成才之路 數(shù)學(xué),路漫漫其修遠兮 吾將上下而求索,北師大版 選修2-3,計數(shù)原理,第一章,4 簡單計數(shù)問題,第一章,能選擇分類加法計數(shù)原理或分步乘法計數(shù)原理，應(yīng)用有關(guān)排列、組合的知識解決一些簡單的實際問題 本節(jié)重點：兩個計數(shù)原理、排列組合知識 本節(jié)難點：用好兩個計數(shù)原理和排列、組合的知識.,一一對應(yīng),元素,特殊元素,其他元素,位置,特殊位置,其他位置,全部元素的排列順序,不符合要求的元素的排列順序,特殊,分類,排列組合,1.直接法可先考慮某個元素可在某個位置，或者某個位置可填某個元素而間接法，先不考慮特殊性，從總數(shù)中減去不適合條件的 2解決相鄰或不相鄰問題的方法 (1)捆綁法：解決“若干元素相鄰”的排列問題，一般使用捆綁法，也就是將相鄰的若干元素“捆綁”在一起，看作一個大元素，與其他的元素進行全排列；然后再“松綁”，將被“捆綁”的若干個元素內(nèi)部進行全排列,(2)插空法：解決“若干元素不相鄰”，也就是“若干元素間隔”的排列問題時，往往先排列好個數(shù)較少的元素，再讓其余元素插排在它們之間或兩端的空位中否則，若先排個數(shù)較多的元素，再讓其余元素插空排列時，往往個數(shù)較多的元素有相鄰的情況插空法與捆綁法有同等作用 3常用的解答組合問題的方法有很多，有分類法、直接法、間接法等常用的方法，還有插空法及隔板法等特殊方法要解決組合問題，還可用到構(gòu)造數(shù)學(xué)模型等方法不同的方法用以解決不同的問題，要掌握好各種方法及方法應(yīng)用的背景,4有關(guān)組合問題的題目的背景常以“幾何問題”、“產(chǎn)品質(zhì)量抽樣檢測問題”、“集合問題”、“人或物的有關(guān)分配問題”等形式出現(xiàn)處理問題時常常利用分類思想在解組合問題及組合與排列的綜合問題時，要注意準確地應(yīng)用兩個基本原理；要注意準確區(qū)分是排列問題還是組合問題；要注意在利用直接法解題的同時，也要根據(jù)問題的實際恰當?shù)乩瞄g接法解題,5排列與組合的區(qū)別與聯(lián)系： (1)根據(jù)排列與組合的定義，前者是從n個不同元素中取出m個不同元素后，還要按照一定的順序排成一列，而后者只要從n個不同元素中取出m個不同元素并成一組，所以區(qū)分某一問題是排列還是組合問題，關(guān)鍵看選出的元素與順序是否有關(guān)，若交換任意兩個元素的位置對結(jié)果產(chǎn)生影響，則是排列問題，而交換任意兩個元素的位置對結(jié)果沒有影響，則是組合問題也就是說排列與選取元素的順序有關(guān)，組合與選取元素的順序無關(guān),(2)排列與組合的共同點，就是都要“從n個不同元素中，任取m(mn)個元素”，而不同點在于元素取出以后，是“排成一排”，還是“組成一組”其實質(zhì)就是取出的元素是否存在順序上的差異因此，區(qū)分排列問題和組合問題的主要標志是：是否與元素的排列順序有關(guān)，有順序的是排列問題，無順序的是組合問題，例如123、321和132是不同的排列，但它們都是相同的組合再如兩人互寄一次信是排列問題，互握一次手則是組合問題,6解排列與組合應(yīng)用題時，首先應(yīng)抓住是排列問題還是組合問題界定排列與組合問題是排列還是組合，唯一的標準是“順序”，有序是排列問題，無序是組合問題當排列與組合問題綜合到一起時，一般采用先考慮組合后考慮排列的方法解答其次要搞清需要分類，還是需要分步分類加法計數(shù)原理與分步乘法計數(shù)原理是關(guān)于計數(shù)的兩個基本原理，它們不僅是推導(dǎo)排列數(shù)公式和組合數(shù)公式的基礎(chǔ)，而且其應(yīng)用貫穿于排列與組合的始終學(xué)好兩個計數(shù)原理是解決排列與組合應(yīng)用題的基礎(chǔ)切記：排組分清(有序排列、無序組合)，加乘明確(分類為加、分步為乘).,1.