探索傅里葉級數(shù)的一致收斂性,逐項(xiàng)積分性和逐項(xiàng)微分性
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探索傅里葉級數(shù)的一致收斂性,逐項(xiàng)積分性和逐項(xiàng)微分性
探索傅里葉級數(shù)的一致收斂性,逐項(xiàng)微分性和逐項(xiàng)積分性在第15章的第1節(jié)和第3節(jié)分別建立和證明了傅里葉級數(shù)的收斂定理(定理15.3):設(shè)是以為周期的周期函數(shù),若在上按段光滑,則對任意,的傅里葉級數(shù)在處收斂于,即,其中,()為的傅里葉系數(shù)以此定理為基礎(chǔ),請同學(xué)們按照下面的步驟進(jìn)一步探索傅里葉級數(shù)的一致收斂性、逐項(xiàng)微分性和逐項(xiàng)積分性一、幾個(gè)引理我們知道,若在上按段光滑,【即在上除有限個(gè)第一類間斷點(diǎn)外連續(xù)(此時(shí)也稱在上按段連續(xù)),在上除有限個(gè)點(diǎn)外可導(dǎo)且在上也除有限個(gè)第一類間斷點(diǎn)外連續(xù),簡單地講:在上按段光滑也就是和都在上按段連續(xù)】,則和都在上可積,并且除上有限個(gè)點(diǎn)外,可作為的原函數(shù),于是,根據(jù)定積分的定義,當(dāng)我們進(jìn)一步要求在上連續(xù)的情況下,注意到拉格朗日中值公式,可得引理1(定積分的牛頓萊布尼茨公式的推廣)若在上連續(xù),且按段光滑,則提示:選擇包含使不存在的點(diǎn)為分點(diǎn)的的分割,由拉格朗日中值公式推出,存在,使(),最后,注意到在上可積,利用定積分的定義即可引理2(推廣的分部積分公式)若,都在上連續(xù),且按段光滑,則提示:首先,注意到由條件可得在上連續(xù),且按段光滑,和都在上可積,且除上的有限個(gè)點(diǎn)外,其次,對應(yīng)用引理1即可引理3(與的傅里葉系數(shù)的關(guān)系)設(shè)在上連續(xù),按段光滑,且(注:根據(jù)周期函數(shù)的特點(diǎn),上述條件意味著可看成按段光滑且以為周期的連續(xù)函數(shù)),記,為的傅里葉系數(shù);,為的傅里葉系數(shù),則,提示:直接根據(jù)傅里葉系數(shù)公式,利用引理1或引理2進(jìn)行計(jì)算即可,例如由引理1除上面的三個(gè)引理外,在探索的過程中,還要用到關(guān)于傅里葉系數(shù)的貝塞爾不等式引理4(貝塞爾不等式)設(shè)在上可積,記,為的傅里葉系數(shù),則級數(shù)收斂,且二、傅里葉級數(shù)的一致收斂性,逐項(xiàng)積分性和逐項(xiàng)微分性1、傅里葉級數(shù)的一致收斂性定理1(傅里葉級數(shù)的一致收斂性)設(shè)是以為周期的連續(xù)函數(shù),且在上按段光滑,則的傅里葉級數(shù)在上絕對收斂且一致收斂于,其中,為的傅里葉系數(shù)提示:首先,由定理15.3并注意到連續(xù)推出收斂于;其次,由引理3推出;最后,注意到引理4以及,由一致收斂的優(yōu)級數(shù)判別法即可2、傅里葉級數(shù)的逐項(xiàng)積分性定理2 設(shè)是以為周期的函數(shù),且在上按段連續(xù),記,則(1)是以為周期的連續(xù)函數(shù),且在上按段光滑;(2)記,為的傅里葉系數(shù),有,();(3)提示:(1)首先,由變限函數(shù)的連續(xù)性易得是連續(xù)函數(shù);其次,由變限函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式,并注意到在上按段連續(xù)可推出在上按段光滑,且除上的有限個(gè)點(diǎn)外,;最后,注意到定積分的區(qū)間可加性,周期函數(shù)的積分特征和傅里葉系數(shù)的計(jì)算公式推出即以為周期(2)利用傅里葉系數(shù)的計(jì)算公式和引理2直接計(jì)算即可,例如,(3)首先,由(1)和(2)可對運(yùn)用傅里葉級數(shù)的收斂定理(定理15.3)推出,其次,取,并注意到即可定理3(傅里葉級數(shù)的逐項(xiàng)積分)設(shè)是以為周期的函數(shù),且在上按段連續(xù),記為的傅里葉級數(shù)(它不一定收斂,更不一定收斂于),則對任意,有提示:由定理2的(1)和(2)對運(yùn)用傅里葉級數(shù)的收斂定理(定理15.3),并注意到定理2的(3)即可3、傅里葉級數(shù)的逐項(xiàng)微分性定理4(傅里葉級數(shù)的逐項(xiàng)微分性)設(shè)是以為周期的連續(xù)函數(shù),且在上按段光滑,記為的傅里葉級數(shù)(注:由條件及定理1易得,此時(shí)收斂且一致收斂于),則,特別,當(dāng)連續(xù)時(shí),提示:首先,由條件可對運(yùn)用傅里葉級數(shù)的收斂定理(定理15.3)推出,;其次,在利用引理3即可