2019-2020年高中數(shù)學 4.2.2最大值、最小值問題第2課時練習 北師大版選修1-1一、選擇題1將數(shù)8拆分為兩個非負數(shù)之和，使其立方之和為最小，則分法為()A2和6B4和4C3和5D以上都不對答案B解析設一個數(shù)為x，則另一個數(shù)為8x，則yx3(8x)3,0x8，y3x23(8x)2，令y0，即3x23(8x)20，解得x4.當0x<4時，y<0，函數(shù)單調(diào)遞減；當4<x8時，y>0，函數(shù)單調(diào)遞增，所以x4時，y最小2要制做一個圓錐形的漏斗，其母線長為20cm，要使其體積最大，則高為()A.cmBcmC.cmDcm答案D解析設圓錐的高為x，則底面半徑為，其體積為Vx(400x2)(0x20)，V(4003x2)，令V0，解得x.當0x時，V0；當x20時，V0，所以當x時，V取最大值3福建煉油廠某分廠將原油精煉為汽油，需對原油進行冷卻和加熱，如果第x小時時，原油溫度(單位：)為f(x)x3x28(0x5)，那么，原油溫度的瞬時變化率的最小值是()A8BC1D8答案C解析瞬時變化率即為f (x)x22x為二次函數(shù)，且f (x)(x1)21，又x0,5，故x1時，f (x)min1.4用總長為6m的鋼條制作一個長方體容器的框架，如果所制作容器的底面的相鄰兩邊長之比為34，那么容器容積最大時，高為()A0.5mB1mC0.8mD1.5m答案A解析設容器底面相鄰兩邊長分別為3xm、4xm，則高為(m)，容積V3x4x18x284x3，V36x252x2，由V0得x或x0(舍去)x時，V>0，x時，V<0，所以在x處，V有最大值，此時高為0.5m.5內(nèi)接于半徑為R的球且體積最大的圓錐的高為()ARB2R CRDR答案C解析設圓錐高為h，底面半徑為r，則R2(hR)2r2，r22Rhh2，Vr2hh(2Rhh2)Rh2h3，VRhh2.令V0得hR.當0<h<R時，V>0；當<h<2R時，V<0.因此當hR時，圓錐體積最大故應選C.6設圓柱的體積為V，那么其表面積最小時，底面半徑為()A. B.C. D.答案D解析設底面圓半徑為r，高為h，則Vr2h，h.S表2S底S側2r22rh2r22r2r2.S表4r，令S表0得，r，又當x(0，)時，S表<0；當x(，V)時，S表>0，當r時，表面積最小二、填空題7做一個無蓋的圓柱形水桶，若要使其體積是27，且用料最小，則圓柱的底面半徑為_答案3解析設圓柱的底面半徑為R，母線長為L，則VR2L27，L，要使用料最省，只需使圓柱形表面積最小，S表R22RLR22，S(R)2R，令S0得R3，當R3時，S表最小8一艘輪船在航行中的燃料費和它的速度的立方成正比，已知在速度為10km/h時燃料費是每小時6元 ，而其他與速度無關的費用是每小時96元，則此輪船的速度為_km/h航行時，能使行駛每公里的費用總和最小答案20解析設船速為每小時x(x0)千米，燃料費為Q元，則Qkx3，由已知得：6k103，k，即Qx3.記行駛每千米的費用總和為y元，則y(x396)x2yx，令y0，即x0，解之得：x20.這就是說，該函數(shù)在定義域(0，)內(nèi)有唯一的極值點，該極值必有所求的最小值，即當船速為每小時20公里時，航行每公里的總費用最小，最小值為7.2元三、解答題9用邊長為120cm的正方形鐵皮做一個無蓋水箱，先在四角分別截去一個小正方形，然后把四邊翻轉90角，再焊接成水箱問：水箱底邊的長取多少時，水箱容積最大？最大容積是多少？答案水箱底邊長取80cm時，容積最大，最大容積為128 000cm3解析設水箱底邊長為xcm，則水箱高為h60(cm)水箱容積VV(x)60x2(0<x<120)(cm3)V(x)120xx2.令V(x)0得，x0(舍)或x80.當x在(0,120)內(nèi)變化時，導數(shù)V(x)的正負如下表：x(0,80)80(80,120)V(x)0因此在x80處，函數(shù)V(x)取得極大值，并且這個極大值就是函數(shù)V(x)的最大值將x80代入V(x)，得最大容積V80260128 000(cm3)答：水箱底邊長取80cm時，容積最大，最大容積為128 000cm3.10(xx福州市八縣聯(lián)考)永泰某景區(qū)為提高經(jīng)濟效益，現(xiàn)對某一景點進行改造升級，從而擴大內(nèi)需，提高旅游增加值，經(jīng)過市場調(diào)查，旅游增加值y萬元與投入x(x10)萬元之間滿足：yf(x)ax2xbln，a，b為常數(shù)當x10萬元時，y19.2萬元；當x30萬元時，y50.5萬元(參考數(shù)據(jù)：ln20.7，ln31.1，ln51.6)(1)求f(x)的解析式；(2)求該景點改造升級后旅游利潤T(x)的最大值(利潤旅游增加值投入)答案(1)f(x)xln(x10)(2)24.4萬元解析(1)由條件可得解得a，b1，則f(x)xln(x10)(2)T(x)f(x)xxln(x10)，則T(x)，令T(x)0，則x1(舍)或x50，當x(10,50)時，T(x)>0，因此T(x)在(10,50)上是增函數(shù)；當x(50，)時，T(x)<0，因此T(x)在(50，)上是減函數(shù)，當x50時，T(x)取最大值T(50)50ln24.4(萬元)即該景點改造升級后旅游利潤T(x)的最大值為24.4萬元.