高考導航 1.圓錐曲線是平面解析幾何的核心部分，也是高考必考知識，主要以一個小題一個大題的形式呈現(xiàn)，難度中等偏上；2.高考中的選擇題或填空題主要考查圓錐曲線的基本性質(zhì)，高考中的解答題，常以求曲線的標準方程、位置關(guān)系、定點、定值、最值、范圍、探索性問題為主.這些試題的命制有一個共同的特點，就是起點低，但在第(2)問或第(3)問中一般都伴有較為復雜的運算，對考生解決問題的能力要求較高. 熱點一熱點一 定點定值問題定點定值問題(教材教材VS高考高考) 定點、定值問題一般涉及曲線過定點、與曲線上的動點有關(guān)的定值問題以及與圓錐曲線有關(guān)的弦長、面積、橫(縱)坐標等的定值問題. 圓錐曲線中的最值問題大致可分為兩類：一是涉及距離、面積的最值以及與之相關(guān)的一些問題；二是求直線或圓錐曲線中幾何元素的最值以及這些元素存在最值時求解與之有關(guān)的一些問題. 命題角度命題角度1 圓錐曲線中定點問題圓錐曲線中定點問題 教材探源 本題第(1)問源于教材選修11P34例1，主要考查利用待定系數(shù)法及方程思想求曲線方程. 本題第(2)問源于教材選修11P35例3，主要考查利用坐標法研究幾何問題，充分考查學生解決綜合問題的能力. 【例 11】 (滿分 12 分)(2017 全國卷)已知橢圓 C：x2a2y2b21(ab0)， 四點 P1(1，1)，P2(0，1)，P31，32，P41，32中恰有三點在橢圓 C 上. (1)求 C 的方程； (2)設(shè)直線 l 不經(jīng)過 P2點且與 C 相交于 A， B 兩點.若直線 P2A 與直線 P2B 的斜率的和為1，證明：l 過定點. 所以點P2在橢圓C上. 1分 (得分點1) 因此1b21，1a234b21，解得a24，b21. 3 分 (得分點 2) 故 C 的方程為x24y21. 5 分 (得分點 3) 滿分解答 (1)解 由于點P3， P4關(guān)于y軸對稱， 由題設(shè)知C必過P3， P4.又由1a21b21a234b2知，橢圓 C 不經(jīng)過點 P1， (2)證明 設(shè)直線P2A與直線P2B的斜率分別為k1，k2. 如果直線l的斜率不存在，l垂直于x軸. 設(shè)l：xm，A(m，yA)，B(m，yA)， 此時l過橢圓右頂點，不存在兩個交點，故不滿足. 6分 (得分點4) 將 ykxm 代入x24y21 得(4k21)x28kmx4m240. 7 分 (得分點 5) k1k2yA1myA1m2m1，得 m2， 從而可設(shè)l：ykxm(m1). 由題設(shè)可知16(4k2m21)0. 由題設(shè)k1k21，故(2k1)x1x2(m1)(x1x2)0. 設(shè) A(x1，y1)，B(x2，y2)，則 x1x28km4k21，x1x24m244k21. 8 分 (得分點 6) 則 k1k2y11x1y21x2kx1m1x1kx2m1x22kx1x2（m1）（x1x2）x1x2. (2k1)4m244k21(m1)8km4k210. 10 分 (得分點 7) 解之得m2k1，此時32(m1)0，方程有解， 當且僅當m1時，0， 11分 (得分點8) 直線l的方程為ykx2k1，即y1k(x2). 當x2時，y1，所以l過定點(2，1). 12分 (得分點9) 得步驟分：抓住得分點的解題步驟，“步步為贏”，在第(1)問中，分析隱含信息，列出方程組，求出方程.在第(2)問中，分類討論設(shè)出直線方程聯(lián)立方程寫出根與系數(shù)的關(guān)系利用公式化簡求解. 得關(guān)鍵分：(1)列出方程組.(2)直線方程.(3)韋達定理.(4)斜率公式.都是不可少的過程，有則給分，無則沒分. 得計算分：解題過程中的計算準確是得滿分的根本保證，如(得分點3)，(得分點5)，(得分點7). 解答圓錐曲線中的定點問題的一般步驟 第一步：研究特殊情形，從問題的特殊情形出發(fā)，得到目標關(guān)系所要探求的定點. 第二步：探究一般情況.探究一般情形下的目標結(jié)論. 第三步：下結(jié)論，綜合上面兩種情況定結(jié)論. 命題角度命題角度2 圓錐曲線中的定值問題圓錐曲線中的定值問題 【例 12】 (2016 北京卷)已知橢圓 C：x2a2y2b21(ab0)的離心率為32，A(a，0)，B(0，b)，O(0，0)，OAB 的面積為 1. (1)求橢圓 C 的方程； (2)設(shè) P 是橢圓 C 上一點，直線 PA 與 y 軸交于點 M，直線 PB 與 x 軸交于點 N.