2 導數(shù)的概念及其幾何意義導數(shù)的概念及其幾何意義 21 導數(shù)的概念導數(shù)的概念 22 導數(shù)的幾何意義導數(shù)的幾何意義 第三章第三章 變化率與導數(shù)變化率與導數(shù) 學習導航學習導航 第三章第三章 變化率與導數(shù)變化率與導數(shù) 學習學習目標目標 1.了解導數(shù)概念的實際背景了解導數(shù)概念的實際背景 2理解導數(shù)的概念及其幾何意義理解導數(shù)的概念及其幾何意義(重點重點) 3掌握利用定義求導數(shù)，會求曲線的切線方程掌握利用定義求導數(shù)，會求曲線的切線方程 (難點難點) 學法學法指導指導 1.通過實例，從瞬時變化率角度理解導數(shù)的定義和通過實例，從瞬時變化率角度理解導數(shù)的定義和實際意義實際意義 2從曲線割線斜率的變化體會導數(shù)的幾何意義從曲線割線斜率的變化體會導數(shù)的幾何意義 3體會極限逼近的思想體會極限逼近的思想. 1.導數(shù)的概念導數(shù)的概念 設函數(shù)設函數(shù) yf(x)，當自變量，當自變量 x 從從 x0變到變到 x1時，函數(shù)值從時，函數(shù)值從 f(x0)變到變到 f(x1)，函數(shù)值，函數(shù)值 y 關于關于 x 的平均變化率為的平均變化率為yx f（x1）f（x0）x1x0f（x0 x）f（x0）x. 當當 x1趨于趨于 x0，即，即 x 趨于趨于 0 時，如果平均變化率趨于一個固定的時，如果平均變化率趨于一個固定的值，那么這個值就是函數(shù)值，那么這個值就是函數(shù) yf(x)在在 x0點的點的_.在在數(shù)學中，稱瞬時變化率為函數(shù)數(shù)學中，稱瞬時變化率為函數(shù) yf(x)在在 x0點的點的_,通常用通常用符號符號_表示，記作表示，記作 f(x0) limx1x0 f（x1）f（x0）x1x0_. 瞬時變化率瞬時變化率 導數(shù)導數(shù) f(x0) limx0f（x0 x）f（x0）x 0 2.函數(shù)函數(shù) yf(x)“在點在點 x0處的導數(shù)處的導數(shù)”“導函數(shù)導函數(shù)”“導數(shù)導數(shù)”之間的之間的區(qū)別與聯(lián)系：區(qū)別與聯(lián)系： (1)“函數(shù)函數(shù) f(x)在點在點 x0處的導數(shù)處的導數(shù)”， 是一個數(shù)值， 不是變數(shù)， 是一個數(shù)值， 不是變數(shù)，它是針對一個點它是針對一個點 x0而言的， 與給定的函數(shù)及而言的， 與給定的函數(shù)及 x0的位置的位置 有有關，關， 而而 與與 x 無關無關 (2)“導函數(shù)導函數(shù)”也簡稱也簡稱“導數(shù)導數(shù)”，是一個確定的函數(shù)，它是相，是一個確定的函數(shù)，它是相對對 于一個區(qū)間而言的，依賴于函數(shù)本身，而與于一個區(qū)間而言的，依賴于函數(shù)本身，而與 x，x 無無關關 (3)函數(shù)函數(shù)yf(x)在點在點x0處的導數(shù)處的導數(shù)f(x0)就是導函數(shù)就是導函數(shù)f(x)在點在點xx0處的函數(shù)值，即處的函數(shù)值，即 f(x0)f(x)|xx . 3導數(shù)的幾何意導數(shù)的幾何意義義 (1)曲線的割線曲線的割線 函數(shù)函數(shù) yf(x)在在x0，x0 x的平均變化率為的平均變化率為yx，如圖，如圖，它它是過是過 A(x0，f(x0)和和 B(x0 x，f(x0 x)兩點的直線的兩點的直線的_這條直線稱為曲線這條直線稱為曲線 yf(x)在點在點 A 處的一條處的一條割線割線 斜率斜率 (2)曲線的切線曲線的切線 如圖，設函數(shù)如圖，設函數(shù) yf(x)的圖像是一條光滑的圖像是一條光滑 的曲線，從圖像上可以看出：當?shù)那€，從圖像上可以看出：當 x 取不取不 同的值時，可以得到不同的割線；當同的值時，可以得到不同的割線；當 x 趨于零時，點趨于零時，點 B 將沿著曲線將沿著曲線 yf(x)趨于趨于點點 A，割線，割線 AB 將繞將繞點點 A 轉動最后趨于直線轉動最后趨于直線 l.