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2019-2020年高三數(shù)學上學期第一次月考試題 文（含解析） 【試卷綜評】本試卷試題主要注重基本知識、基本能力、基本方法等當面的考察，覆蓋面廣，注重數(shù)學思想方法的簡單應用，試題有新意，符合課改和教改方向，能有效地測評學生，有利于學生自我評價，有利于指導學生的學習，既重視雙基能力培養(yǎng)，側(cè)重學生自主探究能力，分析問題和解決問題的能力，突出應用，同時對觀察與猜想、閱讀與思考等方面的考查。 一、選擇題。每小題給出的四個選項中，只有一個符合題意。（本題共12小題，共60分。） 【題文】1、設(shè)集合（ ） A． B． C． D．R 【知識點】交集及其運算.A1 【答案解析】C 解析：因為所以化簡可得集合，，故，故選C. 【思路點撥】把原集合化簡后求出交集即可. 【題文】2、復數(shù)（是虛數(shù)單位）是純虛數(shù)，則實數(shù)的值為（ ） A． B．4 C．1 D．一1 【知識點】復數(shù)代數(shù)形式的乘除運算．L4 【答案解析】B 解析：． ∵復數(shù)是純虛數(shù)，∴，解得：a=4． 故選B． 【思路點撥】化簡復數(shù)為a+bi（a，b∈R），然后由復數(shù)的實部等于零且虛部不等于0求出實數(shù)的值. 【題文】3設(shè)向量，若，則（ ） A． B． C． D． 【知識點】兩個向量共線的充要條件.F2 【答案解析】D 解析：因為，所以，解得，故選D. 【思路點撥】直接利用兩個向量共線的充要條件即可. 【題文】4、四名同學根據(jù)各自的樣本數(shù)據(jù)研究變量之間的相關(guān)關(guān)系，并求得回歸直線方程，分別得到以下四個結(jié)論： ① y與x負相關(guān)且； ② y與x負相關(guān)且； ③ y與x正相關(guān)且； ④y與x正相關(guān)且. 其中一定不正確的結(jié)論的序號是 ( ) A．①② B．②③ C．③④ D． ①④ 【知識點】正負相關(guān)的概念.I4 【答案解析】D 解析：根據(jù)正負相關(guān)的概念可知②③是正確的，①④是不正確的，故選D. 【思路點撥】根據(jù)正負相關(guān)的概念可知結(jié)果. 【題文】5、若拋物線的焦點與橢圓的右焦點重合，則的值為（ ） A． B． C． D． 【知識點】橢圓與拋物線的性質(zhì).H5 H7 【答案解析】B 解析：因為橢圓中滿足，則，故橢圓的右焦點坐標為，所以，，故選B. 【思路點撥】先求出橢圓的右焦點坐標，再求p的之即可. 【題文】6、設(shè)，則在下列區(qū)間中，使函數(shù)有零點的區(qū)間是（?。? 　Ａ. B C. D. 【知識點】函數(shù)的零點.B9 【答案解析】D 解析：因為，，則，所以使函數(shù)有零點的區(qū)間是，故選D. 【思路點撥】判斷區(qū)間端點值的符號，乘積為異號即滿足條件. 【題文】7、閱讀如下程序框圖，如果輸出，那么空白的判斷框中應填人的條件是 ( ) A. S<8? B. S<12? C. S<14? D. S<16? 【知識點】程序框圖.L4 【答案解析】B 解析：框圖首先給變量S和i賦值S=0，i=1，執(zhí)行i=1+1=2，判斷2是奇數(shù)不成立，執(zhí)行S=0+2=2，不滿足輸出條件，故判斷框內(nèi)條件成立， 執(zhí)行i=2+1=3，判斷3是奇數(shù)成立，執(zhí)行S=2+23=8，不滿足輸出條件，故判斷框內(nèi)條件成立，執(zhí)行i=3+1=4，判斷4是奇數(shù)不成立，執(zhí)行S=8+4=12，滿足輸出條件，故此時在判斷時判斷框中的條件應該不成立，而此時的S的值是12，結(jié)合上一次S的值為8，故判斷框中的條件應S＜12．故選：B． 