2019-2020年高二數(shù)學(xué)下學(xué)期期末考試試題 理 蘇教版一、填空題（本大題共14小題，每小題5分，計(jì)70分）1（5分）曲線（t為參數(shù)）與x軸交點(diǎn)的直角坐標(biāo)是_2（5分）已知下列=（1，x，3），=（2，4，y），且，那么x+y的值為_3（5分）復(fù)數(shù)z=（i為虛數(shù)單位）是實(shí)數(shù)，則實(shí)數(shù)a=_4（5分）（xx昌平區(qū)二模）二項(xiàng)式的展開式中x3的系數(shù)為_5（5分）若離散型隨機(jī)變量XB（6，p），且E（X）=2，則p=_6（5分）矩陣的特征值為_7（5分）如圖，在某個(gè)城市中，M，N兩地之間有南北街道5條、東西街道4條，現(xiàn)要求沿圖中的街道，以最短的路程從M走到N，則不同的走法共有_種8（5分）設(shè)凸n邊形（n4）的對角線條數(shù)為f（n），則f（n+1）f（n）=_9（5分）在極坐標(biāo)系中，直線l的極坐標(biāo)方程為sin（+）=2，則極點(diǎn)O到直線l的距離為_10（5分）甲、乙兩隊(duì)進(jìn)行排球決賽，現(xiàn)在的情形是甲隊(duì)只要再贏一局就獲冠軍，乙隊(duì)需要再贏兩局才能得冠軍，若兩隊(duì)勝每局的概率相同，則甲隊(duì)獲得冠軍的概率為_11（5分）將1，2，3，4，5，6，7，8，9這9個(gè)正整數(shù)分別寫在三張卡片上，要求每一張卡片上的三個(gè)數(shù)中任意兩數(shù)之差都不在這張卡片上，現(xiàn)在第一張卡片上已經(jīng)寫有1和5，第二張卡片上寫有2，第三張卡片上寫有3，則第一張卡片上的另一個(gè)數(shù)字是_12（5分）如圖所示，已知點(diǎn)P是正方體ABCDA1B1C1D1的棱A1D1上的一個(gè)動點(diǎn)，設(shè)異面直線AB與CP所成的角為，則cos的最小值是_13（5分）如果某年年份的各位數(shù)字之和為7，我們稱該年為“七巧年”例如，今年年份xx的各位數(shù)字之和為7，所以今年恰為“七巧年”，那么從xx年到2999年中“七巧年”共有_個(gè)14（5分）班級53名同學(xué)報(bào)名參加科技、文化、生活三個(gè)學(xué)習(xí)社團(tuán)，規(guī)定每人必須參加一個(gè)社團(tuán)，且最多參加兩個(gè)社團(tuán)，在所有可能的報(bào)名方案中，設(shè)參加社團(tuán)完全相同的人數(shù)的最大值為n，則n的最小值為_二、解答題（本大題共6小題，計(jì)90分）15（14分）已知極坐標(biāo)系的極點(diǎn)在平面直角坐標(biāo)系的原點(diǎn)O處，極軸與x軸的非負(fù)半軸重合，且長度單位相同，若圓C的極坐標(biāo)方程為=2cos，直線l的參數(shù)方程為（t為參數(shù)），直線l與圓C交于A，B兩點(diǎn)（1）求圓C的直角坐標(biāo)方程與直線l的普通方程；（2）求AB的長16（14分）如圖，單位正方形OABC在二階矩陣T的作用下，變成菱形OA1B1C1（1）求矩陣T；（2）設(shè)雙曲線F：x2y2=1在矩陣T對應(yīng)的變換作用下得到曲線F，求曲線F的方程17（14分）某同學(xué)參加高二學(xué)業(yè)水平測試的4門必修科目考試已知該同學(xué)每門學(xué)科考試成績達(dá)到“A”等級的概率均為，且每門考試成績的結(jié)果互不影響（1）求該同學(xué)至少得到兩個(gè)“A”的概率；（2）已知在高考成績計(jì)分時(shí)，每有一科達(dá)到“A”，則高考成績加1分，如果4門學(xué)科均達(dá)到“A”，則高考成績額外再加1分現(xiàn)用隨機(jī)變量Y表示該同學(xué)學(xué)業(yè)水平測試的總加分，求Y的概率分別列和數(shù)學(xué)期望18（16分）觀察下列各不等式：1+，1+，1+，1+，（1）由上述不等式，歸納出一個(gè)與正整數(shù)n（n2）有關(guān)的一般性結(jié)論；（2）用數(shù)學(xué)歸納法證明你得到是結(jié)論19（16分）如圖，已知正四棱錐SABCD的底面邊長為2，高為，P為棱SC的中點(diǎn)（1）求直線AP與平面SBC所成角的正弦值；（2）求兩面角BSCD大小的余弦值；（3）在正方形ABCD內(nèi)是否有一點(diǎn)Q，使得PQ平面SDC？