù)為（ ） A50 B80 C100 D1304如圖是中國共產(chǎn)主義青年團團旗上的圖案，點A、B、C、D、E五等分圓，則A+B+C+D+E的度數(shù)是（ ） A180 B15 0 C135 D120（二）填空題：5如圖，MN所在的直線垂直平分弦A B，利用這樣的工具最少使用_次，就可找到圓形工件的圓心6如圖，A、B、C是O上三個點，當 BC平分ABO時，能得出結(jié)論_ _ _（任寫一個）7如圖139，已知AB是O的直徑，AD OC，BAD的度數(shù)為80，則BOC=_.8如圖13-10，O內(nèi)接四邊形ABCD中，AB=CD，則圖中和1相等的角有_ _ _ . 9如圖13l1，弦AB的長等于O的半徑，點C在弧AMB上，則C的度數(shù)是_.（三）解答題：10O的半徑是5，AB、CD為O的兩條弦，且ABCD，AB=6，CD=8，求 AB與CD之間的距離 11.如圖，AB、CD是O的直徑，DF、BE是弦，且DF=BE。ABCDOEF求證：D=B12 圓O中，弦ABAC，AD是圓O的直徑。 求證：AD平分BAC 三、能力提高訓練： 1. 用直角鋼尺檢查某一工件是否恰好是半圓環(huán)形，根據(jù)圖所表示的情形，四個工件哪一個肯定是半圓環(huán)形（ ）2. 小芳在為班級辦黑板報時遇到了一個難題，在版面設(shè)計過程中需將一個半圓面三等分（如圖所示），請你幫助她設(shè)計一個合理的等分方案要求用尺規(guī)作出圖形，保留作圖痕跡，并簡要寫出作法 能力鍛煉與提升（二）圓中的位置關(guān)系一、知識點回顧： 1.點與圓的位置關(guān)系 A點在圓 OA r B點在圓 OB r C點在圓 OC r 2. 直線與圓的位置關(guān)系(設(shè)O半徑為，圓心到直線距離為) 與O相交 r 與O相切 r 與O相離 r典型題1RtABC中，C=90，AC=3cm，BC4cm，給出下列三個結(jié)論： 以點C為圓心13 cm長為半徑的圓與AB相離；以點C為圓心，24cm長為半徑的圓與AB相切；以點C為圓心，25cm長為半徑的圓與AB相交上述結(jié)論中正確的個數(shù)是（ ） A0個 Bl個 C2個 D3個3、切線性質(zhì)：圓的切線 于經(jīng)過切點的半徑.4、切線識別：經(jīng)過半徑的 （內(nèi)、外）端且 于這條半徑的直線是圓的切線。典型題2如圖，PA為O的切線，A為切點，PO交 O于點B，PA=4，OA=3，則cosAPO的值為（ ） （例34） 典型題3.如右圖，以點O為圓心的兩個同心圓中，大圓的弦AB是小圓 的切線，點P為切點，兩圓的半徑分別為5cm和3cm，則AB= 典型題4.如圖，AB是O的直徑，B45，ACAB，AC是O的切線嗎？（寫出詳細的過程）5. 圓與圓的位置關(guān)系（1）用公共點的個數(shù)來區(qū)分兩個圓如果沒有公共點，那么就說這兩個圓 ，如圖3的 兩個圓有一個公共點，那么就說這兩個圓 ，如圖3的 兩個圓有兩個公共點，那么就說這兩個圓 ，如圖3的 （2）用數(shù)量關(guān)系來區(qū)別：設(shè)兩圓的半徑分別為、，圓心距為： 用數(shù)軸表示圓與圓的位置與圓心距d之間的對應(yīng)關(guān)系（在數(shù)軸上填出圓心距d各在區(qū)域中對應(yīng)圓與圓的位置名稱） 根據(jù)數(shù)軸填表兩圓的位置關(guān)系數(shù)量關(guān)系及其識別方法外離外切相交內(nèi)切內(nèi)含典型題5. 已知相切兩圓的半徑分別為3cm和2cm，則兩圓的圓心距是_cm6. 