【思路點撥】由框圖給出的賦值，先執(zhí)行一次運算i=i+1，然后判斷得到的i的奇偶性，是奇數(shù)執(zhí)行S=2*i+2，是偶數(shù)執(zhí)行S=2*i+1，然后判斷S的值是否滿足判斷框中的條件，滿足繼續(xù)從i=i+1執(zhí)行，不滿足跳出循環(huán)，輸出i的值． 【題文】8、 已知函數(shù)，，則下列結(jié)論中正確的是（ ） A．函數(shù)的最小正周期為 B．函數(shù)的最大值為1 C．將函數(shù)的圖象向右平移單位后得的圖象 D．將函數(shù)的圖象向左平移單位后得的圖象 【知識點】三角函數(shù)的周期、最值；圖像的平移.C3 【答案解析】C 解析：因為，所以其最小正周期為，最大值為，故A,B錯誤；又因為， ，所以將函數(shù)的圖象向右平移單位后得的圖象，排除D,故選C. 【思路點撥】先化簡，根據(jù)三角函數(shù)的性質(zhì)排除A、B，然后結(jié)合平移排除D即可. 【題文】9、某校運動會開幕式上舉行升旗儀式，在坡度為15的看臺上，同一列上的第一排和最后 一排測得旗桿頂部的仰角分別為60和30， 第一排和最后一排的距離為10 m(如圖)， 則旗桿的高度為(　　) A．10 m B．30 m C．10 m D．10 m 【知識點】解三角形的實際應用．C8 【答案解析】B 解析：如圖所示， 依題意可知∠AEC=45，∠ACE=180-60-15=105∴∠EAC=180-45-105=30, 由正弦定理可知，∴米, ∴在Rt△ABC中，米，所以旗桿的高度為30米.故選B． 【思路點撥】先畫出示意圖，根據(jù)題意可求得∠PCB和∠PEC，轉(zhuǎn)化為∠CPB，然后利用正弦定理求得BP，最后在Rt△BOP中求出OP即可． 【題文】10、直線與圓相切，則圓的半徑最大時，的值是（ ） A． B． C． D．可為任意非零實數(shù) 【知識點】直線與圓相切的條件；基本不等式.H4 E6 【答案解析】C 解析：因為直線與圓相切，所以，當且僅當，即，故選C. 【思路點撥】先根據(jù)直線與圓相切得到，再利用基本不等式求出當半徑最大時的值即可. 【題文】11、已知是球的球面上三點，三棱錐O-ABC的高為，且，，則球的表面積為( ) A． B． C． D． 【知識點】球的體積和表面積；球內(nèi)接多面體．G8 【答案解析】C 解析：由題意是球的球面上三點，三棱錐O-ABC的高為，且，，即， 可知底面三角形是直角三角形，斜邊中點與球心的連線，就是棱錐的高， 所以球的半徑為：，所以球的表面積為：． 故選B． 【思路點撥】由題意判斷球心與三棱錐的底面的位置關(guān)系，求出球的半徑，即可求出球的表面積． 【題文】12、定義在上的函數(shù)滿足：，當時，，則（ ） A． B． C． D． 【知識點】函數(shù)的奇偶性；函數(shù)的周期性.B4 【答案解析】A 解析：因為，所以函數(shù)為奇函數(shù)，又因為，所以，所以函數(shù)的周期為2,當時，，令，則，，即的解析式為： ，因為，故 ，故選A. 【思路點撥】先根據(jù)已知條件判斷出函數(shù)為奇函數(shù)和周期為2的奇函數(shù)，再求出的解析式后代入數(shù)值即可. 二、填空題。（每小題5分，共20分） 【題文】13、已知命題，使成立，則 　　　 【知識點】特稱命題；命題的否定．A2 【答案解析】，成立 解析：命題，使成立， 其￢p是，成立， 答案為：，成立 【思路點撥】本題中的命題是一個特稱命題，其否定是全稱命題，依據(jù)特稱命題的否定書寫形式寫出命題的否定即可 【題文】14、已知某幾何體的三視圖如圖所示，則該幾何體的體積為 。 【知識點】由三視圖求面積、體積．G2 【答案解析】 解析：由三視圖知幾何體為三棱錐，且三棱錐的高為3， 底面三角形的一條邊長為3，該邊上的高為1， ∴幾何體的體積．故答案為：. 