松滋市網(wǎng)絡(luò)直播課 松滋市九年級 數(shù)學(xué) 主播：松滋市八寶中學(xué) 李萬敏 35.35. 解直角三角形解直角三角形 35.35. 解直角三角形解直角三角形 以點(diǎn)帶面 1 典例精析 2 考點(diǎn)突破 3 4 1、根據(jù)條件解直角三角形： (1)在RTABC中，C=90，a=5，c= （2）在RTABC中，C=90，c= ，A=60. 2534解：（1） C A B c b a 22255casinAA=45，B=90-A=45 即A=B=45，b=a=5； （2）C=90，A=60，B=90-A=30, 62334sincacasinAA，3236-48a-cb22解直角三角形定義：由直角三角形的已知元素，求出其余未知元素的過程，叫解直角三角形。 解直角三角形 常用關(guān)系式 解法：只要知道五個元素中的兩個元素（至少有一個是邊），就可以求出余下的三個未知元素 勾股定理： 兩銳角互余：A+B=90 銳角的三角函數(shù) 222cbaA.1個 B.2個 C.3個 D.4個 B 1.仰角、俯角的概念 如圖，在進(jìn)行測量時，從下向上看，視線與水平線上方的夾角叫做仰角；從上往下看，視線與水平線下方的夾角叫做俯角. D milen 302160sinACDACADmilen 3302360cosACDACCDD 以參照物的位置為中心，以正南或正北方向為起始方向，正南或正北方向線與目標(biāo)方向線構(gòu)成的小于90的角，叫做方向角. 注意：1、用方向角表示位置時，南北向在前東西向在后 2、 四個特殊位置： 東北方向，東南方向 西南方向，西北方向 45 45 45 西南 O 東北 東 西 北 南 西北 東南 45 C B D A 方向角的概念 4.如圖35-5,一水庫大壩的橫斷面為梯形ABCD，壩頂BC寬6m，壩高20m，斜坡AB的坡度i1:2.5,斜坡CD的坡角為30,則壩底AD的長度為_m. 32056E F 5 . 21iAEBEAE=2.520=50m m320332030tanCFDFAD=AE+EF+DF l h i= h : l 1. 坡角 坡面與水平面的夾角叫做坡角，記作 . 2. 坡度 (或坡比) 坡度通常寫成 1m的形式，如i=16. 如圖所示，坡面的鉛垂高度 (h) 和水 平長度 (l) 的比叫做坡面的坡度 (或坡 比)，記作i， 即 i = h : l . 坡面 水平面 3. 坡度與坡角的關(guān)系 tanhil即坡度等于坡角的正切值. 例1、如圖351,在RtABC中,C90, 點(diǎn)D是AC邊上一點(diǎn)，tanDBC ，且BC6,AD4,求cosA的值. 346 4 解：在RTBDC中，C=90，BC=6， 34tanBCCDDBC CD=8 AC=AD+DC=4+8=12. 在RTABC中，由勾股定理得 566122222BCACAB5525612cosABACA分析：先求DC的長，然后根據(jù)AC=AD+DC即可求出AC，再根據(jù)勾股定理求AB,最后求cosA即可. 解直角三角形的應(yīng)用中的模型：“雙直角三角形”。所謂“雙直角三角形”是指一條直角邊重合所謂“雙直角三角形”是指一條直角邊重合，另一條直角邊共線的兩個直角三角形。其位置關(guān)系有兩種，另一條直角邊共線的兩個直角三角形。其位置關(guān)系有兩種： 疊合式疊合式 背靠式背靠式 解決這類問題時，抓住兩三角形的公共邊，并找到公共邊與其它相關(guān)邊的關(guān)系，直接計算或列方解決這類問題時，抓住兩三角形的公共邊，并找到公共邊與其它相關(guān)邊的關(guān)系，直接計算或列方程解決問題程解決問題. . 2、.如圖35-8所示，小敏同學(xué)測量一建筑物CD的高度，她站在B處仰望樓頂C，測得仰角為30，再往建筑物方向走30m，到達(dá)點(diǎn)F處測得樓頂C的仰角為45（B、F、D在同一直線上），已知小敏的眼睛與地面距離為1.5m，求這棟建筑物CD的高度. ，結(jié)果保留整數(shù)），（參考數(shù)據(jù)414. 12732. 13解法：理解為“異地雙仰” 設(shè)CG=x G x333xtan30CGAGx，CGEG你能尋找其中的等量關(guān)系列方程嗎 AE=AG-EG 解：延長AE交CD于G，設(shè)CG=xm， 在RTCGE中，CGE=45，則EG=CG=xm mCGAGACGRTx333x30tan中，在 AE=AG-EG 98.40732. 2151315x30 x-x3）（，解得則CD=CG+GD=40.98+1.5=42.4842m 答：這棟建筑物CD的高度約為42m 【變式】小敏同學(xué)測量一建筑物CD的高度，大樓AB的高為27m，她在樓頂B處測得塔頂D的仰角為30，塔底C點(diǎn)的俯角為45，則建筑物CD的高度為多少米？（人的身高忽略不計） B D 解法：理解為“高地仰俯” E 求建筑物求建筑物CDCD高度，先找哪些是可解直角三角高度，先找哪些是可解直角三角形？哪些是可表直角三角形？形？哪些是可表直角三角形？ 解：過B作BECD于E, AB=27m,CE=27m. 在RTBCE中，CBE=45，BE=CE=27m 在RTBDE中，DBE=30， m39332760tanBEDEmCEDECDCD)2739(的高度：建筑物【變式】小敏同學(xué)測量一建筑物CD的高度，大樓AB的高為m，她在樓頂A處測得塔頂D的仰角為，BC的長度為n，則建筑物CD的高度為多少？（人的身高忽略不計） n nm mx x EBCAD高地單仰 DE=nDE=n tantan CE=mCE=mx x=n=n tantan +m+m【變式】小敏同學(xué)測量山頂鐵塔CD的高度，她站在A處測得D點(diǎn)的仰角的，C點(diǎn)的仰角為，已知AB=m，則鐵塔CD的高度為多少？