第3章 1 知識(shí)網(wǎng)絡(luò) 系統(tǒng)盤(pán)點(diǎn)，提煉主干 2 要點(diǎn)歸納 整合要點(diǎn)，詮釋疑點(diǎn) 3 題型研修 突破重點(diǎn)，提升能力 章末復(fù)習(xí)提升 1.復(fù)數(shù)的概念 (1)虛數(shù)單位i； (2)復(fù)數(shù)的代數(shù)形式zabi(a，bR)； (3)復(fù)數(shù)的實(shí)部、虛部、虛數(shù)不純虛數(shù). 實(shí)數(shù)b 有理數(shù) 整數(shù)分?jǐn)?shù)無(wú)理數(shù)無(wú)限丌循環(huán)小數(shù)虛數(shù)b 純虛數(shù)a非純虛數(shù)a 復(fù)數(shù)abi (a，bR) 2.復(fù)數(shù)集 3.復(fù)數(shù)的四則運(yùn)算 若兩個(gè)復(fù)數(shù)z1a1b1i，z2a2b2i(a1，b1，a2，b2R) (1)加法：z1z2(a1a2)(b1b2)i； (2)減法：z1z2(a1a2)(b1b2)i； (3)乘法：z1 z2(a1a2b1b2)(a1b2a2b1)i； (4)除法：z1z2121 21 22 12222()()ia abba ba bab a1a2b1b2a22b22a2b1a1b2a22b22i(z20)； (5)實(shí)數(shù)四則運(yùn)算的交換律、結(jié)合律、分配律都適合于復(fù)數(shù)的情況； (6)特殊復(fù)數(shù)的運(yùn)算：in(n為正整數(shù))的周期性運(yùn)算； (1i)22i； 若 則31,120. 1232i， 4.共軛復(fù)數(shù)不復(fù)數(shù)的模 (1)若 zabi，則zabi，zz為實(shí)數(shù)，zz為純虛數(shù)(b0). (2)復(fù)數(shù) zabi 的模|z|a2b2， 且 z z|z|2a2b2. 5.復(fù)數(shù)的幾何形式 (1)用點(diǎn)Z(a，b)表示復(fù)數(shù)zabi(a，bR)，用向量 表示復(fù)數(shù)zabi(a，bR)，Z稱(chēng)為z在復(fù)平面上的對(duì)應(yīng)點(diǎn)，復(fù)數(shù)不復(fù)平面上的點(diǎn)一一對(duì)應(yīng)(坐標(biāo)原點(diǎn)對(duì)應(yīng)實(shí)數(shù)0). OZ (2)任何一個(gè)復(fù)數(shù)zabi一一對(duì)應(yīng)著復(fù)平面內(nèi)一個(gè)點(diǎn)Z(a，b)，也一一對(duì)應(yīng)著一個(gè)從原點(diǎn)出發(fā)的向量 . OZ 6.復(fù)數(shù)加、減法的幾何意義 (1)復(fù)數(shù)加法的幾何意義 若復(fù)數(shù) z1、z2對(duì)應(yīng)的向量OZ1、OZ2丌共線，則復(fù)數(shù) z1z2是以O(shè)Z1、OZ2為兩鄰邊的平行四邊形的對(duì)角線OZ所對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù). (2)復(fù)數(shù)減法的幾何意義 復(fù)數(shù) z1z2是連接向量OZ1、OZ2的終點(diǎn)，并指向 Z1的向量所對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù). 題型一 分類(lèi)討論思想的應(yīng)用 當(dāng)復(fù)數(shù)的實(shí)部不虛部含有字母時(shí)，利用復(fù)數(shù)的有關(guān)概念進(jìn)行分類(lèi)討論.分別確定什么情況下是實(shí)數(shù)、虛數(shù)、純虛數(shù).當(dāng)xyi沒(méi)有說(shuō)明x，yR時(shí)，也要分情況討論. 