山東省2014屆理科數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)試題選編41：函數(shù)的極值與導(dǎo)數(shù)一、選擇題 (2012年高考(陜西文)設(shè)函數(shù)f(x)=+lnx 則（）Ax=為f(x)的極大值點(diǎn)Bx=為f(x)的極小值點(diǎn) Cx=2為 f(x)的極大值點(diǎn)Dx=2為 f(x)的極小值點(diǎn)解析:,令得,時,為減函數(shù);時,為增函數(shù),所以為的極小值點(diǎn),選D （山東濟(jì)南外國語學(xué)校20122013學(xué)年度第一學(xué)期高三質(zhì)量檢測數(shù)學(xué)試題（理科）若a>0,b>0,且函數(shù)在x=1處有極值,則ab的最大值（）A2B3C6D9【答案】D 【解析】函數(shù)的導(dǎo)數(shù)為,函數(shù)在處有極值,則有,即,所以,即,當(dāng)且僅當(dāng)時取等號,選D (2013浙江高考數(shù)學(xué)(理)已知為自然對數(shù)的底數(shù),設(shè)函數(shù),則（）A當(dāng)時,在處取得極小值 B當(dāng)時,在處取得極大值 C當(dāng)時,在處取得極小值 D當(dāng)時,在處取得極大值 【答案】 C解:當(dāng)時,且,所以當(dāng)時,函數(shù)遞增;當(dāng)時,函數(shù)遞減;所以當(dāng)時函數(shù)取得極小值;所以選C; （山東省泰安市2013屆高三第一輪復(fù)習(xí)質(zhì)量檢測數(shù)學(xué)（理）試題）設(shè)函數(shù)有三個零點(diǎn)、x2、x3,且則下列結(jié)論正確的是（）ABCD 【答案】D 函數(shù), f(x)=3x24.令f(x)=0,得 x=. 當(dāng)時,;在上,;在上,.故函數(shù)在)上是增函數(shù),在上是減函數(shù),在上是增函數(shù).故是極大值,是極小值.再由f (x)的三個零點(diǎn)為x1,x2,x3,且得 x1<,<x2,x3>. 根據(jù)f(0)=a>0,且f()=a<0,得>x2>0. 0<x2<1.選D （山東師大附中2013屆級高三12月第三次模擬檢測理科數(shù)學(xué)）設(shè)函數(shù)有三個零點(diǎn)則下列結(jié)論正確的是（）ABCD【答案】C【解析】因為,所以函數(shù)的三個零點(diǎn)分別在之間,又因為所以,選C (2012年高考(大綱理)已知函數(shù)的圖像與軸恰有兩個公共點(diǎn),則（）A或2B或3C或1D或1【答案】 答案A 【解析】因為三次函數(shù)的圖像與軸恰有兩個公共點(diǎn),結(jié)合該函數(shù)的圖像,可得極大值或者極小值為零即可滿足要求.而,當(dāng)時取得極值 由或可得或,即. (2013福建高考數(shù)學(xué)(文)設(shè)函數(shù)的定義域為,是的極大值點(diǎn),以下結(jié)論一定正確的是（）AB是的極小值點(diǎn) C是的極小值點(diǎn)D是的極小值點(diǎn)【答案】 D【解析】本題考查的是函數(shù)的極值.函數(shù)的極值不是最值,A錯誤;因為和關(guān)于原點(diǎn)對稱,故是的極小值點(diǎn),D正確. (2013湖北高考數(shù)學(xué)(文)已知函數(shù)有兩個極值點(diǎn),則實數(shù)的取值范圍是（）ABCD【答案】B,由由兩個極值點(diǎn),得有兩個不等的實數(shù)解,即有兩個實數(shù)解,從而直線與曲線有兩個交點(diǎn). 過點(diǎn)(0,-1)作的切線,設(shè)切點(diǎn)為(x0,y0),則切線的斜率,切線方程為. 切點(diǎn)在切線上,則,又切點(diǎn)在曲線上,則,即切點(diǎn)為(1,0).切線方程為. 