24.4 弧長和扇形面積(第1課時) 教學(xué)內(nèi)容 1n的圓心角所對的弧長L= 2扇形的概念； 3圓心角為n的扇形面積是S扇形=； 4應(yīng)用以上內(nèi)容解決一些具體題目 教學(xué)目標(biāo) 了解扇形的概念，理解n的圓心角所對的弧長和扇形面積的計算公式并熟練掌握它們的應(yīng)用 通過復(fù)習(xí)圓的周長、圓的面積公式，探索n的圓心角所對的弧長L=和扇形面積S扇=的計算公式，并應(yīng)用這些公式解決一些題目 重難點、關(guān)鍵 1重點：n的圓心角所對的弧長L=，扇形面積S扇=及其它們的應(yīng)用 2難點：兩個公式的應(yīng)用 3關(guān)鍵：由圓的周長和面積遷移到弧長和扇形面積公式的過程 教具、學(xué)具準(zhǔn)備 小黑板、圓規(guī)、直尺、量角器、紙板 教學(xué)過程 一、復(fù)習(xí)引入 （老師口問，學(xué)生口答）請同學(xué)們回答下列問題 1圓的周長公式是什么？ 2圓的面積公式是什么？ 3什么叫弧長？ 老師點評：（1）圓的周長C=2R （2）圓的面積S圖=R2 （3）弧長就是圓的一部分 二、探索新知 （小黑板）請同學(xué)們獨立完成下題：設(shè)圓的半徑為R，則： 1圓的周長可以看作_度的圓心角所對的弧 21的圓心角所對的弧長是_ 32的圓心角所對的弧長是_ 44的圓心角所對的弧長是_ 5n的圓心角所對的弧長是_ （老師點評）根據(jù)同學(xué)們的解題過程，我們可得到： n的圓心角所對的弧長為例1制作彎形管道時，需要先按中心線計算“展直長度”再下料，試計算如圖所示的管道的展直長度，即的長（結(jié)果精確到0.1mm） 分析：要求的弧長，圓心角知，半徑知，只要代入弧長公式即可 解：R=40mm，n=110 的長=76.8（mm） 因此，管道的展直長度約為76.8mm問題:（學(xué)生分組討論）在一塊空曠的草地上有一根柱子，柱子上拴著一條長5m的繩子，繩子的另一端拴著一頭牛，如圖所示: （1）這頭牛吃草的最大活動區(qū)域有多大？ （2）如果這頭牛只能繞柱子轉(zhuǎn)過n角，那么它的最大活動區(qū)域有多大？ 學(xué)生提問后，老師點評：（1）這頭牛吃草的最大活動區(qū)域是一個以A（柱子）為圓心，5m為半徑的圓的面積（2）如果這頭牛只能繞柱子轉(zhuǎn)過n角，那么它的最大活動區(qū)域應(yīng)該是n圓心角的兩個半徑的n圓心角所對的弧所圍成的圓的一部分的圖形，如圖: 像這樣，由組成圓心角的兩條半徑和圓心角所對的弧所圍成的圖形叫做扇形 （小黑板），請同學(xué)們結(jié)合圓心面積S=R2的公式，獨立完成下題： 1該圖的面積可以看作是_度的圓心角所對的扇形的面積 2設(shè)圓的半徑為R，1的圓心角所對的扇形面積S扇形=_ 3設(shè)圓的半徑為R，2的圓心角所對的扇形面積S扇形=_ 4設(shè)圓的半徑為R，5的圓心角所對的扇形面積S扇形=_ 5設(shè)圓半徑為R，n的圓心角所對的扇形面積S扇形=_ 老師檢察學(xué)生練習(xí)情況并點評 1360 2S扇形=R2 3S扇形=R2 4S扇形= 5S扇形= 因此：在半徑為R的圓中，圓心角n的扇形S扇形=例2如圖，已知扇形AOB的半徑為10，AOB=60，求的長（結(jié)果精確到01）和扇形AOB的面積結(jié)果精確到01） 分析：要求弧長和扇形面積，只要有圓心角，半徑的已知量便可求，本題已滿足 解：的長=10=10.5 S扇形=102=52.3 因此，的長為25.1cm，扇形AOB的面積為150.7cm2 三、鞏固練習(xí) 課本P122練習(xí) 