2019-2020年高考數(shù)學(xué)5年真題備考題庫(kù) 第八章 第9節(jié) 圓錐曲線的綜合問(wèn)題 理（含解析）1（xx浙江，15分）如圖，設(shè)橢圓C：1(a>b>0)，動(dòng)直線l與橢圓C只有一個(gè)公共點(diǎn)P，且點(diǎn)P在第一象限(1)已知直線l的斜率為k，用a，b，k表示點(diǎn)P的坐標(biāo)；(2)若過(guò)原點(diǎn)O的直線l1與l垂直，證明：點(diǎn)P到直線l1的距離的最大值為ab.解：(1)設(shè)直線l的方程為ykxm(k<0)，由消去y得(b2a2k2)x22a2kmxa2m2a2b20.由于l與C只有一個(gè)公共點(diǎn)，故0，即b2m2a2k20，解得點(diǎn)P的坐標(biāo)為.又點(diǎn)P在第一象限，故點(diǎn)P的坐標(biāo)為P，.(2)由于直線l1過(guò)原點(diǎn)O且與l垂直，故直線l1的方程為xky0，所以點(diǎn)P到直線l1的距離d，整理得d，因?yàn)閍2k22ab，所以ab，當(dāng)且僅當(dāng)k2時(shí)等號(hào)成立所以點(diǎn)P到直線l1的距離的最大值為ab.2（xx北京，14分）已知橢圓C：x22y24.(1)求橢圓C的離心率；(2)設(shè)O為原點(diǎn)，若點(diǎn)A在橢圓C上，點(diǎn)B在直線y2上，且OAOB，試判斷直線AB與圓x2y22的位置關(guān)系，并證明你的結(jié)論解：(1)由題意，橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為1.所以a24，b22，從而c2a2b22.因此a2，c.故橢圓C的離心率e.(2)直線AB與圓x2y22相切證明如下：設(shè)點(diǎn)A，B的坐標(biāo)分別為(x0，y0)，(t,2)，其中x00.因?yàn)镺AOB，所以0，即tx02y00，解得t.當(dāng)x0t時(shí)，y0，代入橢圓C的方程，得t，故直線AB的方程為x.圓心O到直線AB的距離d.此時(shí)直線AB與圓x2y22相切當(dāng)x0t時(shí)，直線AB的方程為y2(xt)即(y02)x(x0t)y2x0ty00.d .又x2y4，t，故d.此時(shí)直線AB與圓x2y22相切3（xx湖南，13分）如圖，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，橢圓C1：1(a>b>0)的左、右焦點(diǎn)分別為F1，F(xiàn)2，離心率為e1；雙曲線C2：1的左、右焦點(diǎn)分別為F3，F(xiàn)4，離心率為e2.已知e1e2，且|F2F4|1.(1)求C1，C2的的方程；(2)過(guò)F1作C1的不垂直于y軸的弦AB，M為AB的中點(diǎn)，當(dāng)直線OM與C2交于P，Q兩點(diǎn)時(shí)，求四邊形APBQ面積的最小值解：(1)因?yàn)閑1e2，所以，即a4b4a4，因此a22b2，從而F2(b,0)，F(xiàn)4(b,0)于是bb|F2F4|1，所以b1，a22，故C1，C2的方程分別為y21，y21.(2)因AB不垂直于y軸，且過(guò)點(diǎn)F1(1,0)，故可設(shè)直線AB的方程為xmy1.由得(m22)y22my10.易知>0，設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，則y1，y2是上述方程的兩個(gè)實(shí)根，所以y1y2，y1y2.因此x1x2m(y1y2)2，于是AB的中點(diǎn)為M，故直線PQ的斜率為，PQ的方程為yx，即mx2y0.由得(2m2)x24，所以2m2>0，且x2，y2，從而|PQ|22.