再由直線與曲線有兩個交點(diǎn).,知直線位于兩直線和之間,如圖所示,其斜率2a滿足:0<2a<1,解得0<a<. (2012年高考(重慶理)設(shè)函數(shù)在R上可導(dǎo),其導(dǎo)函數(shù)為,且函數(shù)的圖像如題(8)圖所示,則下列結(jié)論中一定成立的是（）A函數(shù)有極大值和極小值B函數(shù)有極大值和極小值 C函數(shù)有極大值和極小值D函數(shù)有極大值和極小值【答案】 【答案】D 【解析】,由,函數(shù)為增; ,由,函數(shù)為減; ,由,函數(shù)為減; ,由,函數(shù)為增. 【考點(diǎn)定位】判斷函數(shù)的單調(diào)性一般利用導(dǎo)函數(shù)的符號,當(dāng)導(dǎo)函數(shù)大于0,則函數(shù)為增,當(dāng)導(dǎo)函數(shù)小于0則函數(shù)遞減. (2013遼寧高考數(shù)學(xué)(理)設(shè)函數(shù)（）A有極大值,無極小值B有極小值,無極大值 C既有極大值又有極小值D既無極大值也無極小值【答案】 D解:由已知,.在已知中令,并將代入,得;因為,兩邊乘以后令.求導(dǎo)并將(1)式代入,顯然時,減;時,增;并且由(2)式知,所以為的最小值,即,所以,在時得,所以為增函數(shù),故沒有極大值也沒有極小值. 二、填空題（山東省泰安市2013屆高三上學(xué)期期末考試數(shù)學(xué)理）已知函數(shù)的定義域為,部分對應(yīng)值如下表,的導(dǎo)函數(shù)的圖像如圖所示,給出關(guān)于的下列命題:函數(shù)時,取極小值函數(shù)是減函數(shù),在是增函數(shù),當(dāng)時,函數(shù)有4個零點(diǎn)如果當(dāng)時,的最大值是2,那么的最小值為0,其中所有正確命題序號為_.【答案】 【解析】由導(dǎo)數(shù)圖象可知,當(dāng)或時,函數(shù)遞增.當(dāng)或時,函數(shù)遞減.所以在處,函數(shù)取得極小值,所以正確,錯誤.當(dāng)時,由得.由圖象可知,此時有四個交點(diǎn),所以正確.當(dāng)時,的最大值是2,由圖象可知,所以的最小值為0,所以正確.綜上所有正確命題序號為. 三、解答題（2013屆山東省高考壓軸卷理科數(shù)學(xué)）已知函數(shù)f(x)=-x3+x2-2x(aR).(1)當(dāng)a=3時,求函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間;(2)若對于任意x1,+)都有f(x)<2(a-1)成立,求實數(shù)a的取值范圍;(3)若過點(diǎn)可作函數(shù)y=f(x)圖象的三條不同切線,求實數(shù)a的取值范圍.【答案】【解析】(1)當(dāng)a=3時,f(x)=-x3+x2-2x,得f(x)=-x2+3x-2. 因為f(x)=-x2+3x-2=-(x-1)(x-2), 所以當(dāng)1<x<2時,f(x)>0,函數(shù)f(x)單調(diào)遞增; 當(dāng)x<1或x>2時,f(x)<0,函數(shù)f(x)單調(diào)遞減. 故函數(shù)f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為(1,2),單調(diào)遞減區(qū)間為(-,1)和(2,+). (2)方法一:由f(x)=-x3+x2-2x,得f(x)=-x2+ax-2. 因為對于任意x1,+)都有f(x)<2(a-1)成立, 即對于任意x1,+)都有-x2+ax-2<2(a-1)成立,即對于任意x1,+)都有x2-ax+2a>0成立. 令h(x)=x2-ax+2a, 要使h(x)對任意x1,+)都有h(x)>0成立,必須滿足<0,或 即a2-8a<0或 所以實數(shù)a的取值范圍為(-1,8). 方法二:由f(x)=-x3+x2-2x,得f(x)=-x2+ax-2. 因為對于任意x1,+)都有f(x)<2(a-1)成立,即對于任意x1,+)都有f(x)max<2(a-1). 因為f(x)=-2+-2,其圖象開口向下,對稱軸為x=. 當(dāng)<1,即a<2時,f(x)在1,+)上單調(diào)遞減,所以f(x)max=f(1)=a-3. 由a-3<2(a-1),得a>-1,此時-1<a<2; 當(dāng)1,即a2時,f(x)在上單調(diào)遞增,在上單調(diào)遞減,所以f(x)max=f=-2.由-2<2(a-1),得0<a<8,此時2a<8. 