二用數(shù)學(xué)歸納法證明不等式舉例,與正整數(shù)n有關(guān)的幾個不等式(1)當(dāng)nN+,n5時,n2-1,x0,n為大于1的自然數(shù),那么有(1+x)n>1+nx.當(dāng)是實數(shù),并且滿足>1或者-1);當(dāng)是實數(shù),并且滿足0-1).(4)如果n(n為正整數(shù))個正數(shù)a1,a2,an的乘積a1a2an=1,那么它們的和a1+a2+ann.,思考辨析判斷下列說法是否正確,正確的在后面的括號內(nèi)畫“”,錯誤的畫“”.(1)若nN+,且n2-1,x0,則(1+x)4>1+4x.(),探究一,探究二,規(guī)范解答,利用數(shù)學(xué)歸納法證明不等式分析：找準(zhǔn)n0,看左邊是多少項,從n=k到n=k+1時添了什么項,少了什么項,根據(jù)n=k時的假設(shè),從而證明當(dāng)n=k+1時不等式成立.,探究一,探究二,規(guī)范解答,當(dāng)n=k+1時,不等式也成立.由(1)(2)可知,對一切的n2,且nN+,不等式都成立.,探究一,探究二,規(guī)范解答,反思感悟數(shù)學(xué)歸納法證明不等式的技巧1.證明不等式時,由n=k到n=k+1時的推證過程與證明等式有所不同,由于不等式中的不等關(guān)系,需要我們在證明時,對原式進(jìn)行“放大”或者“縮小”才能使用到n=k時的假設(shè),因此需要認(rèn)真分析,適當(dāng)放縮,才能使問題簡單化,這是利用數(shù)學(xué)歸納法證明不等式時常用的方法之一.2.數(shù)學(xué)歸納法的應(yīng)用通常需要與數(shù)學(xué)的其他方法聯(lián)系在一起,如比較法、放縮法、配湊法、分析法和綜合法等,才能完成證明過程.,探究一,探究二,規(guī)范解答,探究一,探究二,規(guī)范解答,利用數(shù)學(xué)歸納法證明數(shù)列中的不等式問題,分析：證明當(dāng)n=k+1時不等式成立的關(guān)鍵是利用好n=k成立時的假設(shè),以及當(dāng)n=k+1時不等式的恰當(dāng)變形.,探究一,探究二,規(guī)范解答,探究一,探究二,規(guī)范解答,反思感悟利用數(shù)學(xué)歸納法證明數(shù)列中的不等式問題的基本策略1.首先掌握好數(shù)學(xué)歸納法證明問題的基本步驟以及數(shù)列的有關(guān)知識,這是解決這類問題的基礎(chǔ).2.這類題型通常與數(shù)列的遞推公式、通項公式有關(guān),有時要證明的式子是直接給出,有時是根據(jù)條件從前幾項入手,通過觀察、猜想,歸納出一個式子,然后再用數(shù)學(xué)歸納法證明.證明過程中,注意遞推關(guān)系式的利用以及正整數(shù)n的性質(zhì).,探究一,探究二,規(guī)范解答,探究一,探究二,規(guī)范解答,不等式中的歸納、猜想、證明問題典例設(shè)f(n)=nn+1,g(n)=(n+1)n,nN+.(1)當(dāng)n=1,2,3,4時,比較f(n)與g(n)的大小.(2)根據(jù)(1)的結(jié)果猜測一個一般性結(jié)論,并加以證明.【審題策略】對于(1),可逐一計算進(jìn)行比較;對于(2),可在(1)的基礎(chǔ)上進(jìn)行歸納猜想,然后利用數(shù)學(xué)歸納法證明猜想.【規(guī)范展示】解(1)當(dāng)n=1時,nn+1=1,(n+1)n=2,所以f(1)g(3).當(dāng)n=4時,nn+1=1024,(n+1)n=625,所以f(4)>g(4).,探究一,探究二,規(guī)范解答,(2)由(1)可猜測,當(dāng)n3時f(n)>g(n).以下用數(shù)學(xué)歸納法證明該猜測.當(dāng)n=3時,nn+1=81,(n+1)n=64,所以f(3)>g(3).所以猜測成立;假設(shè)當(dāng)n=k(k3)時猜測成立,即f(n)>g(n),即(k+1)k+2>(k+2)k+1成立,亦即f(n+1)>g(n+1)成立.因此當(dāng)n=k+1時猜測成立.由知,當(dāng)n3時f(n)>g(n)成立.,探究一,探究二,規(guī)范解答,【答題模板】第1步:代入計算,逐一進(jìn)行比較,得出具體結(jié)論.第2步:進(jìn)行歸納猜想,得到一般性結(jié)論.第3步:證明初始值成立.第4步:假設(shè)當(dāng)n=k(k3)時,結(jié)論成立得到歸納假設(shè),并變形.第5步:證明n=k+1時結(jié)論成立.第6步:證得結(jié)論.,探究一,探究二,規(guī)范解答,失誤警示通過閱卷統(tǒng)計分析,發(fā)現(xiàn)造成失分的原因主要如下:(1)第一問數(shù)據(jù)計算失誤,得不出正確結(jié)果;(2)第二問中不能正確地利用歸納并猜想得出一般性結(jié)論;(3)用數(shù)學(xué)歸納法證明時,步驟不完整;(4)證明當(dāng)n=k+1時結(jié)論成立時,不能正確地進(jìn)行放縮,從而無法利用歸納假設(shè)致誤.,探究一,探究二,規(guī)范解答,12345,答案：C,12345,答案：C,12345,答案：8,12345,因此當(dāng)n=k+1時不等式成立.故原不等式對一切n2,nN+均成立.,12345,5.對于一切正整數(shù)n,先猜出使tn>n2成立的最小自然數(shù)t,然后用數(shù)學(xué)歸納法證明,并證明不等式n(n+1)>lg(123n).,解：猜想當(dāng)t=3時,對一切正整數(shù)n,使3n>n2成立.證明:當(dāng)n=1時,31=3>1=12,不等式成立.假設(shè)當(dāng)n=k(k1)時,3k>k2成立,即3kk2+1.當(dāng)n=k+1時,3k+1=33k=3k+23k>k2+2(k2+1)>3k2+1(k1).(3k2+1)-(k+1)2=2k2-2k=2k(k-1)0,3k+1>(k+1)2.當(dāng)n=k+1時不等式成立.由上知,不等式3n>n2對一切正整數(shù)nN+都成立.,12345,