設(shè)點(diǎn)A到直線PQ的距離為d，則點(diǎn)B到直線PQ的距離也為d，所以2d.因?yàn)辄c(diǎn)A，B在直線mx2y0的異側(cè)，所以(mx12y1)(mx22y2)<0，于是|mx12y1|mx22y2|mx12y1mx22y2|，從而2d.又因?yàn)閨y1y2|，所以2d.故四邊形APBQ的面積S|PQ|2d2.而0<2m22，故當(dāng)m0時(shí)，S取得最小值2.綜上所述，四邊形APBQ面積的最小值為2.4（xx四川，13分）已知橢圓C：1(a>b>0)的焦距為4，其短軸的兩個(gè)端點(diǎn)與長(zhǎng)軸的一個(gè)端點(diǎn)構(gòu)成正三角形(1)求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)設(shè)F為橢圓C的左焦點(diǎn)，T為直線x3上任意一點(diǎn)，過(guò)F作TF的垂線交橢圓C于點(diǎn)P，Q.證明：OT平分線段PQ(其中O為坐標(biāo)原點(diǎn))；當(dāng)最小時(shí)，求點(diǎn)T的坐標(biāo)解：(1)由已知可得解得a26，b22，所以橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程是1.(2)由(1)可得，F(xiàn)的坐標(biāo)是(2,0)，設(shè)T點(diǎn)的坐標(biāo)為(3，m)，則直線TF的斜率kTFm.當(dāng)m0時(shí)，直線PQ的斜率kPQ，直線PQ的方程是xmy2.當(dāng)m0時(shí)，直線PQ的方程是x2，也符合xmy2的形式設(shè)P(x1，y1)，Q(x2，y2)，將直線PQ的方程與橢圓C的方程聯(lián)立，得消去x，得(m23)y24my20，其判別式16m28(m23)>0.所以y1y2，y1y2，x1x2m(y1y2)4.所以PQ的中點(diǎn)M的坐標(biāo)為，所以直線OM的斜率kOM.又直線OT的斜率kOT，所以點(diǎn)M在直線OT上，因此OT平分線段PQ.由可得，|TF|，|PQ| .所以 .當(dāng)且僅當(dāng)m21，即m1時(shí)，等號(hào)成立，此時(shí)取得最小值所以當(dāng)最小時(shí)，T點(diǎn)的坐標(biāo)是(3,1)或(3，1)5（xx福建，13分）已知雙曲線E：1(a>0，b>0)的兩條漸近線分別為l1：y2x，l2：y2x.(1)求雙曲線E的離心率；(2)如圖，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，動(dòng)直線l分別交直線l1，l2于A，B兩點(diǎn)(A，B分別在第一、四象限)，且OAB的面積恒為8，試探究：是否存在總與直線l有且只有一個(gè)公共點(diǎn)的雙曲線E？若存在，求出雙曲線E的方程；若不存在，說(shuō)明理由解：(1)因?yàn)殡p曲線E的漸近線分別為y2x，y2x，所以2，所以2，故ca，從而雙曲線E的離心率e.(2)法一：由(1)知，雙曲線E的方程為1.設(shè)直線l與x軸相交于點(diǎn)C.當(dāng)lx軸時(shí)，若直線l與雙曲線E有且只有一個(gè)公共點(diǎn)，則|OC|a，|AB|4a，又因?yàn)镺AB的面積為8，所以|OC|AB|8，因此a4a8，解得a2，此時(shí)雙曲線E的方程為1.若存在滿足條件的雙曲線E，則E的方程只能為1.以下證明：當(dāng)直線l不與x軸垂直時(shí)，雙曲線E：1也滿足條件設(shè)直線l的方程為ykxm，依題意，得k2或k2，則C.記A(x1，y1)，B(x2，y2)由得y1，同理得y2.由SOAB|OC|y1y2|，得8，即m24|4k2|4(k24)由得(4k2)x22kmxm2160.