直線直線 l 和曲線和曲線 yf(x)在點在點 A 處處“相相切切”， 稱直線， 稱直線 l 為曲線為曲線 yf(x)在點在點 A 處的處的_ 該切線 該切線的斜率就是函數(shù)的斜率就是函數(shù) yf(x)在在 x0處的導數(shù)處的導數(shù) f(x0) 切線切線 (3)導數(shù)的幾何意義導數(shù)的幾何意義 函數(shù)函數(shù)yf(x)在在x0處的導數(shù)，是曲線處的導數(shù)，是曲線yf(x)在點在點(x0，f(x0)處處 的的_函數(shù)函數(shù)yf(x)在在x0處切線的斜處切線的斜 率反率反 映映 了導了導數(shù)的幾何意義數(shù)的幾何意義 4(1)函數(shù)函數(shù)yf(x)在點在點x0處的導數(shù)的幾何意義是曲線處的導數(shù)的幾何意義是曲線yf(x)在在點點P(x0，f(x0)處的切線的斜率也就是說，曲線處的切線的斜率也就是說，曲線yf(x) 在在 點點P(x0，f(x0)處的切線的斜率是處的切線的斜率是f(x0)相應地，切線方程為相應地，切線方程為yy0f(x0)(xx0) 切線的斜率切線的斜率 (2)函數(shù)函數(shù)yf(x)在點在點P處的切線的斜率，即函數(shù)處的切線的斜率，即函數(shù)yf(x)在點在點P處處的導數(shù)，反映了曲線在點的導數(shù)，反映了曲線在點P處的變化率一般地，切處的變化率一般地，切 線線 的的 斜斜率的絕對值越大，變化率就越大，曲線的變化就越快，彎率的絕對值越大，變化率就越大，曲線的變化就越快，彎 曲曲程度越大；切線斜率的絕對值越小，變化率就越小，曲線程度越大；切線斜率的絕對值越小，變化率就越小，曲線 的的變化就越慢，彎曲程度越小，即曲線比較平緩；反之，由變化就越慢，彎曲程度越小，即曲線比較平緩；反之，由 曲曲線在點線在點P附近的平緩、彎曲程度，可以判斷函數(shù)在點附近的平緩、彎曲程度，可以判斷函數(shù)在點P處的處的 切切線的斜率的大小線的斜率的大小 1判斷正誤判斷正誤(正確的打正確的打“”，錯誤的打，錯誤的打“”) (1)函數(shù)在某一點的導數(shù)與函數(shù)在某一點的導數(shù)與 x 值的正、負值的正、負無關無關( ) (2)函數(shù)函數(shù) yf(x)在在 xx0處的導數(shù)值是處的導數(shù)值是 x0 時的平均變化率時的平均變化率( ) (3)若函數(shù)若函數(shù) yf(x)在在 xx0處有導數(shù)，則函數(shù)處有導數(shù)，則函數(shù) yf(x)在在 xx0處處有唯一的一條切線有唯一的一條切線( ) (4)若函數(shù)若函數(shù) yf(x)在在 xx0處導數(shù)不存在，則函數(shù)處導數(shù)不存在，則函數(shù) yf(x)在在 xx0處的切線不存在處的切線不存在( ) (5)函數(shù)函數(shù) yf(x)在在xx0處的切線與函數(shù)處的切線與函數(shù) yf(x)的公共點不一定的公共點不一定是一個是一個( ) 2設函數(shù)設函數(shù) f(x)定義域為定義域為 R，limx0 f（1 x）f（1） x為為常數(shù)常數(shù)，則它等于則它等于( ) Af(1) Bf(0) Cf( x) D. y x 解析：由定義知它是解析：由定義知它是f(x)在在x1處的導數(shù)處的導數(shù) A 3設設f(x0)0，則曲線則曲線yf(x)在點在點(x0，f(x0)處的切線處的切線( ) A不存在不存在 B與與x軸重合或平行軸重合或平行 C與與x軸垂直軸垂直 D與與x軸斜交軸斜交 解析：解析：f(x0)0，即即yf(x)在在x0處的切線的斜率為處的切線的斜率為0.