從5名男生和5名女生中選3人組隊參加某集體項目的比賽，其中至少有一名女生入選的組隊方案數(shù)為( ) A100 B110 C120 D130 答案 B,2(2014山西太原五中月考)如果小明在某一周的第一天和第七天分別吃了3個水果，且從這周的第二天開始，每天所吃水果的個數(shù)與前一天相比，僅存在三種可能：或“多一個”或“持平”或“少一個”，那么，小明在這一周中每天所吃水果個數(shù)的不同選擇方案共有( ) A50種 B51種 C140種 D141種 答案 D,3由1、2、3、4、5、6組成沒有重復(fù)數(shù)字且1、3都不與5相鄰的六位偶數(shù)的個數(shù)是( ) A72 B96 C108 D144 答案 C,4有4位同學(xué)在同一天的上、下午參加“身高與體重”、“立定跳遠”、“肺活量”、“握力”、“臺階”五個項目的測試，每位同學(xué)上、下午各測試一個項目，且不重復(fù)若上午不測“握力”項目，下午不測“臺階”項目，其余項目上、下午都各測試一人，則不同的安排方式共有_種(用數(shù)字作答) 答案 264,5甲、乙、丙三人站到共有7級的臺階上，若每級臺階最多站2人，同一級臺階上的人不區(qū)分站的位置，則不同的站法種數(shù)是_(用數(shù)字作答) 答案 336,如圖所示，現(xiàn)有4種顏色給四川、青海、西藏、云南四省(區(qū))的地圖染色，每一個省(區(qū))只染一種顏色，要求相鄰的省(區(qū))染不同的色，則不同的染色方法有多少種？,與染色有關(guān)的計數(shù)問題,幾何元素的計數(shù)問題,在一個正方體中，各棱、各面對角線和體對角線中，共有多少對異面直線？ 分析 解答本題可用間接法求解，28條線段任取2條的組合中除去不能構(gòu)成異面直線的情況或者構(gòu)造模型，借助三棱錐中有且僅有3對異面直線來解決,四面體的4個頂點和各棱中點，這10個點最多可確定多少個四面體？ 解析 本題的實質(zhì)是從這10個點中任取4個不共面的點，共有多少種不同取法，如圖所示，所取出的4點共面的情況有以下三種：,利用“隔板法”解決分配問題,有10個三好學(xué)生名額，分配到高三年級六個班中，每班至少一名，共有多少種不同分法？,有10個相同的小球裝入3個編號分別為1、2、3的盒子中(每次要將10個球裝完)，要求盒子里球的個數(shù)不小于盒子的編號數(shù)，這樣的做法種數(shù)是_ 答案 15,含有雙重元素的組合問題,某外語組有9人，每人至少會英語和日語中的一門，其中7人會英語，3人會日語，從中選出會英語和日語的各一人，有多少種不同的選法？ 分析 由題意知有1人既會英語又會日語在選擇2人時，可根據(jù)只會英語的人進行分類完成,解析 由題意得有1人既會英語又會日語，6人只會英語，2人只會日語 第一類：從只會英語的6人中選1人說英語有6種方法，則會日語的有213(種) 此時共有6318(種) 第二類：不從只會英語的6人中選1人說英語有1種方法，此時選會日語的有2種 故共有122(種)方法 所以由分類計數(shù)原理知共有18220(種)選法,車間有11名工人，其中5名男工是鉗工，4名女工是車工，另外兩名老師傅既能當車工又能當鉗工現(xiàn)在要在這11名工人中選派4名鉗工、4名車工修理一臺機床，有多少種選派方法？ 分析 把11名工人按男鉗工、女車工和老師傅分為三類，然后根據(jù)要求在每一類中選取所需人數(shù),排列中的定序問題,有3名男生，4名女生，按下述要求，分別求出其不同排列的種數(shù) (1)選其中5人排成一行； (2)全體排成一行，其中甲只能在中間或者兩頭的位置； (3)全體排成一行，其中甲、乙必須在兩頭； (4)全體排成一行，其中甲不在首，乙不在尾； (5)全體排成一行，其中男生、女生都各不相鄰； (6)全體排成一行，其中男生不能排在一起；,(7)全體排成一行，其中甲、乙、丙按自左至右的順序保持不變； (8)全體排成一行，甲、乙兩人間恰有3人； (9)全體排成前后兩排，前排3人，后排4人 分析 本題包括了有限制條件的排列問題的幾種基本類型，注意在處理這類問題時一般應(yīng)遵循：“先特殊，后一般”的原則，即先考慮特殊的元素或特殊的位置，再考慮一般的元素和位置，對于“必相鄰”元素，常采用“捆綁法”的技巧，對于“不相鄰”元素常采用“插空法”的技巧，此外“正難則反”是處理排列問題的一個重要策略，還是檢查結(jié)果是否正確的重要手段,有A、B、C、D、E五位學(xué)生參加網(wǎng)頁設(shè)計比賽，決出了第一到第五的名次A、B兩位學(xué)生去問成績，老師對A說，你的名次不知道，但肯定沒得第一名；又對B說，你是第三名，那么這五位學(xué)生的名次排列共有幾種不同的可能？,