因?yàn)?k20，所以4k2m24(4k2)(m216)16(4k2m216)，又因?yàn)閙24(k24)，所以0，即l與雙曲線E有且只有一個(gè)公共點(diǎn)因此，存在總與l有且只有一個(gè)公共點(diǎn)的雙曲線E，且E的方程為1.法二：由(1)知，雙曲線E的方程為1.設(shè)直線l的方程為xmyt，A(x1，y1)，B(x2，y2)依題意得m.由得y1，同理得y2.設(shè)直線l與x軸相交于點(diǎn)C，則C(t,0)由SOAB|OC|y1y2|8，得|t|8，所以t24|14m2|4(14m2)由得(4m21)y28mty4(t2a2)0.因?yàn)?m210，直線l與雙曲線E有且只有一個(gè)公共點(diǎn)當(dāng)且僅當(dāng)64m2t216(4m21)(t2a2)0，即4m2a2t2a20，即4m2a24(14m2)a20，即(14m2)(a24)0，所以a24，因此，存在總與l有且只有一個(gè)公共點(diǎn)的雙曲線E，且E的方程為1.法三：當(dāng)直線l不與x軸垂直時(shí)，設(shè)直線l的方程為ykxm，A(x1，y1)，B(x2，y2)依題意得k2或k2.由得(4k2)x22kmxm20，因?yàn)?k20，0，所以x1x2，又因?yàn)镺AB的面積為8，所以|OA|OB|sinAOB8，又易知sinAOB，所以 8，化簡(jiǎn)得x1x24.所以4，即m24(k24)由(1)得雙曲線E的方程為1，由得(4k2)x22kmxm24a20.因?yàn)?k20，直線l與雙曲線E有且只有一個(gè)公共點(diǎn)當(dāng)且僅當(dāng)4k2m24(4k2)(m24a2)0，即(k24)(a24)0，所以a24，所以雙曲線E的方程為1.當(dāng)lx軸時(shí)，由OAB的面積等于8可得l：x2，又易知l：x2與雙曲線E：1有且只有一個(gè)公共點(diǎn)綜上所述，存在總與l有且只有一個(gè)公共點(diǎn)的雙曲線E，且E的方程為1.6（xx江西，13分）如圖，已知雙曲線C：y21(a>0)的右焦點(diǎn)F，點(diǎn)A，B分別在C的兩條漸近線上，AFx軸，ABOB，BFOA(O為坐標(biāo)原點(diǎn))(1)求雙曲線C的方程；(2)過(guò)C上一點(diǎn)P(x0，y0)(y00)的直線l：y0y1與直線AF相交于點(diǎn)M，與直線x相交于點(diǎn)N，證明：當(dāng)點(diǎn)P在C上移動(dòng)時(shí)，恒為定值，并求此定值解：(1)設(shè)F(c,0)，因?yàn)閎1，所以c，直線OB的方程為yx，直線BF的方程為y(xc)，解得B.又直線OA的方程為yx，則A，kAB.又因?yàn)锳BOB，所以1，解得a23，故雙曲線C的方程為y21.(2)由(1)知a，則直線l的方程為y0y1(y00)，即y.因?yàn)橹本€AF的方程為x2，所以直線l與AF的交點(diǎn)M；直線l與直線x的交點(diǎn)為N.則，因?yàn)镻(x0，y0)是C上一點(diǎn)，則y1，代入上式得.所求定值為.7（xx安徽，5分）已知直線ya交拋物線yx2于A，B兩點(diǎn)若該拋物線上存在點(diǎn)C，使得ACB為直角，則a的取值范圍為_解析：本題考查直線與拋物線的位置關(guān)系，圓的性質(zhì)，考查考生的轉(zhuǎn)化與化歸能力法一：設(shè)直線ya與y軸交于點(diǎn)M，拋物線yx2上要存在C點(diǎn)，只要以|AB|為直徑的圓與拋物線yx2有交點(diǎn)即可，也就是使|AM|MO|，即a(a>0)，所以a1.法二：易知a>0，設(shè)C(m，m2)，由已知可令A(yù)(，a)，B(，a)，則(m，m2a)，(m，m2a)，因?yàn)?