2019-2020年高考數(shù)學(xué)專題復(fù)習(xí) 第36講 空間幾何體的表面積與體積練習(xí) 新人教A版考情展望1.與三視圖相結(jié)合考查柱、錐、臺、球的體積和表面積.2.以選擇題與填空題形式考查一、旋轉(zhuǎn)體的表(側(cè))面積名稱側(cè)面積表面積圓柱(底面半徑r，母線長l)2rl2r(lr)圓錐(底面半徑r，母線長l)rlr(lr)圓臺(上、下底面半徑r，母線長l)(r1r2)l(r1r2)l(rr)球(半徑為R)4R2二、空間幾何體的體積(h為高，S為下底面積，S為上底面積)1V柱體Sh.2V錐體Sh.3V臺體h(SS)4V球R3(球半徑是R)求幾何體體積的兩種重要方法1割補(bǔ)法：求一些不規(guī)則幾何體的體積時，常用割補(bǔ)法轉(zhuǎn)化成已知體積公式的幾何體進(jìn)行解決2等積法：等積法包括等面積法和等體積法等積法的前提是幾何圖形(或幾何體)的面積(或體積)通過已知條件可以得到，利用等積法可以用來求解幾何圖形的高或幾何體的高，特別是在求三角形的高和三棱錐的高時，這一方法回避了具體通過作圖得到三角形(或三棱錐)的高，而通過直接計算得到高的數(shù)值1正六棱柱的高為6，底面邊長為4，則它的全面積為()A48(3)B48(32)C24() D144【解析】正六棱柱的側(cè)面積S側(cè)664144，底面面積S底264248，S表1444848(3)【答案】A2若一個底面是正三角形的三棱柱的正視圖如圖721所示，則其側(cè)面積等于()圖721A. B2C2 D6【解析】由三棱柱的正視圖可知此三棱柱為底面邊長為2，側(cè)棱長為1的正三棱柱，S側(cè)2136.【答案】D3圓柱的一個底面積為S，側(cè)面展開圖是一個正方形，那么這個圓柱的側(cè)面積是()A4S B2SCS D.S【解析】設(shè)圓柱的底面半徑為r，則Sr2，r.由題意得圓柱的高h(yuǎn)2r，S側(cè)2rh424S.【答案】A4母線長為1的圓錐的側(cè)面展開圖的面積是，則該圓錐的體積為()A. B.C. D.【解析】設(shè)圓錐的底面半徑為r，依題意得r1，r.圓錐的高h(yuǎn) .圓錐的體積Vr2h.【答案】C5(xx陜西高考)某幾何體的三視圖如圖722所示，則其表面積為_圖722【解析】由三視圖可知，該幾何體為一個半徑為1的半球，其表面積為半個球面面積與截面面積的和，即43.【答案】36(xx遼寧高考)某幾何體的三視圖如圖723所示，則該幾何體的體積是_圖723【解析】由三視圖可知該幾何體是一個圓柱內(nèi)部挖去一個正四棱柱，圓柱底面圓半徑為2，高為4，故體積為 16；正四棱柱底面邊長為2，高為4，故體積為16，故題中幾何體的體積為 1616.【答案】1616考向一 118空間幾何體的表面積如圖724是一個幾何體的三視圖，根據(jù)圖中數(shù)據(jù)，可得該幾何體的表面積是()圖724A9B10C11D12【思路點撥】先由三視圖判斷幾何體的形狀，然后根據(jù)相應(yīng)幾何體的表面積公式求解【嘗試解答】從題中三視圖可以看出該幾何體是由一個球和一個圓柱體組合而成的，其表面積為S41212221312.故選D.【答案】D規(guī)律方法11.解答本題的關(guān)鍵是根據(jù)三視圖得到幾何體的直觀圖，弄清幾何體的組成.2.在求多面體的側(cè)面積時，應(yīng)對每一側(cè)面分別求解后再相加，對于組合體的表面積應(yīng)注意重合部分的處理.3.以三視圖為載體考查幾何體的表面積，關(guān)鍵是能夠?qū)o出的三視圖進(jìn)行恰當(dāng)?shù)姆治?，從三視圖中發(fā)現(xiàn)幾何體中各元素間的位置關(guān)系及數(shù)量關(guān)系.對點訓(xùn)練(xx重慶高考)某幾何體的三視圖如圖725所示，則該幾何體的表面積為()圖725A180B200C220D240【解析】由三視圖知識知該幾何體是底面為等腰梯形的直四棱柱等腰梯形的上底長為2，下底長為8，高為4，腰長為5，直四棱柱的高為10，所以S底(82)4240，S側(cè)1081022105200，S表40200240，故選D.【答案】D考向二 119空間幾何體的體積(1)(xx課標(biāo)全國卷)某幾何體的三視圖如圖726所示，則該幾何體的體積為()圖726A168B88C1616 D816圖727(2)(xx山東高考)如圖727，正方體ABCDA1B1C1D1的棱長為1，E，F(xiàn)分別為線段AA1，B1C上的點，則三棱錐D1EDF的體積為_【思路點撥】(1)根據(jù)三視圖得到幾何體的直觀圖，明確邊長的大小再根據(jù)相應(yīng)公式求解(2)原三棱錐的底面面積和高都不易求，轉(zhuǎn)換頂點使三棱錐的高與底面面積易求【嘗試解答】(1)原幾何體為組合體：上面是長方體，下面是圓柱的一半(如圖所示)，其體積為V422224168.