2019-2020年高考數(shù)學(xué)專題復(fù)習(xí) 第27講 平面向量應(yīng)用舉例練習(xí) 新人教A版考情展望1.用向量的方法解決某些簡(jiǎn)單的平面幾何證明問(wèn)題.2.與三角函數(shù)、解析幾何等知識(shí)交匯命題，體現(xiàn)向量運(yùn)算的工具性一、向量在平面幾何中的應(yīng)用1平面向量在平面幾何中的應(yīng)用主要是用向量的線性運(yùn)算及數(shù)量積解決平面幾何中的平行、垂直、平移、全等、相似、長(zhǎng)度、夾角等問(wèn)題2用向量解決常見(jiàn)平面幾何問(wèn)題的技巧問(wèn)題類型所用知識(shí)公式表示線平行、點(diǎn)共線、相似等問(wèn)題共線向量定理ababx1y2x2y10(b0)其中a(x1，y1)，b(x2，y2)垂直問(wèn)題數(shù)量積的運(yùn)算性質(zhì)abab0x1x2y1y20a(x1，y1)，b(x2，y2)，其中a，b為非零向量夾角問(wèn)題數(shù)量積的定義cos (為向量a，b的夾角)二、向量在物理中的應(yīng)用1向量的加法、減法在力的分解與合成中的應(yīng)用2向量在速度的分解與合成中的應(yīng)用3向量的數(shù)量積在合力做功問(wèn)題中的應(yīng)用：Wfs.1已知三個(gè)力f1，f2，f3作用于物體同一點(diǎn)，使物體處于平衡狀態(tài)，若f1(2,2)，f2(2,3)，則|f3|為()A2.5B4C2D5【解析】 由題意知f1f2f30，f3(f1f2)(0，5)，|f3|5.【答案】D2已知O是ABC所在平面上一點(diǎn)，若，則O是ABC的()A內(nèi)心 B重心 C外心 D垂心【解析】 ()0，0OBAC.同理：OABC，OCAB，O是ABC的垂心【答案】D3若20，則ABC為()A鈍角三角形 B銳角三角形C等腰直角三角形 D直角三角形【解析】 20可化為()0，即0，所以.所以ABC為直角三角形【答案】D4已知兩個(gè)力F1、F2的夾角為90，它們的合力F的大小為10 N，合力與F1的夾角為60，那么F1的大小為_(kāi)【解析】 如圖所示|F1|F|cos 60105(N)【答案】5 N5(xx湖南高考)在ABC中，AB2，AC3，1，則BC()A. B. C2 D.【解析】 1，且AB2，1|cos(B)，|cos B.在ABC中，|AC|2|AB|2|BC|22|AB|BC|cos B，即94|BC|222.|BC|.【答案】A6(xx福建高考)在四邊形ABCD中，(1,2)，(4,2)，則該四邊形的面積為()A. B2 C5 D10【解析】 (1,2)(4,2)440，S四邊形ABCD|25.【答案】C考向一 080向量在平面幾何中的應(yīng)用(1)(xx長(zhǎng)沙模擬)在ABC中，已知向量與滿足0，且，則ABC為()A等邊三角形B直角三角形C等腰非等邊三角形 D三邊均不相等的三角形(2)(xx濟(jì)南模擬)設(shè)a，b，c為同一平面內(nèi)具有相同起點(diǎn)的任意三個(gè)非零向量，且a與b不共線，ac，|a|c|，則|bc|的值一定等于()A以a，b為鄰邊的平行四邊形的面積B以b，c為兩邊的三角形面積C以a，b為兩邊的三角形面積D以b，c為鄰邊的平行四邊形的面積(3)已知ABC的三邊長(zhǎng)AC3，BC4，AB5，P為AB邊上任意一點(diǎn)，則()的最大值為_(kāi)【思路點(diǎn)撥】(1)是單位向量，結(jié)合平行四邊形法則及0分析AB與AC的關(guān)系，借助數(shù)量積的定義求CBA，進(jìn)而得出ABC的形狀(2)借助數(shù)量積的定義及三角函數(shù)誘導(dǎo)公式求解(3)可采用坐標(biāo)法和基向量法分別求解本題【嘗試解答】(1)因?yàn)?，所以BAC的平分線垂直于BC，所以ABAC.又，所以cosBAC，即BAC，所以ABC為等邊三角形(2)依題意可得|bc|b|c|cosb，c|b|c|sina，bS平行四邊形|bc|的值一定等于以b，c為鄰邊的平行四邊形的面積(3)法一(坐標(biāo)法)以C為原點(diǎn)，建立平面直角坐標(biāo)系如圖，設(shè)P點(diǎn)坐標(biāo)為(x，y)且0y3,0x4，則()(x，y)(0,3)3y，當(dāng)y3時(shí)，取得最大值9.