第第8節(jié)節(jié)條件概率與事件的獨立性條件概率與事件的獨立性正態(tài)分布正態(tài)分布最新考綱1.了解條件概率和兩個事件相互獨立的概念；2.理解n次獨立重復試驗的模型及二項分布.能解決一些簡單的實際問題；3.了解正態(tài)密度曲線的特點及曲線所表示的意義，并進行簡單應用.知知 識識 梳梳 理理1條件概率及其性質(zhì)條件概率的定義條件概率公式對于任何兩個事件A和B，在已知_的條件下，_的概率叫做條件概率，用符號“_”表示P(B|A)_，其中_0，_稱為事件A與B的交(或積).事件A發(fā)生事件B發(fā)生P(B|A)P(A)AB2.事件的獨立性(1)相互獨立的定義：事件A是否發(fā)生對事件B 發(fā) 生 的 概 率 _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ ， 即_這時，稱兩個事件A，B相互獨立，并把這兩個事件叫做相互獨立事件(2)概率公式?jīng)]有影響P(B|A)P(B)條件公式A，B相互獨立P(AB)_A1，A2，An相互獨立P(A1A2An)_P(A)P(B)P(A1)P(A2)P(An)3.獨立重復試驗與二項分布(1)獨立重復試驗定義：在_條件下，_做n次試驗，各次試驗的結(jié)果_，那么一般就稱它們?yōu)閚次獨立重復試驗概率公式：在一次試驗中事件A發(fā)生的概率為p，則n次獨立重復試驗中，事件A恰好發(fā)生k次的概率為Pn(k)_ (k0，1，2，n)相同的重復地相互獨立(2)二項分布：在n次獨立重復試驗中，事件A發(fā)生的次數(shù)設為X，事件A不發(fā)生的概率為q1p，則n次獨立重復試驗中事件A恰好發(fā)生k次的概率是P(Xk)_，其中k0，1，2，n.于是X的分布列：X01knP_此時稱離散型隨機變量X服從參數(shù)為n，p的二項分布，記作_XB(n，p)上方x當一定時，曲線的形狀由確定，_，曲線越“瘦高”，表示總體的分布越集中；_，曲線越“矮胖”，表示總體的分布越分散.(3)正態(tài)總體在三個特殊區(qū)間內(nèi)取值的概率值P(X)_；P(2X2)_；P(32)0.023，則P(2X2)_.解析因為0，所以P(X2)P(X2)0.023，所以P(2X2)120.0230.954.答案0.954答案(1)B(2)C答案B規(guī)律方法(1)求解該類問題在于正確分析所求事件的構(gòu)成，將其轉(zhuǎn)化為彼此互斥事件的和或相互獨立事件的積，然后利用相關(guān)公式進行計算.(2)求相互獨立事件同時發(fā)生的概率的主要方法利用相互獨立事件的概率乘法公式直接求解.正面計算較繁(如求用“至少”表述的事件的概率)或難以入手時，可從其對立事件入手計算.【訓練2】 某次知識競賽規(guī)則如下：在主辦方預設的5個問題中，選手若能連續(xù)正確回答出兩個問題，即停止答題，晉級下一輪.假設某選手正確回答每個問題的概率都是0.8，且每個問題的回答結(jié)果相互獨立.則該選手恰好回答了4個問題就晉級下一輪的概率等于_.解析記“該選手恰好回答了4個問題就晉級下一輪”為事件A，由題意，若該選手恰好回答了4個問題就晉級下一輪，必有第二個問題回答錯誤，第三、四個回答正確，第一個問題可對可錯，故P(A)10.20.80.80.128.答案0.128考點三獨立重復試驗與二項分布考點三獨立重復試驗與二項分布(易錯警示易錯警示)【例3】 某食品廠為了檢查一條自動包裝流水線的生產(chǎn)情況，隨機抽取該流水線上的40件產(chǎn)品作為樣本稱出它們的質(zhì)量(單位：克)，質(zhì)量的分組區(qū)間為(490，495，(495，500，(510，515.