當當f(x0)0時時，切線與切線與x軸重合；當軸重合；當f(x0)0時時，切線與切線與x軸平行軸平行 B 4(2014 南京市高二期末南京市高二期末)已知函數(shù)已知函數(shù) f(x)x1x，則則 f(1)的值為的值為_ 解析：解析：f(x)11x(x0)，f(1)limx0 f（1 x）f（1） xlimx0 11 x1. 1 定義法求導與導數(shù)的實際意義定義法求導與導數(shù)的實際意義 建造一棟面積為建造一棟面積為 x 平方米的房屋需要成本平方米的房屋需要成本 y 萬元萬元，y是是 x 的函數(shù)的函數(shù)，yf(x)x10 x100.3，求求 f(100)，并解釋它并解釋它的實際意義的實際意義 解解 根據(jù)導數(shù)的定義根據(jù)導數(shù)的定義，得得 f(100)limx0 y xlimx0 f（100 x）f（100） x limx0 100 x100 x3（100 1003）10 x limx0 (110100 x1010 x) limx0110110（100 x10） 0.105. f(100)0.105 表示當建筑面積為表示當建筑面積為 100 平方米時平方米時，成本增加成本增加的速度為的速度為 1 050 元元/平方米平方米， 也就是說當建筑面積也就是說當建筑面積為為 100 平方米平方米時時，每增加每增加 1 平方米的建筑面積平方米的建筑面積，成本就要增加成本就要增加 1 050 元元 方法歸納方法歸納 (1)求導方法簡記為：一差求導方法簡記為：一差、二比二比、三趨近三趨近 (2)求函數(shù)在某一點的導數(shù)的方法有兩種：一種是直接求函數(shù)求函數(shù)在某一點的導數(shù)的方法有兩種：一種是直接求函數(shù)在該點的導數(shù)；另一種是求出導函數(shù)，再求導函數(shù)在該點的在該點的導數(shù)；另一種是求出導函數(shù)，再求導函數(shù)在該點的函數(shù)值，此方法是常用方法函數(shù)值，此方法是常用方法 解：因為解：因為ytf（2t）f（2）t3（2t）3 2t3， 所以所以 f(2)limt0 yt3. f(2)3 的意義是的意義是:水流在水流在 2 s 時的瞬時流量為時的瞬時流量為 3 m3/s， 即如果， 即如果保持這一速度保持這一速度,每經過每經過 1 s,水管中流過的水量為水管中流過的水量為 3 m3. 1.一條水管中流過的水量一條水管中流過的水量y(單位：單位：m3)是時間是時間t(單位：單位：s)的函數(shù)的函數(shù), yf(t)3t.求函數(shù)求函數(shù)yf(t)在在t2處的導數(shù)處的導數(shù)f(2)，并解釋，并解釋 它它 的的 實實際意義際意義 求函數(shù)或曲線在某點處的切線方程求函數(shù)或曲線在某點處的切線方程 已知曲線已知曲線 C：yx3. (1)求曲線求曲線 C 上橫坐標為上橫坐標為 1 的點處的切線的方程；的點處的切線的方程； (2)第第(1)小題中的切線與曲線小題中的切線與曲線 C 是否還有其他的公共點？是否還有其他的公共點？ (鏈接教材第三章鏈接教材第三章 2.2 例例 4、例、例 5) 解解 (1)將將 x1 代入曲線代入曲線 C 的方程，得的方程，得 y1，即切點為，即切點為P(1，1) ylimx0 yx limx0 （xx）3x3x limx0 3x2x3x（x）2（x）3x limx03x23xx(x)23x2. f(1)3， 過點過點 P 的切線方程為的切線方程為 y13(x1)， 即即 3xy20. (2)由由 y3x2，yx3可得：可得：(x1)(x2x2)0， 解得解得 x1 或或 x2. 