，所以m2am42am2a20，可得(m2a)(m21a)0.因?yàn)橛深}易知m2a，所以m2a10，故a1，)答案：1，)7（xx浙江，4分）設(shè)F為拋物線C：y24x的焦點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)P(1,0)的直線l交拋物線C于A，B兩點(diǎn)，點(diǎn)Q為線段AB的中點(diǎn)若|FQ|2，則直線l的斜率等于_解析：本題考查拋物線方程、性質(zhì)，直線與拋物線的位置關(guān)系，考查數(shù)形結(jié)合思想及運(yùn)算求解能力法一：注意到|FQ|2，正好是拋物線通徑的一半，所以點(diǎn)Q為通徑的一個(gè)端點(diǎn)，其坐標(biāo)為(1，2)，這時(shí)A，B，Q三點(diǎn)重合，直線l的斜率為1.法二：令直線l的方程為xty1，由得y24ty40，設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，則y1y24t，y1y24，x1x24t22，所以xQ2t21，yQ2t，|FQ|2(xQ1)2y4，代入解得，t1或t0(舍去)，即直線l的斜率為1.答案：18（xx新課標(biāo)全國(guó)，12分）平面直角坐標(biāo)系xOy中，過(guò)橢圓M：1 (a>b>0)右焦點(diǎn)的直線xy0交M于A，B兩點(diǎn)，P為AB的中點(diǎn)，且OP的斜率為. (1)求M的方程；(2)C，D為M上的兩點(diǎn)，若四邊形ACBD的對(duì)角線CDAB，求四邊形ACBD面積的最大值解：本題考查用待定系數(shù)法求橢圓方程以及直線與橢圓位置關(guān)系的問(wèn)題，考查利用函數(shù)思想求最值，體現(xiàn)對(duì)考生綜合素質(zhì)特別是對(duì)考生分析問(wèn)題、解決問(wèn)題以及化歸與轉(zhuǎn)化能力的考查(1)設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，P(x0，y0)，則1，1，1，由此可得1.因?yàn)閤1x22x0，y1y22y0，所以a22b2.又由題意知，M的右焦點(diǎn)為(，0)，故a2b23.因此a26，b23.所以M的方程為1.(2)由解得或因此|AB|.由題意可設(shè)直線CD的方程為yxn，設(shè)C(x3，y3)，D(x4，y4)由得3x24nx2n260.于是x3,4.因?yàn)橹本€CD的斜率為1，所以|CD|x4x3| .由已知，四邊形ACBD的面積S|CD|AB| .當(dāng)n0時(shí)，S取得最大值，最大值為.所以四邊形ACBD面積的最大值為. 9（xx浙江，15分）如圖，點(diǎn)P(0，1)是橢圓C1：1(a>b>0)的一個(gè)頂點(diǎn)，C1的長(zhǎng)軸是圓C2：x2y24的直徑l1，l2是過(guò)點(diǎn)P且互相垂直的兩條直線，其中l(wèi)1交圓C2于A，B兩點(diǎn)，l2交橢圓C1于另一點(diǎn)D.(1)求橢圓C1的方程；(2)求ABD面積取最大值時(shí)直線l1的方程解：本題考查橢圓的幾何性質(zhì)，直線與圓的位置關(guān)系，直線與橢圓的位置關(guān)系等基礎(chǔ)知識(shí)，同時(shí)考查解析幾何的基本思想方法和綜合解題能力(1)由題意得所以橢圓C1的方程為y21.(2)設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，D(x0，y0)由題意知直線l1的斜率存在，不妨設(shè)其為k，則直線l1的方程為ykx1.又圓C2：x2y24，故點(diǎn)O到直線l1的距離d，所以|AB|22 .