由此得到樣本的頻率分布直方圖(如下圖).(1)根據(jù)頻率分布直方圖，求質(zhì)量超過505克的產(chǎn)品數(shù)量；(2)在上述抽取的40件產(chǎn)品中任取2件，設X為質(zhì)量超過505克的產(chǎn)品數(shù)量，求X的分布列；(3)從該流水線上任取2件產(chǎn)品，設Y為質(zhì)量超過505克的產(chǎn)品數(shù)量，求Y的分布列.X的分布列為Y的分布列為規(guī)律方法利用獨立重復試驗概率公式可以簡化求概率的過程，但需要注意檢查該概率模型是否滿足公式P(Xk)Cpk(1p)nk的三個條件：(1)在一次試驗中某事件A發(fā)生的概率是一個常數(shù)p；(2)n次試驗不僅是在完全相同的情況下進行的重復試驗，而且各次試驗的結(jié)果是相互獨立的；(3)該公式表示n次試驗中事件A恰好發(fā)生了k次的概率.易錯警示1.對于，超幾何分布對應的抽取問題是不放回抽取，各次抽取不獨立，而二項分布對應的抽取問題是有放回抽取，各次抽取是獨立的，故處不要誤作二項分布來處理；對于，當超幾何分布所對應的總體數(shù)量很大時，可近似為二項分布來處理，這一點不易想到.2.這兩個分布列的期望是相等的，請思考這是否是巧合呢？【訓練3】 (2018河北“五個一”名校聯(lián)盟二模)空氣質(zhì)量指數(shù)(AirQuality Index，簡稱AQI)是定量描述空氣質(zhì)量狀況的指數(shù)，空氣質(zhì)量按照AQI大小分為六級：050為優(yōu)；51100為良；101150為輕度污染；151200為中度污染；201300為重度污染；300以上為嚴重污染.一環(huán)保人士記錄去年某地六月10天的AQI的莖葉圖如圖.(1)利用該樣本估計該地六月空氣質(zhì)量為優(yōu)良(AQI100)的天數(shù)；(2)將頻率視為概率，從六月中隨機抽取3天，記三天中空氣質(zhì)量為優(yōu)良的天數(shù)為，求的分布列.考點四正態(tài)分布考點四正態(tài)分布【例4】 (1)(2018鄭州模擬)已知隨機變量服從正態(tài)分布N(2，2)，且P(4)0.8，則P(04)()A.0.6 B.0.4 C.0.3 D.0.2(2)在如圖所示的正方形中隨機投擲10 000個點，則落入陰影部分(曲線C為正態(tài)分布N(1，1)的密度曲線)的點的個數(shù)的估計值為()附：若XN(，2)，則P(X)0.682 6，P(2X2)0.954 4.A.1 193 B.1 359 C.2 718 D.3 413解析(1)因為隨機變量服從正態(tài)分布N(2，2)，2，得對稱軸為x2，P(4)0.8，P(4)P(0)0.2，P(04)0.6.答案(1)A(2)B規(guī)律方法(1)利用3原則求概率問題時，要注意把給出的區(qū)間或范圍與正態(tài)變量的，進行對比聯(lián)系，確定它們屬于(，)，(2，2)，(3，3)中的哪一個.(2)利用正態(tài)分布密度曲線的對稱性研究相關(guān)概率問題，涉及的知識主要是正態(tài)曲線關(guān)于直線x對稱，及曲線與x軸之間的面積為1.注意下面兩個結(jié)論的活用：P(Xa)1P(Xa)；P(X)P(X).【訓練4】 已知某批零件的長度誤差(單位：毫米)服從正態(tài)分布N(0，32)，從中隨機取一件，其長度誤差落在區(qū)間(3，6)內(nèi)的概率為(附：若隨機變量服從正態(tài)分布N(，2)，則P()68.26%，P(22)95.44%.)()A.4.56% B.13.59%C.27.18% D.31.74%答案B