第6課時(shí)離散型隨機(jī)變量的均值與方差1.理解離散型隨機(jī)變量的均值(或期望)與方差的意義.2.會(huì)求離散型隨機(jī)變量的均值、方差,并能對(duì)結(jié)果作出判斷與選擇.在一次選拔賽中,甲、乙兩射手在同一條件下進(jìn)行射擊,分布列如下:射手甲擊中環(huán)數(shù)8,9,10的概率分別為0.2,0.6,0.2;射手乙擊中環(huán)數(shù)8,9,10的概率分別為0.4,0.2,0.4.如果你是教練,如何比較兩名射手的射擊水平,選拔誰(shuí)呢?通過(guò)本節(jié)課的學(xué)習(xí),我們就會(huì)得到答案.問(wèn)題1:離散型隨機(jī)變量的均值與方差若離散型隨機(jī)變量X的分布列為:Xx1x2xixnPp1p2pipn則稱E(X)=為隨機(jī)變量X的均值或,它反映了離散型隨機(jī)變量取值的.稱D(X)=為隨機(jī)變量X的方差,它刻畫(huà)了隨機(jī)變量X與其均值E(X)的,其算術(shù)平方根D(X)為隨機(jī)變量X的.問(wèn)題2:利用方差判斷隨機(jī)變量的離散程度的標(biāo)準(zhǔn)方差越,波動(dòng)性越,即離散程度越;方差越,波動(dòng)性越,即離散程度越.問(wèn)題3: 兩點(diǎn)分布:設(shè)變量X只取0,1兩個(gè)值,并且P(X=0)=1-p, P(X=1)=p,則E(X)=,D(X)=.問(wèn)題4:(1)若隨機(jī)變量X服從參數(shù)為n,p的二項(xiàng)分布,即XB(n,p),則E(X)=,D(X)=.(2)若隨機(jī)變量 X服從參數(shù)為N,M,n的超幾何分布,則E(X)=.1.樣本中共有五個(gè)個(gè)體,其值分別為a,0,1,2,3.若該樣本的平均值為1,則樣本方差為().A.65B.65C.2D.22.已知某一隨機(jī)變量X的分布列如下,且E(X)=6.3,則a的值為().X4a9P0.50.1bA.5B.6C.7D.83.已知隨機(jī)變量X的概率分布如下表:X-101P161312則X的方差為.4.簽盒中有編號(hào)為1、2、3、4、5、6的六支簽,從中任意取3支,設(shè)X為這3支簽的號(hào)碼之中最大的一個(gè),求X的數(shù)學(xué)期望.離散型隨機(jī)變量的均值根據(jù)歷次比賽或者訓(xùn)練記錄,甲、乙兩名射手在同樣的條件下進(jìn)行射擊,成績(jī)分布如下:射手8環(huán)9環(huán)10環(huán)甲0.30.10.6乙0.20.50.3試比較甲、乙兩名射手射擊水平的高低.離散型隨機(jī)變量的方差若隨機(jī)事件A在1次試驗(yàn)中發(fā)生的概率為p(0<p<1),用隨機(jī)變量X表示A在1次試驗(yàn)中發(fā)生的次數(shù).(1)求方差D(X)的最大值; (2)求2D(X)-1E(X)的最大值.離散型隨機(jī)變量的均值與方差A(yù)、B兩臺(tái)機(jī)床同時(shí)加工零件,每生產(chǎn)一批數(shù)量較大的產(chǎn)品時(shí),出次品的概率如下表所示:A機(jī)床次品數(shù)X10123概率P0.70.20.060.04B機(jī)床次品數(shù)X20123概率P0.80.060.040.10問(wèn)哪一臺(tái)機(jī)床加工質(zhì)量較好?隨機(jī)抽取某廠的某種產(chǎn)品200件,經(jīng)質(zhì)檢,其中有一等品126件、二等品50件、三等品20件、次品4件.已知生產(chǎn)1件一、二、三等品獲得的利潤(rùn)分別為6萬(wàn)元、2萬(wàn)元、1萬(wàn)元,而1件次品虧損2萬(wàn)元.設(shè)1件產(chǎn)品的利潤(rùn)(單位:萬(wàn)元)為X.(1)求X的分布列;(2)求1件產(chǎn)品的平均利潤(rùn)(即X的均值);某籃球運(yùn)動(dòng)員投籃命中的概率p=0.6.(1)求一次投籃時(shí)投中次數(shù)X的期望和方差;(2)求重復(fù)5次投籃時(shí)投中次數(shù)Y的期望與方差.甲、乙兩射手在同一條件下進(jìn)行射擊,分布列如下:射手甲擊中環(huán)數(shù)8,9,10的概率分別為0.2,0.6,0.2;射手乙擊中環(huán)數(shù)8,9,10的概率分別為0.4,0.2,0.4.用擊中環(huán)數(shù)的期望與方差比較兩名射手的射擊水平.1.已知XB(n,p),E(X)=8,D(X)=1.6,則n,p的值分別是().A.100和0.08B.20和0.4C.10和0.2D.10和0.8 2.