又l2l1，故直線l2的方程為xkyk0.由消去y，整理得(4k2)x28kx0，故x0.所以|PD|.設(shè)ABD的面積為S，則S|AB|PD|，所以S，當(dāng)且僅當(dāng)k時(shí)取等號(hào)所以所求直線l1的方程為yx1. 10（xx江西，13分）如圖，橢圓C：1(a>b>0)經(jīng)過(guò)點(diǎn)P(1，)，離心率e，直線l的方程為x4.(1)求橢圓C的方程；(2)AB是經(jīng)過(guò)右焦點(diǎn)F的任一弦(不經(jīng)過(guò)點(diǎn)P)，設(shè)直線AB與直線l相交于點(diǎn)M，記PA，PB，PM的斜率分別為k1，k2，k3.問(wèn)：是否存在常數(shù)，使得k1k2k3？若存在，求的值；若不存在，說(shuō)明理由解：本題主要考查橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程及幾何性質(zhì)、直線與橢圓的位置關(guān)系等，旨在考查考生綜合應(yīng)用知識(shí)的能力(1)由P在橢圓上得，1.依題設(shè)知a2c，則b23c2.代入解得c21，a24，b23.故橢圓C的方程為1.(2)法一：由題意可設(shè)直線AB的斜率為k，則直線AB的方程為yk(x1)代入橢圓方程3x24y212并整理，得(4k23)x28k2x4(k23)0.設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，則有x1x2，x1x2.在方程中令x4得，M的坐標(biāo)為(4,3k)從而k1，k2，k3k.由于A，F(xiàn)，B三點(diǎn)共線，則有kkAFkBF，即有k.所以k1k22k.代入得k1k22k2k1，又k3k，所以k1k22k3.故存在常數(shù)2符合題意法二：設(shè)B(x0，y0)(x01)，則直線FB的方程為y(x1)，令x4，求得M，從而直線PM的斜率為k3，聯(lián)立得A，則直線PA的斜率為k1，直線PB的斜率為k2，所以k1k22k3，故存在常數(shù)2符合題意11（xx福建，13分）如圖，在正方形OABC中，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn)A的坐標(biāo)為(10,0)，點(diǎn)C的坐標(biāo)為(0,10)分別將線段OA和AB十等分，分點(diǎn)分別記為A1，A2，A9和B1，B2，B9連接OBi，過(guò)Ai作x軸的垂線與OBi交于點(diǎn)Pi(iN*,1i9)(1)求證：點(diǎn)Pi(iN*,1i9)都在同一條拋物線上，并求該拋物線E的方程；(2)過(guò)點(diǎn)C作直線l與拋物線E交于不同的兩點(diǎn)M，N，若OCM與OCN的面積比為41，求直線l的方程解：本小題主要考查拋物線的性質(zhì)、直線與拋物線的位置關(guān)系等基礎(chǔ)知識(shí)，考查運(yùn)算求解能力、推理論證能力，考查化歸與轉(zhuǎn)化思想、數(shù)形結(jié)合思想、函數(shù)與方程思想法一：(1)依題意，過(guò)Ai(iN*,1i9)且與x軸垂直的直線的方程為xi，Bi的坐標(biāo)為(10，i)，所以直線OBi的方程為yx.設(shè)Pi的坐標(biāo)為(x，y)，由得yx2，即x210y.所以點(diǎn)Pi(iN*,1i9)都在同一條拋物線上，且拋物線E的方程為x210y.(2)依題意，直線l的斜率存在，設(shè)直線l的方程為ykx10.由得x210kx1000，此時(shí)100k2400>0，直線l與拋物線E恒有兩個(gè)不同的交點(diǎn)M，N.設(shè)M(x1，y1)，N(x2，y2)，則因?yàn)镾OCM4SOCN，所以|x1|4|x2|.