法二(基向量法)，()()299|cosBAC93|cosBAC，cosBAC為正且為定值，當(dāng)|最小即|0時(shí)，()取得最大值9.【答案】(1)A(2)D(3)9規(guī)律方法11.向量在平面幾何中的三大應(yīng)用：一是借助運(yùn)算判斷圖形的形狀，二是借助模、數(shù)量積等分析幾何圖形的面積；三是借助向量探尋函數(shù)的最值表達(dá)式，進(jìn)而求最值.2.平面幾何問(wèn)題的向量解法(1)坐標(biāo)法,把幾何圖形放在適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系中，就賦予了有關(guān)點(diǎn)與向量具體的坐標(biāo)，這樣就能進(jìn)行相應(yīng)的代數(shù)運(yùn)算和向量運(yùn)算，從而使問(wèn)題得到解決.(2)基向量法,適當(dāng)選取一組基底，溝通向量之間的聯(lián)系，利用向量共線構(gòu)造關(guān)于設(shè)定未知量的方程來(lái)進(jìn)行求解.對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練(1)已知點(diǎn)O，N，P在ABC所在平面內(nèi)，且|，0，則點(diǎn)O，N，P依次是ABC的()A重心、外心、垂心B重心、外心、內(nèi)心C外心、重心、垂心 D外心、重心、內(nèi)心(注：三角形的三條高線交于一點(diǎn)，此點(diǎn)稱為三角形的垂心)(2)(xx課標(biāo)全國(guó)卷)已知正方形ABCD的邊長(zhǎng)為2，E為CD的中點(diǎn)，則_.【解析】 (1)|，即點(diǎn)O到A，B，C三點(diǎn)的距離相等，點(diǎn)O為ABC的外心如圖，設(shè)D為BC邊的中心，則2，0，20，2，A，D，N三點(diǎn)共線，點(diǎn)N在BC邊的中線上同理，點(diǎn)N也在AB，AC邊的中線上，點(diǎn)N是ABC的重心，0，()0，0，.同理，點(diǎn)P是ABC的垂心(2)如圖，以A為坐標(biāo)原點(diǎn)，AB所在的直線為x軸，AD所在的直線為y軸，建立平面直角坐標(biāo)系，則A(0,0)，B(2,0)，D(0,2)，E(1,2)，(1,2)，(2,2)，1(2)222.【答案】(1)C(2)2考向二 081向量在物理中的應(yīng)用(1)一質(zhì)點(diǎn)受到平面上的三個(gè)力F1、F2、F3(單位：牛頓)的作用而處于平衡狀態(tài)已知F1、F2成60角，且F1、F2的大小分別為2和4，則F3的大小為()A2B2C2D6圖441(2)如圖441所示，已知力F與水平方向的夾角為30(斜向上)，F(xiàn)的大小為50 N，F(xiàn)拉著一個(gè)重80 N的木塊在摩擦因數(shù)0.02的水平平面上運(yùn)動(dòng)了20 m，問(wèn)F、摩擦力f所做的功分別為多少？【思路點(diǎn)撥】(1)利用F1F2F30，結(jié)合向量模的求法求解(2)力在位移上所做的功，是向量數(shù)量積的物理含義，要先求出力F，f和位移的夾角【嘗試解答】(1)如圖所示，由已知得F1F2F30，F(xiàn)3(F1F2)FFF2F1F2FF2|F1|F2|cos 6028.|F3|2.【答案】A(2)設(shè)木塊的位移為s，則Fs|F|s|cos 305020500 J，F(xiàn)在豎直方向上的分力大小為|F|sin 305025(N)，所以摩擦力f的大小為|f|(8025)0.021.1(N)，所以fs|f|s|cos 1801.120(1)22 J.F，f所做的功分別是500 J，22 J規(guī)律方法21.物理學(xué)中的“功”可看作是向量的數(shù)量積的原型.2.應(yīng)善于將平面向量知識(shí)與物理有關(guān)知識(shí)進(jìn)行類比.例如，向量加法的平行四邊形法則可與物理中力的合成進(jìn)行類比，平面向量基本定理可與物理中力的分解進(jìn)行類比.3.