同時(shí)拋兩枚均勻的硬幣10次,設(shè)兩枚硬幣出現(xiàn)不同面的次數(shù)為X,則D(X)等于().A.158B.154C.52D.53.已知離散型隨機(jī)變量X的分布列如下表,若E(X)=0,D(X)=1,則a=,b=.X-1012Pabc1124.一次單元測(cè)試由50個(gè)選擇題構(gòu)成,每個(gè)選擇題有4個(gè)選項(xiàng),其中恰有1個(gè)是正確答案.每題選擇正確得2分,不選或錯(cuò)選得0分,滿分是100分.學(xué)生甲選對(duì)任一題的概率為0.8,求他在這次測(cè)試中成績(jī)的均值和標(biāo)準(zhǔn)差.(2014年四川卷)一款擊鼓小游戲的規(guī)則如下:每盤(pán)游戲都需擊鼓三次,每次擊鼓要么出現(xiàn)一次音樂(lè),要么不出現(xiàn)音樂(lè);每盤(pán)游戲擊鼓三次后,出現(xiàn)一次音樂(lè)獲得10分,出現(xiàn)兩次音樂(lè)獲得20分,出現(xiàn)三次音樂(lè)獲得100分,沒(méi)有出現(xiàn)音樂(lè)則扣除200分(即獲得-200分).設(shè)每次擊鼓出現(xiàn)音樂(lè)的概率為12,且各次擊鼓出現(xiàn)音樂(lè)相互獨(dú)立.(1)設(shè)每盤(pán)游戲獲得的分?jǐn)?shù)為X,求X的分布列.(2)玩三盤(pán)游戲,至少有一盤(pán)出現(xiàn)音樂(lè)的概率是多少?(3)玩過(guò)這款游戲的許多人都發(fā)現(xiàn),若干盤(pán)游戲后,與最初的分?jǐn)?shù)相比.分?jǐn)?shù)沒(méi)有增加反而減少了.請(qǐng)運(yùn)用概率統(tǒng)計(jì)的相關(guān)知識(shí)分析分?jǐn)?shù)減少的原因.考題變式(我來(lái)改編):答案第6課時(shí)離散型隨機(jī)變量的均值與方差知識(shí)體系梳理問(wèn)題1:x1p1+x2p2+xipi+xnpn數(shù)學(xué)期望平均水平i=1n(xi-E(X)2pi平均偏離程度標(biāo)準(zhǔn)差問(wèn)題2:大大大小小小問(wèn)題3:pp(1-p)問(wèn)題4:(1)npnp(1-p)(2)nMN基礎(chǔ)學(xué)習(xí)交流1.D由題意知a+0+1+2+3=51,解得a=-1.所以樣本方差為(-1-1)2+(0-1)2+(1-1)2+(2-1)2+(3-1)25=2,故選D.2.C由分布列性質(zhì)知:0.5+0.1+b=1,b=0.4.E(X)=40.5+a0.1+90.4=6.3,a=7,故選C.3.59直接由期望公式得E(X)=13,然后利用方差公式可得D(X)=(-1-13)216+(0-13)213+(1-13)212=59.4.解:由題意可知X可以取3,4,5,6,則P(X=3)=1C63=120,P(X=4)=C32C63=320,P(X=5)=C42C63=310,P(X=6)=C52C63=12.由數(shù)學(xué)期望的定義可求得E(X)=5.25.重點(diǎn)難點(diǎn)探究探究一:【解析】設(shè)甲、乙兩名射手射擊一次所得的環(huán)數(shù)分別為X、Y,則E(X)=80.3+90.1+100.6=9.3;E(Y)=80.2+90.5+100.3=9.1.由于E(X)>E(Y),這就是說(shuō)甲射擊所得的環(huán)數(shù)的數(shù)學(xué)期望比射手乙稍高一些,所以甲的射擊水平高一些.【小結(jié)】離散型隨機(jī)變量均值的實(shí)際意義是其取值的平均程度,在實(shí)際問(wèn)題中這個(gè)平均程度能給我們的決策等提供一定的幫助,能對(duì)一些問(wèn)題作出判斷.探究二:【解析】隨機(jī)變量X的所有可能取值為0,1,并且有P(X=1)=p,P(X=0)=1-p.從而E(X)=0(1-p)+1p=p,D(X)=(0-p)2(1-p)+(1-p)2p=p-p2.(1)D(X)=p-p2=-(p2-p+14)+14=-(p-12)2+14,0<p<1,當(dāng)p=12時(shí),D(X)取得最大值,最大值為14.(2) 2D(X)-1E(X)=2(p-p2)-1p=2-(2p+1p),0<p<1,2p+1p22.當(dāng)2p=1p,即p=22時(shí)取等號(hào).因此,當(dāng)p=22時(shí),2D(X)-1E(X)取得最大值2-22.