又x1x2<0，所以x14x2，分別代入和，得解得k.所以直線l的方程為yx10，即3x2y200或3x2y200.法二：(1)點(diǎn)Pi(iN*,1i9)都在拋物線E：x210y上證明如下：過(guò)Ai(iN*,1i9)且與x軸垂直的直線的方程為xi，Bi的坐標(biāo)為(10，i)，所以直線OBi的方程為yx.由解得Pi的坐標(biāo)為.因?yàn)辄c(diǎn)Pi的坐標(biāo)都滿足方程x210y，所以點(diǎn)Pi(iN*,1i9)都在同一條拋物線上，且拋物線E的方程為x210y.(2)同法一12（xx遼寧，5分）已知P，Q為拋物線x22y上兩點(diǎn)，點(diǎn)P，Q的橫坐標(biāo)分別為4，2，過(guò)P，Q分別作拋物線的切線，兩切線交于點(diǎn)A，則點(diǎn)A的縱坐標(biāo)為()A1B3C4 D8解析：因?yàn)镻，Q兩點(diǎn)的橫坐標(biāo)分別為4，2，且P，Q兩點(diǎn)都在拋物線yx2上，所以P(4,8)，Q(2,2)因?yàn)閥x，所以kPA4，kQA2，則直線PA，QA的方程聯(lián)立得，即，可得A點(diǎn)坐標(biāo)為(1，4)答案：C13（xx北京，5分）在直角坐標(biāo)系xOy中，直線l過(guò)拋物線y24x的焦點(diǎn)F，且與該拋物線相交于A，B兩點(diǎn)，其中點(diǎn)A在x軸上方若直線l的傾斜角為60，則OAF的面積為_解析：直線l的方程為y(x1)，即xy1，代入拋物線方程得y2y40，解得yA2(yB0，舍去)，故OAF的面積為12.答案：14（xx新課標(biāo)全國(guó)，12分）設(shè)拋物線C：x22py(p0)的焦點(diǎn)為F，準(zhǔn)線為l，A為C上一點(diǎn)，已知以F為圓心，F(xiàn)A為半徑的圓F交l于B，D兩點(diǎn)(1)若BFD90，ABD的面積為4，求p的值及圓F的方程；(2)若A，B，F(xiàn)三點(diǎn)在同一直線m上，直線n與m平行，且n與C只有一個(gè)公共點(diǎn)，求坐標(biāo)原點(diǎn)到m，n距離的比值解：(1)由已知可得BFD為等腰直角三角形，|BD|2p，圓F的半徑|FA|p.由拋物線定義可知A到l的距離d|FA|p.因?yàn)锳BD的面積為4，所以|BD|d4，即2pp4，解得p2(舍去)或p2.所以F(0,1)，圓F的方程為x2(y1)28.(2)因?yàn)锳，B，F(xiàn)三點(diǎn)在同一直線m上，所以AB為圓F的直徑，ADB90.由拋物線定義知|AD|FA|AB|，所以ABD30，m的斜率為或.當(dāng)m的斜率為時(shí)，由已知可設(shè)n：yxb，代入x22py得x2px2pb0.由于n與C只有一個(gè)公共點(diǎn)，故p28pb0，解得b.因?yàn)閙的縱截距b1，3，所以坐標(biāo)原點(diǎn)到m，n距離的比值為3.當(dāng)m的斜率為時(shí)，由圖形對(duì)稱性可知，坐標(biāo)原點(diǎn)到m，n距離的比值為3.15（xx廣東，14分）在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知橢圓C：1(a>b>0)的離心率e，且橢圓C上的點(diǎn)到點(diǎn)Q(0,2)的距離的最大值為3.(1)求橢圓C的方程；(2)在橢圓C上，是否存在點(diǎn)M(m，n)，使得直線l：mxny1與圓O：x2y21相交于不同的兩點(diǎn)A、B，且OAB的面積最大？