用向量方法解決物理問(wèn)題的步驟：一是把物理問(wèn)題中的相關(guān)量用向量表示；二是轉(zhuǎn)化為向量問(wèn)題的模型，通過(guò)向量運(yùn)算解決問(wèn)題；三是將結(jié)果還原為物理問(wèn)題.考向三 082向量在三角函數(shù)中的應(yīng)用(xx遼寧高考)設(shè)向量a(sin x，sin x)，b(cos x，sin x)，x.(1)若|a|b|，求x的值；(2)設(shè)函數(shù)f(x)ab，求f(x)的最大值【思路點(diǎn)撥】分別表示兩向量的模，利用相等求解x的值；利用數(shù)量積運(yùn)算及輔助角公式化為一個(gè)角的一種函數(shù)求解【嘗試解答】(1)由|a|2(sin x)2sin2 x4sin2x，|b|2cos2xsin2x1，及|a|b|，得4sin2x1.又x，從而sin x，所以x.(2)f(x)absin xcos xsin2xsin 2xcos 2xsin，當(dāng)x時(shí)，sin取最大值1.所以f(x)的最大值為.規(guī)律方法3平面向量與三角函數(shù)結(jié)合的題目的解題思路通常是將向量的數(shù)量積與模經(jīng)過(guò)坐標(biāo)運(yùn)算后轉(zhuǎn)化為三角問(wèn)題，然后利用三角函數(shù)基本公式求解.對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練已知O為坐標(biāo)原點(diǎn)，向量(sin ，1)，(cos ，0)，(sin ，2)，點(diǎn)P滿足.(1)記函數(shù)f()，求函數(shù)f()的最小正周期；(2)若O、P、C三點(diǎn)共線，求|的值【解】(1)(cos sin ，1)，設(shè)(x，y)，則(xcos ，y)，由得x2cos sin ，y1，故(2cos sin ，1)(sin cos ，1)，(2sin ，1)，f()(sin cos ，1)(2sin ，1)2sin22sin cos 1(sin 2cos 2)sin，f()的最小正周期T.(2)由O、P、C三點(diǎn)共線可得(1)(sin )2(2cos sin )，得tan ，sin 2，|.規(guī)范解答之七平面向量與三角函數(shù)的交匯問(wèn)題求平面向量與三角函數(shù)的交匯問(wèn)題的一般步驟：第一步：將向量間的關(guān)系式化成三角函數(shù)式；第二步：化簡(jiǎn)三角函數(shù)式；第三步：求三角函數(shù)式的值或求角或分析三角函數(shù)式的性質(zhì)；第四步：明確表述結(jié)論1個(gè)示范例1個(gè)規(guī)范練(12分)(xx江蘇高考)已知a(cos ，sin )，b(cos ，sin )，0.(1)若|ab|，求證：ab；(2)設(shè)c(0,1)，若abc，求，的值【規(guī)范解答】(1)證明由題意得|ab|22，2分即(ab)2a22abb22.又因?yàn)閍2b2|a|2|b|21，所以22ab2，即ab0，故ab.5分(2)因?yàn)閍b(cos cos ，sin sin )(0,1)，所以7分由此得，cos cos()，由0，得0.9分又0，故.代入sin sin 1，得sin sin ，11分而，所以，.12分 【名師寄語(yǔ)】(1)熟練掌握平面向量的線性運(yùn)算及數(shù)量積的運(yùn)算是求解此類問(wèn)題的前提.(2)解決平面向量與三角函數(shù)的交匯問(wèn)題，要利用平面向量的定義和運(yùn)算法則準(zhǔn)確轉(zhuǎn)化為三角函數(shù)式.在此基礎(chǔ)上運(yùn)用三角函數(shù)的知識(shí)求解.(xx煙臺(tái)模擬)已知向量a(cos ，sin )，b(cos ，sin )，|ab|.(1)求cos()的值；(2)若0，0，且sin .求sin .【解】(1)|ab|，|ab|2，a22abb2，22(cos cos sin sin )，22cos()，即cos().(2)sin sin()sin()cos cos()sin ，又0，0，則0，sin()，cos ，sin .