【思路點撥】由三視圖知幾何體為三棱錐，且三棱錐的高為3，底面三角形的一條邊長為3，該邊上的高為1，把數(shù)據(jù)代入棱錐的體積公式計算可得答案． 【題文】15、已知等差數(shù)列中，，那么 。 【知識點】兩角和與差的余弦函數(shù)；等差數(shù)列的通項公式．C5 D2 【答案解析】 解析：∵數(shù)列為等差數(shù)列，， ∴；又，∴．故答案為. 【思路點撥】利用等差中項易求，再求，從而可得答案． 【題文】16、已知函數(shù)，當時，恒成立，則實數(shù)的取值范圍為 。 【知識點】絕對值不等式；不等式恒成立問題.E2 【答案解析】 解析：因為，所以， 當時，恒成立，即在時恒成立，故； 當時，恒成立，即在時恒成立，即，矛盾舍去. 綜上所述：，故答案為：. 【思路點撥】結(jié)合已知條件先去絕對值然后轉(zhuǎn)化為不等式恒成立的問題即可. 三、解答題（解答應寫出必要的演算過程或文字說明。本大題共6小題，共70分。） 【題文】17、（本小題滿分10分） 在直角坐標系xOy中，圓C的參數(shù)方程為參數(shù)）．以O(shè)為極點，x軸的非 負半軸為極軸建立極坐標系． （Ⅰ）求圓C的極坐標方程； （Ⅱ）直線的極坐標方程是，射線與圓C的交 點為O、P，與直線的交點為Q，求線段PQ的長． 【知識點】簡單曲線的極坐標方程；直線與圓的位置關(guān)系．H4 N3 【答案解析】（Ⅰ）（Ⅱ） 2 解析：（Ⅰ）圓C的普通方程為，化為極坐標方程為 （Ⅱ）法一：由；由 從而 法二：直線，射線 由；：由 從而由兩點間距離公式得 【思路點撥】（Ⅰ）由圓C的參數(shù)方程消去參數(shù)可得：．代入化簡即可得到此圓的極坐標方程．（Ⅱ）由直線l的極坐標方程是，射線OM：．分別與圓的方程聯(lián)立解得交點，再利用兩點間的距離公式即可得出． 【題文】18、（本小題滿分12分） 年齡在60歲（含60歲）以上的人稱為老齡人，某小區(qū)的老齡人有350人， 他們的健康狀況如下表： 健康指數(shù) 2 1 0 -1 60歲至79歲的人數(shù) 120 133 34 13 80歲及以上的人數(shù) 9 18 14 9 其中健康指數(shù)的含義是：2代表“健康”，1代表“基本健康”，0代表“不健康，但生活能夠自理”，-1代表“生活不能自理”。 （Ⅰ）隨機訪問該小區(qū)一位80歲以下的老齡人，該老人生活能夠自理的概率是多少？ （Ⅱ）按健康指數(shù)大于0和不大于0進行分層抽樣，從該小區(qū)的老齡人中抽取5位，并隨機地訪問其中的3位.求被訪問的3位老齡人中恰有1位老齡人的健康指數(shù)不大于0的概率.。 【知識點】古典概型及其概率計算公式．K2 【答案解析】（Ⅰ）（Ⅱ） 解析：（Ⅰ）該小區(qū)80歲以下老齡人生活能夠自理的頻率為， 所以該小區(qū)80歲以下老齡人生活能夠自理的概率約為． （Ⅱ）該小區(qū)健康指數(shù)大于0的老齡人共有280人， 健康指數(shù)不大于0的老齡人共有70人， 由分層抽樣可知， 被抽取的5位老齡人中有4位健康指數(shù)大于0，有1位健康指數(shù)不大于0． 設(shè)被抽取的4位健康指數(shù)大于0的老齡人為1，2，3，4， 健康指數(shù)不大于0的老齡人為B． 從這五人中抽取3人，結(jié)果有10種： （1，2，3），（1，2，4），（1，2，B），（1，3，4），（1，3，B），（1，4，B），（2，3，4），（2，3，B），（2，4，B），（3，4，B，）， 其中恰有一位老齡人健康指數(shù)不大于0的有6種： （1，2，B），（1，3，B），（1，4，B），（2，3，B），（2，4，B），（3，4，B，）， ∴被訪問的3位老齡人中恰有1位老齡人的健康指數(shù)不大于0的概率為． 【思路點撥】（Ⅰ）根據(jù)80歲以下老齡人的人數(shù)，即可估計該地區(qū)80歲以下老齡人生活能夠自理的概率．