綜上可得,實數(shù)a的取值范圍為(-1,8). (3)設(shè)點(diǎn)P是函數(shù)y=f(x)圖象上的切點(diǎn),則過點(diǎn)P的切線的斜率為k=f(t)=-t2+at-2,所以過點(diǎn)P的切線方程為y+t3-t2+2t=(-t2+at-2)(x-t). 因為點(diǎn)在切線上,所以-+t3-t2+2t=(-t2+at-2)(0-t),即t3-at2+=0. 若過點(diǎn)可作函數(shù)y=f(x)圖象的三條不同切線,則方程t3-at2+=0有三個不同的實數(shù)解. 令g(t)=t3-at2+,則函數(shù)y=g(t)與t軸有三個不同的交點(diǎn). 令g(t)=2t2-at=0,解得t=0或t=. 因為g(0)=,g=-a3+,所以g=-a3+<0,即a>2. 所以實數(shù)a的取值范圍為(2,+). （山東省青島即墨市2013屆高三上學(xué)期期末考試數(shù)學(xué)（理）試題）已知函數(shù).(1)是函數(shù)的一個極值點(diǎn),求a的值;(2)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間;(3)當(dāng)時,函數(shù),若對任意,都成立,求的取值范圍.【答案】解:(1)函數(shù) , 是函數(shù)的一個極值點(diǎn) 解得: (2) (3)當(dāng)a=2時,由(2)知f(x)在(1,2)減,在(2,+)增. b>0 解得:0<b<2 （山東省泰安市2013屆高三第一輪復(fù)習(xí)質(zhì)量檢測數(shù)學(xué)（理）試題）已知函數(shù)(I)若在區(qū)間上單調(diào)遞減,求實數(shù)a的取值范圍;(II)當(dāng)a=0時,是否存在實數(shù)m使不等式對任意恒成立?若存在,求出m的值,若不存在,請說明理由. 【答案】 （山東省鳳城高中2013屆高三4月模擬檢測數(shù)學(xué)理試題 ）已知曲線在點(diǎn)處的切線互相平行,且函數(shù)的一個極值點(diǎn)為.()求實數(shù)的值;()若函數(shù)的圖象與直線恰有三個交點(diǎn),求實數(shù)的取值范圍;()若存在,使得成立(其中的導(dǎo)數(shù)),求實數(shù)的取值范圍【答案】(),依題意有 ,即,所以 (), 由, 所以函數(shù)在區(qū)間上遞增,在區(qū)間上遞減 且. 所以函數(shù)的圖象與直線恰有三個交點(diǎn),則,所以實數(shù)的取值范圍為 ()依題意成立, 設(shè),則, 當(dāng)時,由得函數(shù)在上遞增, 所以得 當(dāng)時,在上在上 所以恒成立,所以 當(dāng)時,在上所以函數(shù)是減函數(shù), 所以, 又,所以 所以實數(shù)的取值范圍為 (2013課標(biāo)卷高考數(shù)學(xué)(文)(本小題滿分共12分)已知函數(shù),曲線在點(diǎn)處切線方程為.()求的值;()討論的單調(diào)性,并求的極大值.【答案】【解析】()=. 由已知得=4,=4,故,=8,從而=4,; ()由()知,=, =, 令=0得,=或=-2, 當(dāng)時,>0,當(dāng)(-2,)時,<0, 在(-,-2),(,+)單調(diào)遞增,在(-2,)上單調(diào)遞減. 當(dāng)=-2時,函數(shù)取得極大值,極大值為. （山東省煙臺市2013屆高三上學(xué)期期中考試數(shù)學(xué)試題(理科)）已知函數(shù). (1)求的極值;(2)若函數(shù)的圖象與函數(shù)的圖象在區(qū)間上有公共點(diǎn),求實數(shù)a的取值范圍【答案】解:(1)的定義域為, 令得, 當(dāng)時,是增函數(shù); 當(dāng)時,是減函數(shù), 在處取得極大值, 無極小值 (2)當(dāng)時,即時, 由(1)知在上是增函數(shù),在上是減函數(shù), , 又當(dāng)時, 當(dāng)時,;當(dāng)時,; 與圖象的圖象在上有公共點(diǎn), ,解得,又,所以 當(dāng)時,即時,在上是增函數(shù), 在上的最大值為, 所以原問題等價于,解得. 又,無解. 