切線長定理：從圓 一點可以引圓的 條切線，它們的切線長 這一點和圓心的連線 這兩條切線的 角即：如右圖， PA，PB分別為O的切線，切點分別為A、B，則PA PB， PO平分 .典型題6填空：1、如圖，PA，PB分別為O的切線，切點分別為A、B，P=60PA=10cm，那么AB的長為 2、如圖，PA，PB分別為O的切線，AC為直徑，切點分別為A、B，P=70，則C= 二、基礎(chǔ)達標練習：（一）選擇題：1、已知O的半徑為6，A為線段PO的中點，當OP=10時，點A與O的位置關(guān)系為（ ）A在圓上 B在圓外 C在圓內(nèi) D不確定2、圓最長弦為12，如果直線與圓相交，且直線與圓心的距離為，那么（ ）A B C D3、已知圓O1和O2的半徑的6cm和8cm，當O1O2=12cm時, O1和O2的位置關(guān)系為（ ）A外切 B相交 C 內(nèi)切 D內(nèi)含4、兩圓半徑和為24cm，半徑之比為1：2，圓心距為8cm，則兩圓的位置關(guān)系為（ ）A外離 B相交 C 內(nèi)切 D外切5.兩個同心圓的半徑分別為1cm和2cm，大圓的弦AB與小圓相切，那么AB=（ ） A B2 C3 D46.已知兩圓的半徑分別為3 cm和4 cm，圓心距為1cm，那么兩圓的位置關(guān)系是（ ） A相離 B相交 C內(nèi)切 D外切7兩圓既不相交又不相切，半徑分別為3和5，則兩圓的圓心距d的取值范圍是（ ） Ad8 B0d2 C2d8 D0d2或d8（二）填空題：8在ABC中，C=90，AC=3cm，BC=4cm，CM是中線，以C為圓心，以3cm長為半徑畫圓，則對A、B、C、M四點，在圓外的有_，在圓上的有_，在圓內(nèi)的有_.9ABC中，C=90，AC=3，CB=6，若以C為圓心，以r為半徑作圓，那么： 當直線AB與C相離時，r的取值范圍是_； 當直線AB與C相切時，r的取值范圍是_； 當直線AB與C相交時，r的取值范圍是_.10.已知半徑為3 cm，4cm的兩圓外切，那么半徑為6 cm且與這兩圓都外切的圓共有_個11.已知O1和O2相外切，且圓心距為10cm，若O1的半徑為3cm，則O2的半徑為_cm12.已知兩圓半徑分別為4cm和2cm，圓心距為10cm，則兩圓的內(nèi)公切線的長為_cm13.已知兩圓的圓心距是5，兩圓的半徑是方程的兩實根，則兩圓的位置關(guān)系是 。（三）解答題：14如圖，已知兩同心圓，大圓的弦AB切小圓于M，若環(huán)形的面積為9，求AB的長 15如圖，PA切O于A，PB切O于B， APB=90，OP=4，求O的半徑三、能力提高訓練：17. 已知：如圖，AB是O的直徑，BC是和O相切于點B的切線，O的弦AD平行于OC求證：DC是O的切線18如圖，RtABC內(nèi)接于O，A=300，延長斜邊AB到D，使BD等于O半徑，求證：DC是O切線。19已知：如圖所示，直線l的解析式為，并且與x軸、y軸分別交于點A、B。（1）求A、B兩點的坐標；（2）一個圓心在坐標原點、半徑為1的圓，以0.4個單位/秒的速度向x軸正方向運動，問在什么時刻與直線l相切；（3）在題（2）中，若在圓開始運動的同時，一動點P從B點出發(fā)，沿BA方向以0.5個單位/秒的速度運動，問在整個運動過程中，點P在動圓的圓面（圓上和圓內(nèi)部）上，一共運動了多長時間？能力鍛煉與提升（三） 圓中的有關(guān)計算一、知識點回顧： 1. 正多邊形和圓 （1）畫正n邊形的步驟：將一個圓n等分，順次連接各分點。對于一些特殊的正n邊形，如正四邊形、正八邊形、正六邊形、正三角形、正十二邊形還可以用尺規(guī)作圖。（ 2）正n邊形的每個內(nèi)角都等于，每個外角為，等于中心角。典型題1. 