求證：|AN| |BM|為定值. (2)證明 由(1)知A(2，0)，B(0，1). 當 x00 時，直線 PA 的方程為 yy0 x02(x2). 所以橢圓 C 的方程為x24y21. 設(shè) P(x0，y0)，則 x204y204. 令 x0，得 yM2y0 x02，從而|BM|1yM|12y0 x02. (1)解 由題意得ca32，12ab1，a2b2c2，解得a2，b1，c 3. 當x00時，y01，|BM|2，|AN|2， 所以|AN| |BM|4. 綜上，|AN| |BM|為定值. 直線 PB 的方程為 yy01x0 x1.令 y0，得 xNx0y01， x204y204x0y04x08y04x0y0 x02y024x0y04x08y08x0y0 x02y024. 從而|AN|2xN|2x0y01.所以|AN| |BM|2x0y0112y0 x02 探究提高 1.求定值問題常見的方法有兩種： (1)從特殊入手，求出定值，再證明這個值與變量無關(guān). (2)直接推理、計算，并在計算推理的過程中消去變量，從而得到定值. 2.定值問題求解的基本思路是使用參數(shù)表示要解決的問題，然后證明與參數(shù)無關(guān)，這類問題選擇消元的方向是非常關(guān)鍵的. 【訓練 1】 (2017 菏澤調(diào)研)已知焦距為 2 2的橢圓 C：x2a2y2b21(ab0)的右頂點為 A，直線 y43與橢圓 C 交于 P，Q 兩點(P 在 Q 的左邊)，Q 在 x 軸上的射影為B，且四邊形 ABPQ 是平行四邊形. (1)求橢圓 C 的方程； (2)斜率為 k 的直線 l 與橢圓 C 交于兩個不同的點 M，N.若 M 是橢圓的左頂點，D是直線 MN 上一點，且 DAAM.點 G 是 x 軸上異于點 M 的點，且以 DN 為直徑的圓恒過直線 AN 和 DG 的交點，求證：點 G 是定點. (1)解 設(shè)坐標原點為O， (2)證明 設(shè)直線MN的方程為yk(x2)，N(x0，y0)，DAAM，D(2，4k). 四邊形 ABPQ 是平行四邊形，|AB|PQ|， |PQ|2|OB|，|AB|2|OB|，則點 B 的橫坐標為a3， 點 Q 的坐標為a3，43，代入橢圓 C 的方程得 b22， 又 c22，a24，即橢圓 C 的方程為x24y221. 則2x08k2412k2，即 x024k212k2， y0k(x02)4k12k2，則 N24k212k2，4k12k2， 設(shè) G(t， 0)， 則 t2， 若以 DN 為直徑的圓恒過直線 AN 和 DG 的交點， 則 DGAN， GD AN0 恒成立.GD(2t，4k)，AN8k212k2，4k12k2， 由x24y221，yk（x2），消去 y 得(12k2)x28k2x8k240， GD AN(2t)8k212k24k4k12k20 恒成立， 即8k2t12k20 恒成立，t0，點 G 是定點(0，0). 熱點二熱點二 圓錐曲線中的范圍圓錐曲線中的范圍(最值最值)問題問題 圓錐曲線中的最值問題大致可分為兩類：一是涉及距離、面積的最值以及與之相關(guān)的一些問題；二是求直線或圓錐曲線中幾何元素的最值以及這些元素存在最值時求解與之有關(guān)的一些問題. 【例 2】 (2018 石家莊質(zhì)檢)已知橢圓 C：x2a2y2b21(ab0)的左、右頂點分別為 A，B，且長軸長為 8，T 為橢圓上一點，直線 TA，TB 的斜率之積為34. (1)求橢圓 C 的方程； (2)設(shè)O為原點， 過點M(0， 2)的動直線與橢圓C交于P， Q兩點， 求OP OQMP MQ的取值范圍. (2)當直線 PQ 的斜率存在時，設(shè)直線 PQ 的方程為 ykx2，點 P，Q 的坐標分別為(x1， y1)， (x2， y2)， 直線 PQ 與橢圓方程聯(lián)立x216y2121，ykx2消去 y 得(4k23)x216kx320， 解 (1)設(shè) T(x，y)，則當 x4 時，直線 TA 的斜率為 k1yx4，直線 TB 的斜率為k2yx4.于是由 k1k234，得yx4yx434，整理得x216y2121，而點(4，0)和(4，0)也滿足此方程，故橢圓 C 的方程為x216y2121. 200. 因為OAOB，所以x1x2y1y20，得b2. 聯(lián)立ykx2，3x24y212得(34k2)x216kx40， 所以 x3x416k34k2，x3x4434k2， 由 2192k2480 得 k214. 