若存在，求出點(diǎn)M的坐標(biāo)及對(duì)應(yīng)的OAB的面積；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由解：(1)由e ，得ab，橢圓C：1，即x23y23b2，設(shè)P(x，y)為C上任意一點(diǎn)，則|PQ|，byb，若b<1，則b>1，當(dāng)yb時(shí)，|PQ|max3，又b>0，得b1(舍去)，若b1，則b1，當(dāng)y1時(shí)，|PQ|max3，得b1，所以橢圓C的方程為y21.(2)法一：假設(shè)存在這樣的點(diǎn)M(m，n)滿足題意，則有n21，即n21，m.由題意可得SAOB|OA|OB|sin AOBsin AOB，當(dāng)AOB90時(shí)取等號(hào)，這時(shí)AOB為等腰直角三角形，此時(shí)圓心(0,0)到直線mxny1的距離為，則 ，得m2n22，又n21，解得m2，n2，即存在點(diǎn)M的坐標(biāo)為(，)，(，)，(，)，(，)滿足題意，且AOB的最大面積為.法二：假設(shè)存在這樣的點(diǎn)M(m，n)滿足題意，則有n21，即n21，m，又設(shè)A(x1，y1)、B(x2，y2)，由消去y得(m2n2)x22mx1n20，把n21代入整理得(32m2)x26mxm20，則8m2(3m2)0，所以而SAOB|OA|OB|sin AOBsin AOB，當(dāng)AOB90，SAOB取得最大值，此時(shí)x1x2y1y20，又y1y2，所以x1x20，即33m(x1x2)(32m2)x1x20，把代入上式整理得2m49m290，解得m2或m23(舍去)，所以m，n ，所以M點(diǎn)的坐標(biāo)為(，)，(，)，(，)，(，)，使得SAOB取得最大值.16(xx安徽，13分)如圖，點(diǎn)F1(c,0)，F(xiàn)2(c,0)分別是橢圓C：1(ab0)的左、右焦點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)F1作x軸的垂線交橢圓C的上半部分于點(diǎn)P，過(guò)點(diǎn)F2作直線PF2的垂線交直線x于點(diǎn)Q.(1)如果點(diǎn)Q的坐標(biāo)是(4,4)，求此時(shí)橢圓C的方程；(2)證明：直線PQ與橢圓C只有一個(gè)交點(diǎn)解：(1)法一：由條件知，P(c，)故直線PF2的斜率為kPF2.因?yàn)镻F2F2Q，所以直線F2Q的方程為yx.故Q(，2a)由題設(shè)知，4,2a4，解得a2，c1.故橢圓方程為1.法二：設(shè)直線x與x軸交于點(diǎn)M.由條件知，P(c，)因?yàn)镻F1F2F2MQ，所以.即，解得|MQ|2a.所以解得a2，c1.故橢圓方程為1.(2)直線PQ的方程為，即yxa.將上式代入橢圓方程得，x22cxc20，解得xc，y.所以直線PQ與橢圓C只有一個(gè)交點(diǎn)17（xx福建，13分）如圖，橢圓E：1(ab0)的左焦點(diǎn)為F1，右焦點(diǎn)為F2，離心率e.過(guò)F1的直線交橢圓于A、B兩點(diǎn)，且ABF2的周長(zhǎng)為8.(1)求橢圓E的方程；(2)設(shè)動(dòng)直線l：ykxm與橢圓E有且只有一個(gè)公共點(diǎn)P，且與直線x4相交于點(diǎn)Q.試探究：在坐標(biāo)平面內(nèi)是否存在定點(diǎn)M，使得以PQ為直徑的圓恒過(guò)點(diǎn)M？若存在，求出點(diǎn)M的坐標(biāo)；若不存在，說(shuō)明理由解：法一：(1)因?yàn)閨AB|AF2|BF2|8，即|AF1|F1B|AF2|BF2|8，又|AF1|AF2|BF1|BF2|2a，所以4a8，a2.又因?yàn)閑，即，所以c1，所以b.故橢圓E的方程是1.(2)由得(4k23)x28kmx4m2120.