（人的身高忽略不計） m m X XDBACBD=mBD=m tantan BC=mBC=m tantan x x=m=m (tan(tan -tan-tan ) )同地雙仰 模型一：高地單仰 n nm mx x EBCAD模型三：同地雙仰 m m X XDBACDE=nDE=n tantan CE=mCE=mx x=n=n tantan +m+m模型二：高地仰俯 X Xm m ADCBE模型四：異地雙仰 m mx x DCABCE=mCE=m tantan DE=mDE=m tantan x x=m=m (tan(tan +tan+tan ) )AC=AC=x xtantan ,BC=,BC=x xtantan ( (1 1tantan - -1 1tantan ) ) x x=m=mBD=mBD=m tantan BC=mBC=m tantan x x=m=m (tan(tan -tan-tan ) )仰角、俯角問題的基本模型仰角、俯角問題的基本模型多，并不復(fù)雜，如：求建筑物多，并不復(fù)雜，如：求建筑物CDCD高度，先找哪些是可解直角三角形？哪些是可高度，先找哪些是可解直角三角形？哪些是可表直角三角形？（圖中僅有表直角三角形？（圖中僅有x x為未知邊，其余均為已知量）為未知邊，其余均為已知量） 例3、.如圖35-9所示，A、B、C三地在同一直線上，D地在A地北偏東45方向，在B地正北方向，在C地北偏西60方向C地在A地北偏東75方向B、D兩地相距2km問從A地到B地再到C地最后到D地的總路程大約是多少千米？（最后結(jié)果保留整數(shù)，參考數(shù)據(jù)： ） 4 . 267 . 134 . 12，解：過B作BEAD于點(diǎn)M，過B作BFDC于點(diǎn)N. 450 600 B C A D F E M N 由題意得AEBDCF， ADB=EAD=45，BDC=DCF=60 EAC+ABC=180，BCD=180-75-60=45 DAB=EAB-EAD=75-45=30 km2222sin45km2BDMBDBMMDBBDBDMRT，中，在km3232sin60BDBNkm1212cos，中，在BDNBDDNBDNRTkm22230BMABMABABMRT，中，在，中，在622345sinkm345BNBCBNCNBCNBCNRTkm813622CDACDCBA地的總路程：地最后到地再到地到解決一般三角形的問題，可以通過作高線，構(gòu)造特殊直角三角形 （1）把實(shí)際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題，這個轉(zhuǎn)化為兩個方面：一是將實(shí)際問題轉(zhuǎn)化為幾何圖形，畫出正確的平面圖或截面示意圖，二是將已知條件轉(zhuǎn)化為示意圖中的邊、角或它們之間的關(guān)系。 （2）把數(shù)學(xué)問題轉(zhuǎn)化為解直角三角形問題，如果示意圖不是直角三角形，可添加適當(dāng)?shù)妮o助線，畫出直角三角形。 （1）.如圖35-3,已知AD是等腰ABC底邊BC上的高，sinB ，點(diǎn)E在AC上，且AE:EC2:3，則tanADE的值為（ ） A. B. C. D. 5431213252解：設(shè)AD=4x，則AB=5x，BD=3x DC=3x EFDC 52ACAEDCEFADAF52x3x4EFAFx58AFx56EFx512x58-x4AFADDF21x512x56tanDFEFADEF B 參數(shù)法解直角三角形 ACDAEF （2）.如圖35-7,在RtABC中,C90,CAB、B、C的對邊分別為a、b、c，且b ，AD平分CAB的平分線交CB于點(diǎn)D，AD ,則BC_, AB=_ 5815316231531658cosADACCADCAD=30 158516分析：先根據(jù)三角函數(shù)值可求出CAD的度數(shù)，再根據(jù)角平分線的定義可求出CAB的度數(shù)，再根據(jù)三角函數(shù)可求解，要熟練掌握邊角之間的關(guān)系。 3060BCAB，158, 5162BCACAB（3）(2017 荊州中考)如圖，某數(shù)學(xué)活動小組為測量學(xué)校旗桿AB的高度，沿旗桿正前方 米處的點(diǎn)C出發(fā)，沿斜面坡度i1 的斜坡CD前進(jìn)4米到達(dá)點(diǎn)D，在點(diǎn)D處安置測角儀，測得旗桿頂部A的仰角為37，量得儀器的高DE為1.5米已知A，B，C，D，E在同一平面內(nèi)，ABBC，ABDE，求旗桿AB的高度(參考數(shù)據(jù)：sin37 ，cos37 ，tan37 .計算結(jié)果保留根號) 35354434 1.5 F G 解：如圖，延長ED交BC的延長線于點(diǎn)F，則CFD90 303331itanDCFDCF，m32234cosm221m4DCFCDCFCDDFCD，m343232CFBCBF3232過點(diǎn)E作EGAB于點(diǎn)G，則GEBF m34GBEFEDDF1.523.5m m334334tanGEAG，37AEG又AEGm5 . 333（ =BG+AG=AB的高度為高AB旗桿）解直角三角形 定義：由直角三角形的已知元素，求出其余未知元素的過程，叫解直角三角形。 應(yīng)用舉例 常用關(guān)系式 222cbaA+B=90 邊角之間的關(guān)系 仰角、俯角問題 方向角問題 坡度、坡角問題 作業(yè)： 1，整理筆記，糾正錯題 2，提前做學(xué)在荊州81-82面