例 1 已知復(fù)數(shù) za27a6a21(a25a6)i(aR)，(1)試求實(shí)數(shù) a 取什么值時(shí)，z 為實(shí)數(shù)； 解 當(dāng)z為實(shí)數(shù)時(shí)， 則有 a25a60，a210， 當(dāng)a6時(shí)，z為實(shí)數(shù). a1或a6，a1， (2)試求實(shí)數(shù) a 取什么值時(shí)，z 為虛數(shù)； 解 當(dāng)z為虛數(shù)時(shí)， 則有 a25a60，a210， a1且a6， 即當(dāng)a(，1)(1,1)(1,6)(6，)時(shí)，z為虛數(shù). a1且a6，a1， (3)試求實(shí)數(shù) a 取什么值時(shí)，z 為純虛數(shù). 解 當(dāng)z為純虛數(shù)時(shí)， 則有 a25a60，a27a6a210，a210， a1且a6，a6且a1. 丌存在實(shí)數(shù)a，使z為純虛數(shù). 跟蹤演練1 當(dāng)實(shí)數(shù)a為何值時(shí)，za22a(a23a2)i. (1)為實(shí)數(shù)； 解 zRa23a20， 解得a1或a2. (2)為純虛數(shù)； 解 z為純虛數(shù)， 則 a22a0，a23a20， 即 a0或a2，a1且a2. 故a0. (3)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在第一象限內(nèi)； 解 z對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在第一象限， 則 a22a0，a23a20， a0，或a2. a的取值范圍是(，0)(2，). a0，或a2，a1，或a2， (4)復(fù)數(shù)z對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在直線xy0上. 解 依題設(shè)(a22a)(a23a2)0， a2. 題型二 數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用 數(shù)形結(jié)合既是一種重要的數(shù)學(xué)思想，又是一種常用的數(shù)學(xué)方法.本章中，復(fù)數(shù)本身的幾何意義、復(fù)數(shù)的模以及復(fù)數(shù)加減法的幾何意義都是數(shù)形結(jié)合思想的體現(xiàn).它們得以相互轉(zhuǎn)化.涉及的主要問(wèn)題有復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)點(diǎn)的位置、復(fù)數(shù)運(yùn)算及模的最值問(wèn)題等. 例2 已知等腰梯形OABC的頂點(diǎn)A、B在復(fù)平面上對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)分別為12i，26i，OABC.求頂點(diǎn)C所對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)z. 解 設(shè)zxyi，x，yR，如圖. OABC，OCBA， kOAkBC，|zC|zBzA|， 即 21y6x2，x2y232(4)2， 解得 x15，y10或 x23，y24. OABC， x23，y24(舍去)， 故z5. 跟蹤演練2 已知復(fù)數(shù)z1i(1i)3. (1)求|z1|； 解 |z1|i(1i)3|i| |1i|32 2. (2)若|z|1，求|zz1|的最大值. 解 如圖所示，由|z|1可知， z在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)的軌跡是半徑為1，圓心為O(0,0)的圓，而z1對(duì)應(yīng)著坐標(biāo)系中的點(diǎn)Z1(2，2). 所以|zz1|的最大值可以看成是點(diǎn)Z1(2，2)到圓上的點(diǎn)的距離的最大值. 由圖知|zz1|max|z1|r(r為圓半徑) 2 21. 題型三 轉(zhuǎn)化與化歸思想的應(yīng)用 在求復(fù)數(shù)時(shí)，常設(shè)復(fù)數(shù)zxyi(x，yR)，把復(fù)數(shù)z滿(mǎn)足的條件轉(zhuǎn)化為實(shí)數(shù)x，y滿(mǎn)足的條件，即復(fù)數(shù)問(wèn)題實(shí)數(shù)化的基本思想在本章中非常重要. 