因?yàn)閯?dòng)直線l與橢圓E有且只有一個(gè)公共點(diǎn)P(x0，y0)，所以m0且0，即64k2m24(4k23)(4m212)0，化簡(jiǎn)得4k2m230.(*)此時(shí)x0，y0kx0m，所以P(，)由得Q(4,4km)假設(shè)平面內(nèi)存在定點(diǎn)M滿足條件，由圖形對(duì)稱性知，點(diǎn)M必在x軸上設(shè)M(x1,0)，則0對(duì)滿足(*)式的m，k恒成立因?yàn)?x1，)，(4x1,4km)，由0，得4x1x30，整理，得(4x14)x4x130.(*)由于(*)式對(duì)滿足(*)式的m，k恒成立，所以解得x11.故存在定點(diǎn)M(1,0)，使得以PQ為直徑的圓恒過(guò)點(diǎn)M.法二：(1)同法一(2)由得(4k23)x28kmx4m2120.因?yàn)閯?dòng)直線l與橢圓E有且只有一個(gè)公共點(diǎn)P(x0，y0)，所以m0且0，即64k2m24(4k23)(4m212)0，化簡(jiǎn)得4k2m230.(*)此時(shí)x0，y0kx0m，所以P(，)由得Q(4,4km)假設(shè)平面內(nèi)存在定點(diǎn)M滿足條件，由圖形對(duì)稱性知，點(diǎn)M必在x軸上取k0，m，此時(shí)P(0，)，Q(4，)，以PQ為直徑的圓為(x2)2(y)24，交x軸于點(diǎn)M1(1,0)，M2(3,0)；取k，m2，此時(shí)P(1，)，Q(4,0)，以PQ為直徑的圓為(x)2(y)2，交x軸于點(diǎn)M3(1,0)，M4(4,0)所以若符合條件的點(diǎn)M存在，則M的坐標(biāo)必為(1,0)以下證明M(1,0)就是滿足條件的點(diǎn)：因?yàn)镸的坐標(biāo)為(1,0)，所以(1，)，(3,4km)，從而330，故恒有，即存在定點(diǎn)M(1,0)，使得以PQ為直徑的圓恒過(guò)點(diǎn)M.18（2011江蘇，16分）如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，M、N分別是橢圓1的頂點(diǎn)，過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn)的直線交橢圓于P、A兩點(diǎn)，其中點(diǎn)P在第一象限，過(guò)P作x軸的垂線，垂足為C.連接AC，并延長(zhǎng)交橢圓于點(diǎn)B.設(shè)直線PA的斜率為k.(1)當(dāng)直線PA平分線段MN時(shí)，求k的值；(2)當(dāng)k2時(shí)，求點(diǎn)P到直線AB的距離d；(3)對(duì)任意的k0，求證：PAPB.解：(1)由題設(shè)知，a2，b，故M(2,0)，N(0，)，所以線段MN中點(diǎn)的坐標(biāo)為(1，)由于直線PA平分線段MN，故直線PA過(guò)線段MN的中點(diǎn)，又直線PA過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn)，所以k.(2)直線PA的方程為y2x，代入橢圓方程得1，解得x，因此P(，)，A(，)于是C(，0)，直線AC的斜率為1，故直線AB的方程為xy0.因此，d.(3)證明：法一：將直線PA的方程ykx代入1，解得x.記，則P(，k)，A(，k)，于是C(，0)故直線AB的斜率為，其方程為y(x)，代入橢圓方程并由得(2k2)x22k2x2(3k22)0，解得x或x.因此B(，)于是直線PB的斜率k1.因此k1k1，所以PAPB.法二：設(shè)P(x1，y1)，B(x2，y2)，則x10，x20，x1x2，A(x1，y1)，C(x1,0)設(shè)直線PB，AB的斜率分別為k1，k2.因?yàn)镃在直線AB上，所以k2.從而k1k12k1k212110.因此k1k1，所以PAPB.