四、應(yīng)用拓展例3（1）操作與證明：如圖所示，O是邊長為a的正方形ABCD的中心，將一塊半徑足夠長，圓心角為直角的扇形紙板的圓心放在O處，并將紙板繞O點旋轉(zhuǎn)，求證：正方形ABCD的邊被紙板覆蓋部分的總長度為定值a（2）嘗試與思考：如圖a、b所示，將一塊半徑足夠長的扇形紙板的圓心角放在邊長為a的正三角形或邊長為a的正五邊形的中心點處，并將紙板繞O旋轉(zhuǎn)，當(dāng)扇形紙板的圓心角為_時，正三角形邊被紙覆蓋部分的總長度為定值a；當(dāng)扇形紙板的圓心角為_時，正五邊形的邊長被紙板覆蓋部分的總長度也為定值a (a) (b) （3）探究與引申：一般地，將一塊半徑足夠長的扇形紙板的圓心放在邊長為a的正n邊形的中心O點處，若將紙板繞O點旋轉(zhuǎn)，當(dāng)扇形紙板的圓心角為_時，正n邊形的邊被紙板覆蓋部分的總長度為定值a，這時正n邊形被紙板所覆蓋部分的面積是否也為定值？若為定值，寫出它與正n邊形面積S之間的關(guān)系（不需證明）；若不是定值，請說明理由解：（1）如圖所示，不妨設(shè)扇形紙板的兩邊與正方形的邊AB、AD分別交于點M、N，連結(jié)OA、OD 四邊形ABCD是正方形 OA=OD，AOD=90，MAO=NDO， 又MON=90，AOM=DON AMODNO AM=DN AM+AN=DN+AN=AD=a 特別地，當(dāng)點M與點A（點B）重合時，點N必與點D（點A）重合，此時AM+AN仍為定值a 故總有正方形的邊被紙板覆蓋部分的總長度為定值a （2）120；70 （3）；正n邊形被紙板覆蓋部分的面積是定值，這個定值是 五、歸納小結(jié)（學(xué)生小結(jié)，老師點評） 本節(jié)課應(yīng)掌握： 1n的圓心角所對的弧長L= 2扇形的概念 3圓心角為n的扇形面積是S扇形= 4運用以上內(nèi)容，解決具體問題 六、布置作業(yè) 1教材P124 復(fù)習(xí)鞏固1、2、3 P125 綜合運用5、6、72選用課時作業(yè)設(shè)計第一課時作業(yè)設(shè)計一、 選擇題1已知扇形的圓心角為120，半徑為6，則扇形的弧長是（ ） A3 B4 C5 D6 2如圖1所示，把邊長為2的正方形ABCD的一邊放在定直線L上，按順時針方向繞點D旋轉(zhuǎn)到如圖的位置，則點B運動到點B所經(jīng)過的路線長度為（ ）A1 B C D (1) (2) (3) 3如圖2所示，實數(shù)部分是半徑為9m的兩條等弧組成的游泳池，若每條弧所在的圓都經(jīng)過另一個圓的圓心，則游泳池的周長為（ ）A12m B18m C20m D24m 二、填空題 1如果一條弧長等于R，它的半徑是R，那么這條弧所對的圓心角度數(shù)為_， 當(dāng)圓心角增加30時，這條弧長增加_2如圖3所示，OA=30B，則的長是的長的_倍 三、綜合提高題1已知如圖所示，所在圓的半徑為R，的長為R，O和OA、OB分別相切于點C、E，且與O內(nèi)切于點D，求O的周長2如圖，若O的周長為20cm，A、B的周長都是4cm，A在O內(nèi)沿O滾動，B在O外沿O滾動，B轉(zhuǎn)動6周回到原來的位置，而A只需轉(zhuǎn)動4周即可，你能說出其中的道理嗎？ 3如圖所示，在計算機白色屏幕上，有一矩形著色畫刷ABCD，AB=1，AD=，將畫刷以B為中心，按順時針轉(zhuǎn)動ABCD位置（A點轉(zhuǎn)在對角線BD上），求屏幕被著色的面積答案:一、1B 2D 3D二、145 R 23三、1連結(jié)OD、OC，則O在OD上由=R，解得：AOB=60，由RtOOC解得O的半徑r=R，所以O(shè)的周長為2r=R2O、A、B的周長分別為20cm，4cm，4cm，可求出它的半徑分別為10cm、2cm、2cm，所以O(shè)A=8cm，OB=12cm，因為圓滾動的距離實際等于其圓心經(jīng)過的距離，所以A滾動回原位置經(jīng)過距離為28=16=44，而B滾動回原位置經(jīng)過距離為212=24=46因此，與原題意相符3設(shè)屏幕被著色面積為S，則S=SABD+S扇形BDD+SBCD=S矩形ABCD+S扇形BDD，連結(jié)BD，在RtABD中，AB=1，AD=AD=，BD=BD=2，DBD=60，S=22+1=+24.4 