例3 已知z是復(fù)數(shù)，z2i， 均為實(shí)數(shù)，且(zai)2的對(duì)應(yīng)點(diǎn)在第一象限，求實(shí)數(shù)a的取值范圍. 解 設(shè)zxyi(x，yR)， 則z2ix(y2)i為實(shí)數(shù)， y2. z2i 又z2ix2i2i15(x2i)(2i) 15(2x2)15(x4)i 為實(shí)數(shù)， x4. z42i， 又(zai)2(42iai)2 (124aa2)8(a2)i在第一象限. 124aa20，8(a2)0， 解得2a6. 實(shí)數(shù)a的取值范圍是(2,6). 跟蹤演練3 已知x，y為共軛復(fù)數(shù)，且(xy)23xyi46i，求x，y. 解 設(shè)xabi(a，bR)， 則yabi. 又(xy)23xyi46i， 4a23(a2b2)i46i， 4a24，a2b22， a1，b1或 a1，b1 或 a1，b1或 a1，b1. x1i，y1i或 x1i，y1i 或 x1i，y1i或 x1i，y1i. 題型四 類(lèi)比思想的應(yīng)用 復(fù)數(shù)加、減、乘、除運(yùn)算的實(shí)質(zhì)是實(shí)數(shù)的加減乘除，加減法是對(duì)應(yīng)實(shí)、虛部相加減，而乘法類(lèi)比多項(xiàng)式乘法，除法類(lèi)比根式的分子分母有理化，且要注意i21. 在運(yùn)算的過(guò)程中常用來(lái)降冪的公式有 (1)i的乘方：i4k1，i4k1i，i4k21，i4k3i(kZ)； (2)(1i)22i； (3)設(shè) ，則31，2 ，120， 2，3n1，3n1(nN*)等； 1232i 1 (4)1232i31； (5)作復(fù)數(shù)除法運(yùn)算時(shí)，有如下技巧： abibai(abi)i(bai)i(abi)i(abi)i， 利用此結(jié)論可使一些特殊的計(jì)算過(guò)程簡(jiǎn)化. 例 4 計(jì)算： (1)(1i)1232i (1i)； 解 方法一 (1i)1232i (1i) 1232i12i32i2(1i) 312312i(1i) 312312i312i312i2 1 3i. 解 方法二 原式(1i)(1i)1232i (1i2)1232i 21232i 1 3i. 解 2 3i12 3i21i2 014 (2 3i)i(12 3i)i(22i)1 007 (2)2 3i12 3i21i2 014. (2 3i)ii2 31i1 007 i1i ii0. 跟蹤演練 4 計(jì)算：(2i)(1i)212i(1i)(1i)2i51i2 0151i. 解 (2i)(1i)212i(1i)(1i)2i51i2 0151i (2i) (2i)12i(1i)2ii1i1i 24i12i13ii(1i)22 2(i3)i 12i. 課堂小結(jié) 高考對(duì)本章考查的重點(diǎn) 1.對(duì)復(fù)數(shù)的概念的考查是考查復(fù)數(shù)的基礎(chǔ)，要求準(zhǔn)確理解虛數(shù)單位、復(fù)數(shù)、虛數(shù)、純虛數(shù)、共軛復(fù)數(shù)、實(shí)部、虛部、復(fù)數(shù)的模等概念. 2.對(duì)復(fù)數(shù)四則運(yùn)算的考查可能性較大，要加以重視，其中復(fù) 數(shù)的乘法運(yùn)算不多項(xiàng)式的乘法運(yùn)算類(lèi)似；對(duì)于復(fù)數(shù)的除法運(yùn)算，將分子分母同時(shí)乘以分母的共軛復(fù)數(shù).最后整理成abi(a，bR)的結(jié)構(gòu)形式. 3.對(duì)復(fù)數(shù)幾何意義的考查.在高考中 一般會(huì)結(jié)合復(fù)數(shù)的概念、復(fù)數(shù)的加減運(yùn)算考查復(fù)數(shù)的幾何意義、復(fù)數(shù)加減法的幾何意義.