正三角形的邊心距、半徑和高的比是（ ） A. 123 B. C. D. 典型題2. 正三角形的邊長是邊心距的 倍。正九邊形的中心角是 度，每個內(nèi)角為 度。典型題3 已知正六邊形ABCDEF的半徑為2cm，求這個正六邊形的邊長、周長和面積。 解：正六邊形的半徑等于邊長 正六邊形的邊長 正六邊形的周長 正六邊形的面積 點撥：本題的關(guān)鍵是正六邊形的邊長等于半徑。2. 弧長的計算如果弧長為l，圓心角度數(shù)為n，圓的半徑為r，那么，弧長 典型題4填表：半徑r圓心角度數(shù)n弧長l10365212012（圓周率用表示即可）3. 扇形面積計算：方法一：如果已知扇形圓心角為n，半徑為r，那么扇形面積 方法二：如果已知扇形弧長為l，半徑為r， 那么扇形面積 典型題5填表：半徑r圓心角度數(shù)n弧長l扇形面積1036662643. 圓錐的側(cè)面積與表面積（1）如圖1：為圓錐的 ，為圓錐的 ，為圓錐的 ，由勾股定理可得：、之間的關(guān)系為： （2）如圖2：圓錐的側(cè)面展開后一個 ：圓錐的母線是扇形的 而扇形的弧長恰好是圓錐底面的 。故：圓錐的側(cè)面積就是圓錐的側(cè)面展開后的扇形的 。圓錐的表面積= + 典型題6看圖1、填表：底面積底面圓的周長側(cè)面積表（全）面積3551368（圓周率用表示即可）二、 基礎(chǔ)達標練習： <一> 填空題：1在半徑為3的O中，弦AB=3，則AB的長為 2圓錐底面半徑為6cm，母線長為10cm，則它的側(cè)面展開圖圓心角等于 ，表面積為 ；3已知扇形的圓心角為150，它所對弧長為20cm，則扇形的半徑是 cm，扇形的面積是 cm2；4一個圓錐的側(cè)面展開圖形是半徑為4cm 的半圓, 那么這個圓錐的底面半徑等于_ _cm.；5如圖是一個徽章，圓圈中間是一個矩形，矩形中間是一個菱形， 菱形的邊長是 1 cm ，那么徽章的直徑是 ；6如圖，將一個半徑為4cm的半圓繞直徑AB的一個端點A旋轉(zhuǎn)40,那么,圖中陰影部分的面積為_cm；<二> 選擇題：7扇形的周長為16，圓心角為，則扇形的面積為（ ） A16 B32 C64 D168.一個扇形的弧長為，面積為則這個扇形的圓心角是（）A. B. C . D.9一個扇形的半徑為30，圓心角為120，用它做成一個圓錐的側(cè)面，則圓錐的底面圓的半徑是 ）A. 10 B. 12 C. 14 D. 1510扇形的弧長為4，扇形的半徑為3，則其面積為 （ ）A. 12 B. 6 C . 7 D . 1.511若圓錐的底面半徑為 3，母線長為5，則它的側(cè)面展開圖的圓心角等于 （）A 108 B 144 C 180 D 21612若圓錐的底面直徑為6cm，母線長為5cm，那么圓錐的側(cè)面積為（ ）A. 7.5cm2 B. 30cm2 C. 15cm2 D. 22.5cm2<三> 解答題：13在RtABC中，C=90，AB=5，BC=3，以AC所在直線為軸旋轉(zhuǎn)一周，求所得圓錐的側(cè)面展開圖的面積.三、能力提高訓練：14如圖，P為O外一點，PA切O于A，AB是O的直徑，PB交O于C，PA2cm，PC1cm,則圖中陰影部分的面積S是 （）A. B C D15如圖，把直角三角形 ABC的斜邊AB放在定直線l上，按順時針方向在l上轉(zhuǎn)動兩次，使它轉(zhuǎn)到ABC的位置，設(shè)BC=1，AC=，則頂點A運動到 A的位置時，點A經(jīng)過的路線與直線l所圍成的面積是_（計算結(jié)果不取近似值）16如圖，陰影部分是某一廣告標志，已知兩圓弧所在圓的半徑分別為20cm，10cm、AOB120，求這個廣告標志面的周長1.