一、選擇題1以長為10的線段AB為直徑畫半圓，則它的內(nèi)接矩形面積的最大值為()A10B15C25D50答案C解析如圖，設NOB，則矩形面積S5sin25cos50sincos25sin2，故Smax25.2若一球的半徑為r，作內(nèi)接于球的圓柱，則圓柱側面積的最大值為()A2r2Br2C4r2Dr2答案A解析設內(nèi)接圓柱的底面半徑為r1，高為t，則S2r1t2r124r1.S4.令(r2rr)0得r1r.此時S4r4rr2r2.3某公司生產(chǎn)一種產(chǎn)品，固定成本為20 000元，每生產(chǎn)一單位的產(chǎn)品，成本增加100元，若總收入R與年產(chǎn)量x(0x390)的關系是R(x)400x,0x390，則當總利潤最大時，每年生產(chǎn)的產(chǎn)品單位數(shù)是()A150B200C250D300答案D解析由題意可得總利潤P(x)300x20 000，0x390.由P(x)0，得x300.當0x300時，P(x)>0；當300<x390時，P(x)<0，所以當x300時，P(x)最大，故選D.二、填空題4用長為18m的鋼條圍成一個長方體形狀的框架，要求長方體的長與寬之比為21，該長方體的最大體積是_答案3m3解析設長方體的寬為x，則長為2x，高為3x(0<x<)，故體積為V2x26x39x2，V18x218x，令V0得，x0或1，0<x<2，x1.該長方體的長、寬、高各為2m、1m、1.5m時，體積最大，最大體積Vmax3m3.5某廠生產(chǎn)某種產(chǎn)品x件的總成本：C(x)1 200x3，又產(chǎn)品單價的平方與產(chǎn)品件數(shù)x成反比，生產(chǎn)100件這樣的產(chǎn)品的單價為50元，總利潤最大時，產(chǎn)量應定為_件答案25解析設產(chǎn)品單價為a元，又產(chǎn)品單價的平方與產(chǎn)品件數(shù)x成反比，即a2xk，由題知a.總利潤y500x31200(x>0)，yx2，由y0，得x25，x(0,25)時，y>0，x(25，)時，y<0，所以x25時，y取最大值6.如圖所示，一窗戶的上部是半圓，下部是矩形，如果窗戶面積一定，窗戶周長最小時，x與h的比為_答案11解析設窗戶面積為S，周長為L，則Sx22hx，hx，窗戶周長Lx2x2hx2x，L2.由L0，得x，x時，L<0，x時，L>0，當x時，L取最小值，此時1.三、解答題7(xx三峽名校聯(lián)盟聯(lián)考)時下，網(wǎng)校教學越來越受到廣大學生的喜愛，它已經(jīng)成為學生們課外學習的一種趨勢，假設某網(wǎng)校的套題每日的銷售量y(單位：千套)與銷售價格x(單位：元/套)滿足的關系式y(tǒng)4(x6)2，其中2<x<6，m為常數(shù)已知銷售價格為4元/套時，每日可售出套題21千套(1)求m的值；(2)假設網(wǎng)校的員工工資、辦公等所有開銷折合為每套題2元(只考慮銷售出的套數(shù))，試確定銷售價格x的值，使網(wǎng)校每日銷售套題所獲得的利潤最大(保留1位小數(shù))答案(1)10(2)3.3元/套解析(1)因為x4時，y21，代入關系式y(tǒng)4(x6)2，得1621，解得m10.(2)由(1)可知，套題每日的銷售量y4(x6)2，所以每日銷售套題所獲得的利潤f(x)(x2)4(x6)2104(x6)2(x2)4x356x2240x278(2<x<6)，從而f (x)12x2112x2404(3x10)(x6)(2<x<6)令f (x)0，得x，且在(0，)上，f (x)>0，函數(shù)f(x)單調(diào)遞增；在(，6)上，f (x)<0，函數(shù)f(x)單調(diào)遞減，所以x是函數(shù)f(x)在(2,6)內(nèi)的極大值點，也是最大值點，所以當x3.3時，函數(shù)f(x)取得最大值故當銷售價格為3.3元/套時，網(wǎng)校每日銷售套題所獲得的利潤最大8有甲、乙兩個工廠，甲廠位于一直線河岸的岸邊A處，乙廠與甲廠在河的同側，乙廠位于離河岸40 km的B處，乙廠到河岸的垂足D與A相距50 km，兩廠要在此岸邊合建一個供水站C，從供水站到甲廠和乙廠的水管費用分別為每千米3a元和5a元，問供水站C建在岸邊何處才能使水管費用最??？答案供水站建在A、D之間距甲廠20 km處，可使水管費用最省解析如圖所示，依題意，點C在直線AD上，設C點距D點x km.因為BD40，AD50，所以AC50x.所以BC.又設總的水管費用為y元，則y3a(50x)5a(0<x<50)所以y3a .令y0，解得x130，x230(舍去)當x<30時，y<0；當x>30時，y>0.所以當x30時，取得最小值，此時AC50x20(km)，即供水站建在A、D之間距甲廠20 km處，可使水管費用最省