綜上,實數(shù)a的取值范圍是 （山東省兗州市2013高三9月入學(xué)診斷檢測數(shù)學(xué)(理)試題）已知函數(shù)f(x)=x3+mx2+nx-2的圖象過點(diǎn)(-1,-6),且函數(shù)g(x)=+6x的圖象關(guān)于y軸對稱.(1)求m、n的值及函數(shù)y=f(x)的單調(diào)區(qū)間;(2)若a>0,求函數(shù)y=f(x)在區(qū)間(a-1,a+1)內(nèi)的極值.【答案】(1)由函數(shù)f(x)的圖象過點(diǎn)(-1,-6),得m-n=-3. 由f(x)=x3+mx2+nx-2,得=3x2+2mx+n, 則g(x)=+6x=3x2+(2m+6)x+n. 而g(x)的圖象關(guān)于y軸對稱,所以-=0,解得 m=-3. 代入得n=0. 于是=3x2-6x=3x(x-2) 由>0得x>2或x<0, 故f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間是(-,0),(2,+); 由<0,得0<x<2, 故f(x)的單調(diào)遞減區(qū)間是(0,2) (2)由(1)得=3x(x-2),令=0得x=0或x=2 當(dāng)x變化時,f(x)的變化情況如下表: x(，0)0(0,2)2(2，)00f(x)增函數(shù)極大值減函數(shù)極小值增函數(shù)由此可得:當(dāng)0<a<1時,f(x)在(a-1,a+1)內(nèi)有極大值f(0)=-2,無極小值; 當(dāng)a=1時,f(x)在(a-1,a+1)內(nèi)無極值; 當(dāng)1<a<3時,f(x)在(a-1,a+1)內(nèi)有極小值f(2)=-6,無極大值; 當(dāng)a3時,f(x)在(a-1,a+1)內(nèi)無極值. 綜上得,當(dāng)0<a<1時,f(x)有極大值-2,無極小值; 當(dāng)1<a<3時,f(x)有極小值-6,無極大值; 當(dāng)a=1或a3時,f(x)無極值 (2012年高考(重慶理)(本小題滿分13分,()小問6分,()小問7分.)設(shè)其中,曲線在點(diǎn)處的切線垂直于軸.() 求的值;() 求函數(shù)的極值.【答案】解:(1)因,故 由于曲線在點(diǎn)處的切線垂直于軸,故該切線斜率為0,即, 從而,解得 (2)由(1)知, 令,解得(因不在定義域內(nèi),舍去), 當(dāng)時,故在上為減函數(shù); 當(dāng)時,故在上為增函數(shù); 故在處取得極小值. (2013福建高考數(shù)學(xué)(理)已知函數(shù)(1)當(dāng)時,求曲線在點(diǎn)處的切線方程;(2)求函數(shù)的極值.【答案】解:函數(shù)的定義域為,. ()當(dāng)時, , 在點(diǎn)處的切線方程為, 即. ()由可知: 當(dāng)時,函數(shù)為上的增函數(shù),函數(shù)無極值; 當(dāng)時,由,解得; 時,時, 在處取得極小值,且極小值為,無極大值. 綜上:當(dāng)時,函數(shù)無極值 當(dāng)時,函數(shù)在處取得極小值,無極大值. （山東省煙臺市2013屆高三上學(xué)期期中考試數(shù)學(xué)試題(理科)）已知是三次函數(shù)的兩個極值點(diǎn),且,求動點(diǎn)所在的區(qū)域面積.【答案】解:由函數(shù)可得, , 由題意知,是方程的兩個根, 且,因此得到可 行域, 即,畫出可行域如圖. 所以 （山東省壽光市2013屆高三10月階段性檢測數(shù)學(xué)（理）試題）已知(1)當(dāng)a=1時,求的單調(diào)區(qū)間;(2)求在點(diǎn)(0,1)處的切線與直線x=1及曲線所圍成的封閉圖形的面積;(3)是否存在實數(shù)a,使的極大值為3?若存在,求出a的值,若不存在,請說明理由.【答案】解:(1)當(dāng)a=1時, 當(dāng)時,時,或 的單調(diào)遞增區(qū)間為(0,1),單調(diào)遞減區(qū)間為:(-,0),(1,+) (2)切線的斜率為 切線方程為y=-x+1 所求封閉圖形面積為 (3) 令 列表如下: 由表可知,= 設(shè) 在上是增函數(shù), 不存在實數(shù)a,使極大值為3. 11