如果圓錐母線長為6cm，底面直徑為6cm，那么這個圓錐的側(cè)面積是 cm2 ；17如圖，等腰直角ABC的斜邊AB4，O是AB的中點，以O(shè)為圓心的半圓分別與兩腰相切于D、E，求圖中陰影部分的面積（結(jié)果用表示）。18如圖，已知O的半徑為R，直徑ABCD，以B為圓心、以BC為半徑，求弧CED與弧CAD圍成的新月形ACED的面積；能力鍛煉與提升（四）班別： 姓名： 學號： 一、選擇題：1.中華人民共和國國旗上的五角星的畫法通常是先把圓五等分，然后連結(jié)五等分點，如圖所示，五角星的每一個角的度數(shù)為（ ） A30 B、35 C36 D37 2.已知兩圓的圓心距是3，兩圓的半徑分別是方程x23x+2=0的兩個根，那么這兩個圓的位置關(guān)系是（ ） A外離 B外切 C相交 D內(nèi)切3.如圖 ，四邊形ABCD為O的內(nèi)接四邊形，點E在CD的延長線上，如果BOD=120，那么BCE等于（ ） A30 B60 C90 D1204.如圖，圖中有五個半圓，鄰近的兩半圓相切，兩只小蟲同時出發(fā)，以相同的速度沿弧ADA1、弧A1EA2、弧A2FA3、弧A3GB路線爬行，乙蟲沿弧ACB路線爬行，則下列結(jié)論正確的是 （）A.甲先到B點 B. 乙先到B點C.甲、乙同時到B點 D. 無法確定5如圖，直角三角形三邊上的半圓面積從小到大依次記為 S1、S2、S3，則它們之間的關(guān)系正確的是 （）A. S1S2S3 B.S1S2S3C. S1S2S3 D.S12S22S326已知，如圖，在ABC中，BC=2，AC=，AB = 4，以A為圓心，AC為半徑畫弧交AB于E，以B為圓心，BC為半徑畫弧交AB于F，則圖中的陰影部分的面積是 （ ）A B C D二、填空題：8現(xiàn)用總長為的建筑材料，圍成一個扇形花壇，當扇形半徑為_時，可使花壇的面積最大； 29如圖，已知OA、OB是O的半徑，且OA10，AOB30，ACOB于C，則圖中陰影部分的面積S ；(取3.14，結(jié)果精確到0.1) 10如圖，AB是半圓O的直徑，以O(shè)為圓心，OE長為半徑的半圓交AB于E、F兩點，弦AC是小半圓的切線，D為切點，又已知AO4，EO2。則陰影部分的面積是 ；11如圖，A、B、C、D、E相互外離，它們的半徑都為1，順次連接五個圓心得到五邊形ABCDE，則圖中五個陰影部分的面積之和是 ；12如圖，ABC是正三角形，曲線CDEF叫做“正三角形的漸開線”，其中弧CD、弧DE、弧EF的圓心依次按A、B、C循環(huán)，它們依次相連接。若AB1，則曲線CDEF的長是 ；13如圖，正方形ABCD邊長為，那么陰影部分的面積S是 ；三、解答題：14如圖，ABO中，OA= OB，以O(shè)為圓心的圓經(jīng)過AB中點C，且分別交OA、OB于點E、F （1）求證：AB是O切線； （2）若ABO腰上的高等于底邊的一半，且AB=4， 求弧ECF的長。15如圖，已知AC、AB是O的弦，ABAC （1）在圖中有否在AB上確定一點E，使得AO=AEAB，為什么？ （2）在圖中，在條件的結(jié)論下延長 EC到P，連結(jié)PB，如果PB=PE，試判斷PB和O的位置關(guān)系，并說明理由BAOEDC16如圖，AB是O的直徑，CD切O于E，ACCD于C，BDCD于D，交O于F，連結(jié)AE、EF。（1）求證：AE是BAC的平分線；（2）若ABD = 60，則AB與EF是否平行？請說明理由。17.如圖， O的直徑AB=10，DEAB于點H，AH=2 （1）求DE的長； （2）延長ED到P，過P作O的切線，切點為C，若PC=22，求PD的長 希望對大家有所幫助，多謝您的瀏覽！