弧長和扇形面積(第2課時) 教學(xué)內(nèi)容 1圓錐母線的概念 2圓錐側(cè)面積的計算方法 3計算圓錐全面積的計算方法 4應(yīng)用它們解決實際問題 教學(xué)目標(biāo) 了解圓錐母線的概念，理解圓錐側(cè)面積計算公式，理解圓錐全面積的計算方法，并會應(yīng)用公式解決問題 通過設(shè)置情景和復(fù)習(xí)扇形面積的計算方法探索圓錐側(cè)面積和全面積的計算公式以及應(yīng)用它解決現(xiàn)實生活中的一些實際問題 重難點、關(guān)鍵 1重點：圓錐側(cè)面積和全面積的計算公式 2難點：探索兩個公式的由來 3關(guān)鍵：你通過剪母線變成面的過程 教具、學(xué)具準(zhǔn)備 直尺、圓規(guī)、量角器、小黑板 教學(xué)過程 一、復(fù)習(xí)引入 1什么是n的圓心角所對的弧長和扇形面積的計算公式，并請講講它們的異同點2問題1：一種太空囊的示意圖如圖所示，太空囊的外表面須作特別處理，以承受重返地球大氣層時與空氣摩擦后產(chǎn)生的高熱，那么該太空囊要接受防高熱處理的面積應(yīng)由幾部分組成的 老師點評：（1）n圓心角所對弧長：L=，S扇形=，公式中沒有n，而是n；弧長公式中是R，分母是180；而扇形面積公式中是R，分母是360，兩者要記清，不能混淆 （2）太空囊要接受熱處理的面積應(yīng)由三部分組成；圓錐上的側(cè)面積，圓柱的側(cè)面積和底圓的面積 這三部分中，第二部分和第三部分我們已經(jīng)學(xué)過，會求出其面積，但圓錐的側(cè)面積，到目前為止，如何求，我們是無能為力，下面我們來探究它 二、探索新知 我們學(xué)過圓柱的側(cè)面積是沿著它的母線展開成長方形，同理道理，我們也把連接圓錐頂點和底面圓上任意一點的線段叫做圓錐的母線 （學(xué)生分組討論，提問二三位同學(xué)）問題2：與圓柱的側(cè)面積求法一樣，沿母錐一條母線將圓錐側(cè)面剪開并展平，容易得到，圓錐的側(cè)面展開圖是一個扇形，設(shè)圓錐的母線長為L，底面圓的半徑為r，如圖24-115所示，那么這個扇形的半徑為_，扇形的弧長為_，因此圓錐的側(cè)面積為_，圓錐的全面積為_ 老師點評：很顯然，扇形的半徑就是圓錐的母線，扇形的弧長就是圓錐底面圓的周長因此，要求圓錐的側(cè)面積就是求展開圖扇形面積S=，其中n可由2r=求得：n=，扇形面積S=rL；全面積是由側(cè)面積和底面圓的面積組成的，所以全面積=rL+r2 例1圣誕節(jié)將近，某家商店正在制作圣誕節(jié)的圓錐形紙帽，已知紙帽的底面周長為58cm，高為20cm，要制作20頂這樣的紙帽至少要用多少平方厘米的紙？（結(jié)果精確到0.1cm2） 分析：要計算制作20頂這樣的紙帽至少要用多少平方厘米的紙，只要計算紙帽的側(cè)面積 解：設(shè)紙帽的底面半徑為rcm，母線長為Lcm，則 r= L=22.03 S紙帽側(cè)=rL5822.03=638.87（cm） 638.8720=12777.4（cm2） 所以，至少需要12777.4cm2的紙 例2已知扇形的圓心角為120，面積為300cm2 （1）求扇形的弧長； （2）若將此扇形卷成一個圓錐，則這個圓錐的軸截面面積為多少？ 