若存在，求PQ的長；若不存在，請說明理由20（16分）在（1+x+x2）n=D+Dx+Dx2+Dxr+Dx2n1+Dx2n的展開式中，把D，D，D，D叫做三項(xiàng)式系數(shù)（1）當(dāng)n=2時(shí)，寫出三項(xiàng)式系數(shù)D，D，D，D，D的值；（2）類比二項(xiàng)式系數(shù)性質(zhì)C=C+C（1mn，mN，nN），給出一個(gè)關(guān)于三項(xiàng)式系數(shù)D（1m2n1，mN，nN）的相似性質(zhì)，并予以證明；（3）求DCDC+DCDC+DC的值 參考答案1、（2，0）2、-43、-34、805、6、3或-17、358、n-19、210、11、812、13、2114、915、解：（1）由=2cos，得2=2cos，所以圓C的直角坐標(biāo)方程為x2+y2=2x，即（x1）2+y2=1（5分）直線l的普通方程為2xy2=0（10分）（2）因?yàn)橹本€l過圓心C（2，2），所以AB=2（14分）16、解：（1）設(shè)T=，由=，解得 （3分）由=，解得所以T= （7分）（2）設(shè)曲線F上任意一點(diǎn)P（x，y）在矩陣T對應(yīng)的變換作用下變?yōu)镻（x，y），則=，即，所以（9分）因?yàn)閤2y2=1，所以（2xy）2（2yx）2=9，即x2y2=3，（12分）故曲線F的方程為x2y2=3（14分）17、解：（1）設(shè)4門考試成績得到“A”的次數(shù)為X，依題意，隨機(jī)變量XB（4，），則P（X2）=1P（X=0）P（X=1）=1=，故該同學(xué)至少得到兩個(gè)“A”的概率為（6分）（2）隨機(jī)變量Y的可能值為0，1，2，3，5，（7分）P（Y=0）=0=，P（Y=1）=，P（Y=2）=，P（Y=3）=，P（Y=5）=隨機(jī)變量Y的概率分布如下表所示Y01235P（12分）從而E（Y）=0+1+2+3+5=（14分）18、解：（1）觀察1+，1+，1+，1+，各不等式，得到與正整數(shù)n有關(guān)的一般不等式為1+且n2（6分）（2）以下用數(shù)學(xué)歸納法證明這個(gè)不等式當(dāng)n=2時(shí)，由題設(shè)可知，不等式顯然成立假設(shè)當(dāng)n=k時(shí)，不等式成立，即 1+ （8分）那么，當(dāng)n=k+1時(shí)，有 1+=所以當(dāng)n=k+1時(shí)，不等式也成立（14分）根據(jù)和，可知不等式對任何nN+且n2都成立（16分）19、解：（1）設(shè)正方形ABCD的中心為O，如圖建立空間直角坐標(biāo)系，則A（1，1，0），B（1，1，0），C（1，1，0），D（1，1，0），S（0，0，），P是SC的中點(diǎn)，P（，）（2分），設(shè)平面SBC的法向量=（x1，y1，z1），則，即，取=（0，1），cos=，（4分）故直線AP與平面SBC所成角的正弦值為（6分）（2）設(shè)平面SDC的法向量=（x2，y2，z2），則，即，取=（，0，1），cos，=，（9分）又二面角BSCD為鈍角二面角，故二面角BSCD大小的余弦值為（11分）（3）設(shè)Q（x，y，0），則，（12分）若PQ平面SDC，則，解得，（15分）但1，點(diǎn)Q不在正方形ABCD內(nèi)，故不存在滿足條件的點(diǎn)Q（16分）20、解：（1）因?yàn)椋?+x+x2）2=x4+2x3+3x2+2x+1，所以（2）類比二項(xiàng)式系數(shù)性質(zhì)（1mn，mN，nN），三項(xiàng)式系數(shù)有如下性質(zhì)：，（1m2n1）因?yàn)椋?+x+x2）n+1=（1+x+x2）（1+x+x2）n，所以（1+x+x2）n+1=（1+x+x2）（D+Dx+Dx2+Dxr+Dx2n1+Dx2n）上式左邊xm+1的系數(shù)為，而上式右邊xm+1的系數(shù)為，由（1+x+x2）n+1=（1+x+x2）（1+x+x2）n為恒等式，得：，（1m2n1）；（3）（1+x+x2）xx=Dx0Dx1+Dx2Dx3+Dxxx，（x1）xx=CxxxCxxx+Cxxx+C（1+x+x2）xx（x1）xx中xxx系數(shù)為DCDC+DCDC+DC，又（1+x+x2）xx（x1）xx=（x31）xx而二項(xiàng)式（x31）xx 的通項(xiàng)，因?yàn)閤x不是3的倍數(shù)，所以（x31）xx 的展開式中沒有xxx項(xiàng)，由代數(shù)式恒成立，得DCDC+DCDC+DC=0