(2)VD1EDFVFDD1ESD1DEAB111.【答案】(1)A(2)規(guī)律方法21.解答本題(2)的關(guān)鍵是轉(zhuǎn)換頂點，轉(zhuǎn)換頂點的原則是使底面面積和高易求一般做法是把底面放在已知幾何體的某一個面上2注意求體積的一些特殊方法：分割法、補(bǔ)體法、轉(zhuǎn)化法等，它們是解決一些不規(guī)則幾何體體積計算常用的方法3等積變換法：利用三棱錐的任一個面可作為三棱錐的底面求體積時，可選擇容易計算的方式來計算；利用“等積法”可求“點到面的距離”對點訓(xùn)練(1)(xx廣東高考)某三棱錐的三視圖如圖728所示，則該三棱錐的體積是()圖728A.B.C.D1(2)(xx江西高考)一幾何體的三視圖如圖729所示，則該幾何體的體積為()圖729A2009 B20018C1409 D14018【解析】(1)如圖，三棱錐的底面是一個直角邊長為1的等腰直角三角形，有一條側(cè)棱和底面垂直，且其長度為2，故三棱錐的高為2，故其體積V112，故選B.(2)由三視圖可知該幾何體的下面是一個長方體，上面是半個圓柱組成的組合體長方體的長、寬、高分別為10、4、5，半圓柱底面圓半徑為3，高為2，故組合體體積V104592009.【答案】(1)B(2)A考向三 120球與多面體已知兩個圓錐有公共底面，且兩圓錐的頂點和底面的圓周都在同一個球面上若圓錐底面面積是這個球面面積的，則這兩個圓錐中，體積較小者的高與體積較大者的高的比值為_【思路點撥】由球、圓錐的對稱性知，兩圓錐的頂點連線過球心及圓錐底面的圓心，先求圓錐底面的半徑，再求球心與圓錐底面的圓心間的距離，問題可解【嘗試解答】如圖，設(shè)球的半徑為R，圓錐底面半徑為r.由題意得r24R2.r2R2，根據(jù)球的截面的性質(zhì)可知兩圓錐的高必過球心O，且兩圓錐的頂點以及圓錐與球的交點是球的大圓上的點，且ABO1C.OO1R，因此體積較小的圓錐的高AO1RR，體積較大的圓錐的高BO1RR.且這兩個圓錐中，體積較小者的高與體積較大者的高的比為.【答案】規(guī)律方法31.解答本題的關(guān)鍵是確定球心、圓錐底面圓心與兩圓錐頂點之間的關(guān)系，這需要根據(jù)球的對稱性及幾何體的形狀來確定.2.與球有關(guān)的組合體問題，一種是內(nèi)切，一種是外接.球與旋轉(zhuǎn)體的組合通常作它們的軸截面解題，球與多面體的組合，通過多面體的一條側(cè)棱和球心，或“切點”、“接點”作出截面圖，把空間問題化歸為平面問題.對點訓(xùn)練(xx課標(biāo)全國卷)如圖7210，有一個水平放置的透明無蓋圖7210的正方體容器，容器高8 cm，將一個球放在容器口，再向容器內(nèi)注水，當(dāng)球面恰好接觸水面時測得水深為6 cm，如果不計容器厚度，則球的體積為()A. cm3B. cm3C. cm3 D. cm3【解析】如圖，作出球的一個截面，則MC862(cm)，BMAB84(cm)設(shè)球的半徑為R cm，則R2OM2MB2(R2)242，R5，V球53(cm3)【答案】A思想方法之十七補(bǔ)形法破譯體積問題某些空間幾何體是某一個幾何體的一部分，在解題時，把這個幾何體通過“補(bǔ)形”補(bǔ)成完整的幾何體或置于一個更熟悉的幾何體中，巧妙地破解空間幾何體的幾何問題，這是一種重要的解題策略補(bǔ)形法常見的補(bǔ)形法有對稱補(bǔ)形、聯(lián)系補(bǔ)形與還原補(bǔ)形對于還原補(bǔ)形，主要涉及臺體中“還臺為錐”問題1個示范例1個對點練(xx湖北高考)已知某幾何體的三視圖如圖7211所示，則該幾何體的體積為()圖7211A.B3C.D6【解析】由三視圖可知，此幾何體(如圖所示)是底面半徑為1，高為4的圓柱被從母線的中點處截去了圓柱的，所以V1243.(xx遼寧高考)已知點P，A，B，C，D是球O表面上的點，PA平面ABCD，四邊形ABCD是邊長為2的正方形若PA2，則OAB的面積為_【解析】如圖所示，線段PC就是球的直徑，設(shè)球的半徑為R，因為ABBC2，所以AC2.又PA2，所以PC2PA2AC2242448，所以PC4，所以O(shè)AOB2，所以AOB是正三角形，所以S223.【答案】3