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2019-2020年高中數(shù)學 初高中銜接教程 第六講 圓練習 新人教版 一、知識歸納 1、證明四點共圓的方法有： （1）到一定點的距離相等的點在同一個圓上 （2）同斜邊的直角三角形的各頂點共圓 （3）線段同旁張角相等，則四點共圓。 （4）若一個四邊形的一組對角再互補，那么它的四個頂點共圓 （5）若四邊形的一個外角等于它的內對角，那么它的四個頂點共圓 （6）四邊形ABCD對角線相交于點P，若PAPC＝PBPD，則它的四個頂點共圓 （7）四邊形ABCD的一組對邊AB、DC的延長線交于點P，若，則它的四個頂點共圓。 2、圓冪定理 二、例題講解 例1：如圖，設AB為圓的直徑，過點A在AB的同側作弦AP、AQ交B處的切線于R、S，求證：P、Q、S、R同點共圓。 A B Q S R P A D C O E B 例2：圓內接四邊形ABCD，O為AB上一點，以O為圓心的半圓與BC，CD，DA相切，求證：AD＋BC＝AB 例3：如圖，設A為⊙O外一點，AB， AC和⊙O分別切于B，C兩點，APQ為⊙O 的一條割線，過點B作BR//AQ交⊙O于點R， 連結CR交AO于點M，試證：A，B，C，O，M五點共圓。 例4：如圖，PA切⊙O于A，割線PBC交⊙O于B，C兩點，D為PC中點，且AD延長線交⊙O于點E，又,求證：（1）PA＝PD；（2）. A P B D O E C 例5：如圖，PA，PB是⊙O的兩條切線，PEC是一條割線，D是AB與PC的交點，A C D P O H E B 若PE長為2，CD＝1，求DE的長度。 三、課堂練習 1、如圖，已知點P在⊙O外一點，PS，PT是⊙O的兩條切線，過點P作⊙O的割線PAB，交⊙O于A，B兩點，并交ST于點C，求證： S B D P O A C T A B G P C O M R 2、如圖，A是⊙O外一點，AB、AC和⊙O分別切于點B、C，APQ為⊙O的一條割線，過B作BR//AQ交⊙O于R，連CR交AQ于M。 試證：A，B，C，O，M五點共圓。 3、設⊙O1、⊙O2、⊙O3兩兩外切，M是⊙O1、⊙O2的切點，R、S分別是⊙O1、⊙O2與⊙O3的切點，連心線交⊙O1于P，⊙O2于Q，求證：P、Q、R、S四點共圓。 P R Q S O1 O3 O2 第六講　圓 例題講解答案 A B Q S R P 例1：證明：連PQ、QB內四邊形ABQP內接于圓 ∴∠QBA＝∠RPQ 又∵SB為切線，AB為直徑 ∴∠ABS＝∠AQB＝90，故∠QBA＝∠QSB ∴∠RPQ＝∠QSB A D C O E B ∴P、Q、S、R四點共圓 例2：解：在AB上截取BE＝BC，連結OC，OD，DE，CE。 ∴∠BEC＝（180－∠B） ∵ABCD內接于圓， ∴180－∠B＝∠ADC ∴∠BEC＝∠ADC 又DA，DC為半圓切線， ∴∠ADC＝∠ADO＝∠ODC ∴∠BEC＝∠ODC，即C、E、O、D四點共圓。 ∴∠AED＝∠OCD＝∠BCD＝（180－∠A）， ∴∠ADE＝180－∠A－∠AED＝180－∠A－（180－∠A）＝（180－∠A） A B G P C O M Q ∴∠ADE＝∠AED， ∴AD＝AE ∴AB＝AE＋BE＝AD＋BC。 例3：解答：連接OB,OC,BC，則OB⊥AB,OC⊥AC, ∴A，B，O，C四點共圓，∵BR//AQ， ∵∠GBR=∠BAQ,而∠GBR=∠BCR, ∴∠BAQ=∠BCR,即∠BAM=∠BCM,∴A,B,M，C四點共圓，但A，B，C三點確定一個圓， ∴A，B，C，O，M五點共圓。 例4：解：（1）連接AB A P B D O E C ∵∵ ∵∠E＝∠F ∴△BDE∽△ABE，∴∠DBE＝∠BAD ∵PA切⊙O于點A，∴∠E＝∠PAB ∴∠DBE+∠E＝∠BAD+∠PAB ∴∠PAD＝∠BDA，PD＝PA （2）∵PA切⊙O于點A，∴ ∵D為PC中點，∴PC＝2PD，∵PD＝PA， ∴,∴DP＝2PB， ∴B為PD中點，DC＝2BD，∴ 例5：解答：連PO交AB于H，設DE＝x，則， 在Rt△APH中， A C D P O H E B ∴　　　　　　　　　?、? 在Rt△PHD中， ② 由相交弦定理，知 而 ∴　　　　　　　　　　　?、? 由①②③可知，， ∴DE＝ 課堂練習答案：略