（Ⅱ）由分層抽樣方法可得被抽取的5位老齡人中有4位健康指數(shù)大于0，有1位健康指數(shù)不大于0，設(shè)被抽取的4位健康指數(shù)大于0的老齡人為1，2，3，4，健康指數(shù)不大于0的老齡人為B；列舉從這五人中抽取3人的結(jié)果，由古典概型公式計算可得答案． 【題文】19、（本小題滿分12分） 已知數(shù)列與，若且對任意正整數(shù)滿足 數(shù)列的前項和。 （Ⅰ）求數(shù)列的通項公式；（Ⅱ）求數(shù)列的前項和 【知識點】數(shù)列的求和．D4 【答案解析】（Ⅰ）（Ⅱ） 解析：（Ⅰ）由題意知數(shù)列是公差為2的等差數(shù)列 又因為 所以 當時，； 當時， 對不成立。 所以，數(shù)列的通項公式: （Ⅱ）時， 時， 所以 仍然適合上式 綜上， 【思路點撥】（Ⅰ）依題意知，是以3為首項，公差為2的等差數(shù)列，從而可求得數(shù)列的通項公式；當時，，對不成立，于是可求數(shù)列{bn}的通項公式；（Ⅱ）由（Ⅰ）知當時，，當時，利用裂項法可求得從而可求 【題文】20、（本小題滿分12分） 如圖，正三棱柱（底面為正三角形，側(cè)棱垂直于底面）中，是的中點， 。 （Ⅰ） 求證：∥平面； （Ⅱ）求點到平面的距離。 【知識點】平面與平面垂直的判定；直線與平面平行的判定．G4 G5 【答案解析】（Ⅰ）見解析（Ⅱ） 解析：證明：連接A1B，設(shè)A1B∩AB1 = E，連接DE. ∵AA1=AB ∴四邊形A1ABB1是正方形， ∴E是A1B的中點， 又D是BC的中點， ∴DE∥A1C. ∵DE平面AB1D，A1C平面AB1D， ∴A1C∥平面AB1D. （Ⅱ）由體積法 【思路點撥】（Ⅰ）取C1B1的中點E，連接A1E，ED，易證平面A1EC∥平面AB1D，利用面面平行的性質(zhì)即可證得A1C∥平面AB1D．（Ⅱ）由體積轉(zhuǎn)化可得結(jié)果. 【題文】21、（本小題滿分12分） 已知橢圓的方程為，雙曲線的左、右焦點分別是的左、右頂點，而的左、右頂點分別是的左、右焦點。 （Ⅰ）求雙曲線的方程； （Ⅱ）若直線與雙曲線恒有兩個不同的交點A和B，且（其中O為原點），求實數(shù)的范圍。 【知識點】直線與圓錐曲線的綜合問題；雙曲線的標準方程．H6 H8 【答案解析】（Ⅰ）（Ⅱ） 解析：（1）設(shè)雙曲線的方程為 則，再由得 故的方程為 （2）將代入，得 由直線與雙曲線C2交于不同的兩點得： 且① 設(shè)，則 又，得 即，解得：② 由①、②得：,故的取值范圍為 【思路點撥】（Ⅰ）設(shè)出雙曲線的標準方程，根據(jù)根據(jù)橢圓方程求得雙曲線的左右頂點和焦點，進而求得雙曲線方程中的a和b，則雙曲線方程可得．（Ⅱ）將直線代入雙曲線方程消去y，進而根據(jù)判別式求得k的范圍，設(shè)出A，B的坐標，根據(jù)韋達定理求得x1+x2和x1x2的表達式，進而根據(jù)求得關(guān)于k的不等式，求得k的范圍，最后綜合求得答案． 【題文】22、 （本小題滿分12分） 已知函數(shù)。 （Ⅰ）求函數(shù)的極值； （Ⅱ）當時，恒成立，求實數(shù)的取值范圍。 【知識點】利用導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性；利用導數(shù)研究函數(shù)的極值．B12 【答案解析】（Ⅰ）和； （Ⅱ） 解析：（Ⅰ） 的定義域為， 列表可求得 和； （Ⅱ）當時，由化簡得 令，則化為 ①當，即時，等價于， ， 當且僅當，即，亦即取等號， 此時； ②當，即時，不等式恒成立，此時； ③當，即時，等價于， 當且僅當，即，亦即取等號， 此時； 綜上所述 （其他方法也可以，比如轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)的最值） 【思路點撥】（Ⅰ）求導后再列表即可；（Ⅱ）當時，由化簡得，然后利用分類討論的思想方法結(jié)合基本不等式即可.