【小結(jié)】本題考查了隨機(jī)變量的分布列、期望、方差等與其他知識(shí)的聯(lián)系,要求對(duì)兩點(diǎn)分布的分布列、期望、方差公式運(yùn)用熟練.探究三:【解析】E(X1)=00.7+10.2+20.06+30.04=0.44,E(X2)=00.8+10.06+20.04+30.10=0.44,E(X1)=E(X2).又D(X1)=(0-0.44)20.7+(1-0.44)20.2+(2-0.44)20.06+(3-0.44)20.04=0.6064,D(X2)=(0-0.44)20.8+(1-0.44)20.06+(2-0.44)20.04+(3-0.44)20.10=0.9264,D(X1)< D(X2),故A機(jī)床加工較穩(wěn)定、質(zhì)量較好.【小結(jié)】 E(X)是一個(gè)常數(shù),由隨機(jī)變量X的概率分布唯一確定,即隨機(jī)變量X是可變的,而E(X)是不變的,它描述X取值的平均狀態(tài).隨機(jī)變量的方差和標(biāo)準(zhǔn)差既反映了隨機(jī)變量取值偏離于均值的平均程度,方差或標(biāo)準(zhǔn)差越小,則隨機(jī)變量偏離于均值的平均程度越小,也反映了隨機(jī)變量取值的穩(wěn)定與波動(dòng)、集中與離散的程度.思維拓展應(yīng)用應(yīng)用一:(1)由于1件產(chǎn)品的利潤(rùn)為X,則X的所有可能取值為6,2,1,-2,由題意知P(X=6)=126200=0.63,P(X=2)=50200=0.25,P(X=1)=20200=0.1,P(X=-2)=4200=0.02.故X的分布列為:X621-2P0.630.250.10.02(2)1件產(chǎn)品的平均利潤(rùn)為E(X)=60.63+20.25+10.1+(-2)0.02=4.34(萬(wàn)元).應(yīng)用二:(1)X的分布列為:X01P0.40.6則E(X)=00.4+10.6=0.6,D(X)=(0-0.6)20.4+(1-0.6)20.6=0.24.(2)Y服從二項(xiàng)分布,即YB(5,0.6),E(Y)=np=50.6=3,D(Y)=50.60.4=1.2.應(yīng)用三:由題意得E(X甲)=80.2+90.6+100.2=9,D(X甲)=(8-9)20.2+(9-9)20.6+(10-9)20.2=0.4;同理有E(X乙)=9,D(X乙)=0.8.由上可知E(X甲)=E(X乙),D(X甲)<D(X乙).所以,可以看出甲、乙兩名射手所得的平均環(huán)數(shù)很接近,均在9環(huán)左右,但甲所得環(huán)數(shù)較集中,以9環(huán)居多,而乙得環(huán)數(shù)較分散,得8、10環(huán)的次數(shù)多些.基礎(chǔ)智能檢測(cè)1.D由E(X)=np=8,D(X)=np(1-p)=1.6,得n=10,p=0.8.2.CXB(10,12),D(X)=np(1-p)=101212=52.3.51214由題意知a+b+c=1112,-a+c+16=0,a+c+13=1,解得a=512,b=14,c=14.4.解:成績(jī)的均值為E(Y)=E(2X)=2E(X)=2500.8=80(分);成績(jī)的標(biāo)準(zhǔn)差為D(Y)=D(2X)=4D(X)=2500.80.2=4 2(分).全新視角拓展(1)X可能的取值為10,20,100,-200.根據(jù)題意有:P(X=10)=C31(12)1(1-12)2=38,P(X=20)=C32(12)2(1-12)1=38,P(X=100)=C33(12)3(1-12)0=18,P(X=-200)=C30(12)0(1-12)3=18,所以X的分布列為:X1020100-200P38381818(2)設(shè)“第i盤(pán)游戲沒(méi)有出現(xiàn)音樂(lè)”為事件Ai(i=1,2,3),則P(A1)=P(A2)=P(A3)=P(X=-200)=18.所以“三盤(pán)游戲中至少有一次出現(xiàn)音樂(lè)”的概率為1-P(A1A2A3)=1-(18)3=1-1512=511512.因此,玩三盤(pán)游戲至少有一盤(pán)出現(xiàn)音樂(lè)的概率是511512.(3)X的數(shù)學(xué)期望為E(X)=1038+2038+10018-20018=-54.這表明,獲得分?jǐn)?shù)X的均值為負(fù),因此,多次游戲之后分?jǐn)?shù)減少的可能性更大.思維導(dǎo)圖構(gòu)建平均水平平均偏離程度pp(1-p)npnp(1-p)