第一章 不等關(guān)系與基本不等式,1 不等式的性質(zhì),1.回顧和復(fù)習(xí)比較兩個(gè)實(shí)數(shù)大小的幾何意義和代數(shù)意義. 2.靈活應(yīng)用比較法比較兩個(gè)實(shí)數(shù)的大小. 3.歸納不等式的基本性質(zhì),學(xué)會(huì)證明這些性質(zhì),并會(huì)利用不等式的性質(zhì)進(jìn)行變形和簡(jiǎn)單證明.,1.實(shí)數(shù)大小的比較 (1)作差比較法. aba-b0; aba-b0;a=ba-b=0. (2)作商比較法.,名師點(diǎn)撥1.比較兩個(gè)實(shí)數(shù)a,b的大小,可以轉(zhuǎn)化為比較a,b的差與0的大小,這種比較大小的方法稱為作差比較法.它的主要步驟是:(1)作差;(2)變形(分解因式、配方等);(3)判斷差的符號(hào);(4)下結(jié)論.其中最關(guān)鍵的是第(2)步,變形要有利于判斷差的符號(hào). 2.比較兩個(gè)實(shí)數(shù)a,b的大小,也可以轉(zhuǎn)化為比較a與b的商與1的大小,這種比較大小的方法稱為作商比較法.它的主要步驟是:(1)作商;(2)變形;(3)判斷商與1的大小關(guān)系;(4)下結(jié)論.其中最關(guān)鍵的是第(2)步,變形要有利于判斷商與1的大小關(guān)系,在第(4)步中要注意不等號(hào)的方向,不等號(hào)的方向受分母的符號(hào)的影響.,【做一做1-1】 比較大小:x2+3 3x(其中xR).填“”“”或“=”,答案:,【做一做1-2】 比較1816與1618的大小. 分析:兩個(gè)數(shù)是冪的形式,比較大小一般采用求商的方法.,2.不等式的性質(zhì) (1)性質(zhì)1:如果ab,那么bb. (2)性質(zhì)2:如果ab,bc,那么ac. (3)性質(zhì)3:如果ab,那么a+cb+c. 推論:如果ab,cd,那么a+cb+d . (4)性質(zhì)4:如果ab,c0,那么acbc;如果ab,cb0,cd0,那么acbd . 推論2:如果ab0,那么a2b2. 推論3:如果ab0,那么anbn(n為正整數(shù)).,名師點(diǎn)撥不等式的性質(zhì)是證明不等式和解不等式的理論基礎(chǔ),必須熟練掌握. 應(yīng)用不等式的性質(zhì)時(shí)要注意:(1)性質(zhì)成立的條件;(2)理清條件是充分條件,還是充要條件.,【做一做2-1】 若abc,則下列不等式成立的是( ),答案:B,【做一做2-2】 判斷下列命題的真假,并說明理由. (1)如果ab,那么a-cb-c;,分析:從不等式的性質(zhì)找依據(jù),與性質(zhì)相符的為真命題,與性質(zhì)不相符的為假命題. 解:(1)真命題.理由:根據(jù)不等式的性質(zhì)3,由ab,可得a+(-c)b+(-c),即a-cb-c.,題型一,題型二,題型三,題型一 利用求差法比較大小 【例1】 比較(a+3)(a-5)與(a+2)(a-4)的大小. 分析:此題為兩個(gè)代數(shù)式比較大小,可先作差,再展開,合并同類項(xiàng),最后判斷差值的正負(fù). 解:由題意,作差得 (a+3)(a-5)-(a+2)(a-4) =(a2-2a-15)-(a2-2a-8) =-70, 故(a+3)(a-5)(a+2)(a-4). 反思利用求差法比較大小,實(shí)際上是把比較兩數(shù)大小的問題轉(zhuǎn)化為數(shù)的運(yùn)算符號(hào)問題.作差時(shí),只需看差的符號(hào)即可,至于差的值究竟是多少?zèng)]有影響.,題型一,題型二,題型三,【變式訓(xùn)練1】 比較x2-x與x-2的大小. 解:(x2-x)-(x-2)=x2-2x+2=(x-1)2+1. (x-1)20, (x-1)2+10, 即(x2-x)-(x-2)0, x2-xx-2.,題型一,題型二,題型三,題型二 利用求商法比較大小 【例2】 已知abc0,比較a2ab2bc2c與ab+cbc+aca+b的大小. 分析:用求差法比較大小不易變形,所以用求商法比較大小.,題型一,題型二,題型三,反思用求商法比較兩個(gè)式子的大小時(shí),變形要向著有利于判斷商與1的大小關(guān)系的方向進(jìn)行,這是最重要的一步.,題型一,題型二,題型三,【變式訓(xùn)練2】 設(shè)a,bR+,且ab,試比較aabb與abba的大小.,題型一,題型二,題型三,題型三 利用不等式的性質(zhì)證明不等式,分析:利用不等式的性質(zhì),將已知等式進(jìn)行適當(dāng)變形,注意符號(hào)的變化.,題型一,題型二,題型三,反思在證明不等式時(shí),往往需要綜合使用不等式的性質(zhì)和比例的性質(zhì),使式子間轉(zhuǎn)換更迅速.如本題,不僅有不等式性質(zhì)應(yīng)用的信息,更有比例性質(zhì)應(yīng)用的信息.因此這道題既要重視不等式性質(zhì)的運(yùn)用技巧,也要重視比例性質(zhì)的運(yùn)用技巧.,題型一,題型二,題型三,1,2,3,4,5,1若ab0,則下列各式中恒成立的是( ),答案:B,1,2,3,4,5,2若abc,則下列不等式中一定成立的是( ) A.a|c|b|c| B.abac C.a-|c|b-|c| 解析:選項(xiàng)A需要c0,選項(xiàng)B需要a0,選項(xiàng)D需要a,b,c同號(hào). 答案:C,1,2,3,4,5,3若aabab2 B.ab2aba C.abaab2 D.abab2a 解析:a0,b-10,00, ab-a=a(b-1)0.aba. ab-ab2=ab(1-b)0,abab2. 又a-ab2=a(1-b2)ab2a. 答案:D,1,2,3,4,5,4設(shè)a1,-1-bb-a,-ab0,且|b|-ab-bb-a. 答案:a-ab-bb-a,1,2,3,4,5,