聯(lián)立ykxb，x22y，得 x22kx2b0， (1)存在實數(shù)t. 所以k1k2k3k416，即 t16. 因為 k1k2y1x1y2x2k，k3k4y3x3y4x46k， (2)根據(jù)弦長公式|CD| 1k2|x3x4|得|CD|4 31k24k2134k2， 根據(jù)點 O 到直線 CD 的距離公式得 d21k2， 所以當 m2，即 k52時，SOCD有最大值 3. 設(shè) 4k21m0，則 SOCD4 3mm24 3， 所以 SOCD12|CD| d4 34k2134k2， 熱點三熱點三 圓錐曲線中的探索性問題圓錐曲線中的探索性問題 圓錐曲線的探索性問題主要體現(xiàn)在以下幾個方面：(1)探索點是否存在；(2)探索曲線是否存在；(3)探索命題是否成立.涉及這類命題的求解主要是研究直線與圓錐曲線的位置關(guān)系問題. 【例 3】 (2018 長沙調(diào)研)已知橢圓 C：x2a2y2b21(ab0)的離心率為12，且過點P1，32，F(xiàn) 為其右焦點. (1)求橢圓 C 的方程； (2)設(shè)過點 A(4，0)的直線 l 與橢圓相交于 M，N 兩點(點 M 在 A，N 兩點之間)，是否存在直線 l 使AMF 與MFN 的面積相等？若存在，試求直線 l 的方程；若不存在，請說明理由. (2)易知直線l的斜率存在，設(shè)l的方程為yk(x4)， 設(shè)橢圓方程x24c2y23c21，又點 P1，32在橢圓上，所以14c234c21， 解得 c21，a24，b23，所以橢圓方程為x24y231. 由yk（x4），x24y231，消去 y 得(34k2)x232k2x64k2120， 由題意知 (32k2)24(34k2)(64k212)0，解得12k12. 解 (1)因為ca12，所以 a2c，b 3c， 將代入到式，整理化簡得36k25. 因為AMF與MFN的面積相等， 所以|AM|MN|，所以2x1x24. 由消去 x2得 x1416k234k2. x1x264k21234k2. 將 x22x14 代入，得 x1(2x14)64k21234k2 設(shè) M(x1，y1)，N(x2，y2)，則 x1x232k234k2， 故直線 l 的方程為 y56(x4)或 y56(x4). k56，經(jīng)檢驗滿足題設(shè) 探究提高 1.此類問題一般分為探究條件、探究結(jié)論兩種.若探究條件，則可先假設(shè)條件成立，再驗證結(jié)論是否成立，成立則存在，不成立則不存在；若探究結(jié)論，則應先求出結(jié)論的表達式，再針對其表達式進行討論，往往涉及對參數(shù)的討論. 2.求解步驟：假設(shè)滿足條件的元素(點、直線、曲線或參數(shù))存在，用待定系數(shù)法設(shè)出，列出關(guān)于待定系數(shù)的方程組，若方程組有實數(shù)解，則元素(點、直線、曲線或參數(shù))存在，否則，元素(點、直線、曲線或參數(shù))不存在. 【訓練3】 (2018 衡水聯(lián)考)在平面直角坐標系xOy中，過點C(2，0)的直線與拋物線y24x相交于A，B兩點，設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2). (1)(一題多解)求證：y1y2為定值； (2)是否存在平行于y軸的定直線被以AC為直徑的圓截得的弦長為定值？如果存在，求出該直線方程和弦長；如果不存在，說明理由. 因此y1y28(定值). 因此有y1y28為定值. 法二 設(shè)直線AB的方程為myx2， 由yk（x2），y24x，得 ky24y8k0.y1y28. 由myx2，y24x，得 y24my80.y1y28. (1)證明 法一 當直線 AB 垂直于 x 軸時，y12 2，y22 2. 當直線AB不垂直于x軸時，設(shè)直線AB的方程為yk(x2)， 因此有y1y28為定值. (2)解 設(shè)存在直線l：xa滿足條件， 當1a0，即a1時，弦長為定值2，這時直線方程為x1. 因此以 AC 為直徑的圓的半徑 r12|AC|12（x12）2y2112x214， 則 AC 的中點 Ex122，y12，|AC| （x12）2y21. 又點 E 到直線 xa 的距離 dx122a 故所截弦長為 2 r2d2214（x214）x122a2 x214（x122a）2 4（1a）x18a4a2.