分析：（1）由S扇形=求出R，再代入L=求得（2）若將此扇形卷成一個圓錐，扇形的弧長就是圓錐底面圓的周長，就可求圓的半徑，其截面是一個以底是直徑，圓錐母線為腰的等腰三角形解：（1）如圖所示： 300= R=30 弧長L=20（cm）（2）如圖所示： 20=20r r=10，R=30 AD=20 S軸截面=BCAD =21020=200（cm2） 因此，扇形的弧長是20cm卷成圓錐的軸截面是200cm2 三、鞏固練習(xí) 教材P124 練習(xí)1、2 四、應(yīng)用拓展 例3如圖所示，經(jīng)過原點O（0，0）和A（1，-3），B（-1，5）兩點的曲線是拋物線y=ax2+bx+c（a0）. （1）求出圖中曲線的解析式； （2）設(shè)拋物線與x軸的另外一個交點為C，以O(shè)C為直徑作M，如果拋物線上一點P作M的切線PD，切點為D，且與y軸的正半軸交點為E，連結(jié)MD，已知點E的坐標(biāo)為（0，m），求四邊形EOMD的面積（用含m的代數(shù)式表示）（3）延長DM交M于點N，連結(jié)ON、OD，當(dāng)點P在（2）的條件下運動到什么位置時，能使得S四邊形EOMD=SDON請求出此時點P的坐標(biāo) 解：（1）O（0，0），A（1，-3），B（-1，5）在曲線y=ax2+bx+c（a0）上 解得a=1，b=-4，c=0 圖中曲線的解析式是y=x2-4x（2）拋物線y=x2-4x與x軸的另一個交點坐標(biāo)為c（4，0）,連結(jié)EM， M的半徑為2，即OM=DM=2 ED、EO都是M的切線 EO=ED EOMEDM S四邊形EOMD=2SOME=2OMOE=2m （3）設(shè)點D的坐標(biāo)為（x0，y0） SDON=2SDOM=2OMy0=2y0 S四邊形ECMD=SDON時即2m=2y0，m=y0 m=y0 EDx軸 又ED為切線 D（2，2） 點P在直線ED上，故設(shè)P（x，2） P在圓中曲線y=x2-4x上 2=x2-4x 解得：x=2 P1（2+，0），P2（2-，2）為所求 五、歸納小結(jié)（學(xué)生歸納，老師點評） 本節(jié)課應(yīng)掌握： 1什么叫圓錐的母線 2會推導(dǎo)圓錐的側(cè)面積和全面積公式并能靈活應(yīng)用它們解決問題 六、布置作業(yè) 1教材P124 復(fù)習(xí)鞏固4 P125 綜合運用8 拓廣探索9、10 2選用課時作業(yè)設(shè)計 第二課時作業(yè)設(shè)計 一、選擇題 1圓錐的母線長為13cm，底面半徑為5cm，則此圓錐的高線為（ ） A6cm B8cm C10cm D12cm 2在半徑為50cm的圓形鐵皮上剪去一塊扇形鐵皮，用剩余部分制作成一個底面直徑為80cm，母線長為50cm的圓錐形煙囪帽，則剪去的扇形的圓心角度數(shù)為（ ） A228 B144 C72 D36 3如圖所示，圓錐的母線長是3，底面半徑是1，A是底面圓周上一點，從點A出發(fā)繞側(cè)面一周，再回到點A的最短的路線長是（ ）A6 B C3 D3 二、填空題 1母線長為L，底面半徑為r的圓錐的表面積=_ 2矩形ABCD的邊AB=5cm，AD=8cm，以直線AD為軸旋轉(zhuǎn)一周，所得圓柱體的表面積是_（用含的代數(shù)式表示） 3糧倉頂部是一個圓錐形，其底面周長為36m，母線長為8m，為防雨需在糧倉頂部鋪上油氈，如果按用料的10%計接頭的重合部分，那么這座糧倉實際需用_m2的油氈 三、綜合提高題 1一個圓錐形和煙囪帽的底面直徑是40cm，母線長是120cm，需要加工這樣的一個煙囪帽，請你畫一畫： （1）至少需要多少厘米鐵皮（不計接頭） （2）如果用一張圓形鐵皮作為材料來制作這個煙囪帽，那么這個圓形鐵皮的半徑至少應(yīng)是多少？2如圖所示，已知圓錐的母線長AB=8cm，軸截面的頂角為60，求圓錐全面積 3如圖所示，一個幾何體是從高為4m，底面半徑為3cm的圓柱中挖掉一個圓錐后得到的，圓錐的底面就是圓柱的上底面，圓錐的頂點在圓柱下底面的圓心上，求這個幾何體的表面積答案:一、1D 2C 3C二、1r2+rL 21 30cm2 3158.4三、1（1）2400cm2 （2）40cm248cm2 3S表=S柱側(cè)+S柱底+S錐側(cè)=234+32+35=24+9+15=48cm2 希望對大家有所幫助，多謝您的瀏覽！