從而求得公共點為從而求得公共點為(1，1)和和(2，8)因此，切線與曲因此，切線與曲線線 C 的公共點除了切點外，還有另外的公共點除了切點外，還有另外的點的點 方法歸納方法歸納 (1)求曲線求曲線yf(x)在點在點P(x0，f(x0)處的切線方程，即處的切線方程，即 點點P 既既 滿滿足曲線方程，又滿足切線方程足曲線方程，又滿足切線方程,若點若點P處的切線斜率為處的切線斜率為f(x0), 則則點點P處的切線方程為處的切線方程為yf(x0)f(x0)(xx0)；如果曲線；如果曲線y f(x)在點在點P處的切線平行于處的切線平行于y軸軸(此時導數(shù)不存在此時導數(shù)不存在)，可由切線，可由切線 定定 義義確定切線方程為確定切線方程為xx0. (2)若切點未知，此時需設出切點坐標，再根據(jù)導數(shù)的定義若切點未知，此時需設出切點坐標，再根據(jù)導數(shù)的定義 列列出關于切點橫坐標的方程出關于切點橫坐標的方程,最后求出切點坐標或切線的方程最后求出切點坐標或切線的方程,此此時求出的切線方程往往不止一條時求出的切線方程往往不止一條 2.(2014 許昌市五校聯(lián)考許昌市五校聯(lián)考)曲線曲線 f(x)12x2在點在點 1，12處的切處的切線方程為線方程為( ) A2x2y10 B2x2y10 C2x2y10 D2x2y30 解析：選解析：選 C.yxf（1x）f（1）x 12（1x）21212xx12（x）2x112x， f(1)limx0 yxlimx0 (112x)1. (1，12)處的切線方程為處的切線方程為 y12x1，即，即 2x2y10. 已知已知 f(x)在在 xx0處的導數(shù)為處的導數(shù)為 4，則，則 limx0 f（x02x）f（x0）x_ 易錯警示易錯警示 因對導數(shù)的概念理解不透徹致誤因對導數(shù)的概念理解不透徹致誤 解解 limx0 f（x02x）f（x0）x limx0f（x02x）f（x0）2x2 2limx0 f（x02x）f（x0）2x 2f(x0)248. 錯因與防范錯因與防范 本例易因對導數(shù)概念不理解，亂套用定義致本例易因對導數(shù)概念不理解，亂套用定義致錯 注意本題分子中錯 注意本題分子中 x 的增量是的增量是 2x， 即， 即(x02x)x02x，解決此類問題關鍵是變形分母中解決此類問題關鍵是變形分母中 x 的增量，使與分子中的增的增量，使與分子中的增量一致量一致(包括符號包括符號)，歸結為，歸結為 climx0 f（x0kx）f（x0）kx(c，k 為常數(shù)且為常數(shù)且 kc0)的形式的形式. 3已知已知 f(1)2，則，則limx0 f（12x）f（1）x_ 解：解：limx0 f（12x）f（1）x (2)limx0 f（12x）f（1）2x (2)(2)4. 解解 yx33ax. ylimx0 （xx）33a（xx）x33axx limx0 3x2x3x（x）2（x）33axx limx03x23xx(x)23a 3x23a. 技法導學技法導學 利用導數(shù)的幾何意義求參數(shù)的取值利用導數(shù)的幾何意義求參數(shù)的取值 若曲線若曲線yx33ax在某點處的切線方程為在某點處的切線方程為y3x1.求求a的值的值 設曲線與直線相切的切點為設曲線與直線相切的切點為 P(x0，y0)， 結合已知條件，得結合已知條件，得 3x203a3，x303ax0y03x01，解得解得 a1322，x0342. a1322. 感悟提高感悟提高 充分利用導數(shù)的幾何意義，明確切點是曲充分利用導數(shù)的幾何意義，明確切點是曲線與切線的一個公共點線與切線的一個公共點 本部分內容講解結束本部分內容講解結束 按按ESC鍵退出全屏播放鍵退出全屏播放