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2019-2020年高中數(shù)學(xué) 初高中銜接教材 第一講 數(shù)與式的運(yùn)算 在初中，我們已學(xué)習(xí)了實(shí)數(shù)，知道字母可以表示數(shù)用代數(shù)式也可以表示數(shù)，我們把實(shí)數(shù)和代數(shù)式簡稱為數(shù)與式．代數(shù)式中有整式（多項(xiàng)式、單項(xiàng)式）、分式、根式．它們具有實(shí)數(shù)的屬性，可以進(jìn)行運(yùn)算．在多項(xiàng)式的乘法運(yùn)算中，我們學(xué)習(xí)了乘法公式（平方差公式與完全平方公式），并且知道乘法公式可以使多項(xiàng)式的運(yùn)算簡便．由于在高中學(xué)習(xí)中還會(huì)遇到更復(fù)雜的多項(xiàng)式乘法運(yùn)算，因此本節(jié)中將拓展乘法公式的內(nèi)容，補(bǔ)充三個(gè)數(shù)和的完全平方公式、立方和、立方差公式．在根式的運(yùn)算中，我們已學(xué)過被開方數(shù)是實(shí)數(shù)的根式運(yùn)算，而在高中數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中，經(jīng)常會(huì)接觸到被開方數(shù)是字母的情形，但在初中卻沒有涉及，因此本節(jié)中要補(bǔ)充．基于同樣的原因，還要補(bǔ)充“繁分式”等有關(guān)內(nèi)容． 一、乘法公式 【公式1】 證明： 等式成立 【例1】計(jì)算： 解：原式= 說明：多項(xiàng)式乘法的結(jié)果一般是按某個(gè)字母的降冪或升冪排列． 【公式2】(立方和公式) 證明: 說明:請(qǐng)同學(xué)用文字語言表述公式2. 【例2】計(jì)算： 解：原式= 我們得到： 【公式3】(立方差公式) 請(qǐng)同學(xué)觀察立方和、立方差公式的區(qū)別與聯(lián)系，公式1、2、3均稱為乘法公式． 【例3】計(jì)算： （1） （2） （3） （4） 解：（1）原式= （2）原式= （3）原式= （4）原式= 說明：（1）在進(jìn)行代數(shù)式的乘法、除法運(yùn)算時(shí)，要觀察代數(shù)式的結(jié)構(gòu)是否滿足乘法公式的結(jié)構(gòu)． （2）為了更好地使用乘法公式，記住1、2、3、4、…、20的平方數(shù)和1、2、3、4、…、10的立方數(shù)，是非常有好處的． 【例4】已知，求的值． 解： 原式= 說明：本題若先從方程中解出的值后，再代入代數(shù)式求值，則計(jì)算較煩瑣．本題是根據(jù)條件式與求值式的聯(lián)系，用整體代換的方法計(jì)算，簡化了計(jì)算．請(qǐng)注意整體代換法．本題的解法，體現(xiàn)了“正難則反”的解題策略，根據(jù)題求利用題知，是明智之舉． 【例5】已知，求的值． 解： 原式= ① ②，把②代入①得原式= 說明：注意字母的整體代換技巧的應(yīng)用． 引申：同學(xué)可以探求并證明： 二、根式 式子叫做二次根式，其性質(zhì)如下： (1) (2) (3) (4) 【例6】化簡下列各式： (1) (2) 解：(1) 原式= (2) 原式= 說明：請(qǐng)注意性質(zhì)的使用：當(dāng)化去絕對(duì)值符號(hào)但字母的范圍未知時(shí)，要對(duì)字母的取值分類討論． 【例7】計(jì)算(沒有特殊說明，本節(jié)中出現(xiàn)的字母均為正數(shù))： (1) (2) (3) 解：(1) 原式= (2) 原式= (3) 原式= 說明：(1)二次根式的化簡結(jié)果應(yīng)滿足：①被開方數(shù)的因數(shù)是整數(shù)，因式是整式；②被開方數(shù)不含能開得盡方的因數(shù)或因式． (2)二次根式的化簡常見類型有下列兩種：①被開方數(shù)是整數(shù)或整式．化簡時(shí)，先將它分解因數(shù)或因式，然后把開得盡方的因數(shù)或因式開出來；②分母中有根式(如)或被開方數(shù)有分母(如)．這時(shí)可將其化為形式(如可化為) ，轉(zhuǎn)化為 “分母中有根式”的情況．化簡時(shí)，要把分母中的根式化為有理式，采取分子、分母同乘以一個(gè)根式進(jìn)行化簡．(如化為，其中與叫做互為有理化因式)． 【例8】計(jì)算： (1) (2) 解：(1) 原式= (2) 原式= 說明：有理數(shù)的的運(yùn)算法則都適用于加法、乘法的運(yùn)算律以及多項(xiàng)式的乘法公式、分式二次根式的運(yùn)算． 【例9】設(shè)，求的值． 解： 原式= 說明：有關(guān)代數(shù)式的求值問題：(1)先化簡后求值；(2)當(dāng)直接代入運(yùn)算較復(fù)雜時(shí)，可根據(jù)結(jié)論的結(jié)構(gòu)特點(diǎn)，倒推幾步，再代入條件，有時(shí)整體代入可簡化計(jì)算量． 三、分式 當(dāng)分式的分子、分母中至少有一個(gè)是分式時(shí)，就叫做繁分式，繁分式的化簡常用以下兩種方法：(1) 利用除法法則；(2) 利用分式的基本性質(zhì)． 【例10】化簡 解法一：原式= 解法一：原式= 說明：解法一的運(yùn)算方法是從最內(nèi)部的分式入手，采取通分的方式逐步脫掉繁分式，解法二則是利用分式的基本性質(zhì)進(jìn)行化簡．一般根據(jù)題目特點(diǎn)綜合使用兩種方法． 【例11】化簡 解：原式= 說明：(1) 分式的乘除運(yùn)算一般化為乘法進(jìn)行，當(dāng)分子、分母為多項(xiàng)式時(shí)，應(yīng)先因式分解再進(jìn)行約分化簡；(2) 分式的計(jì)算結(jié)果應(yīng)是最簡分式或整式． 練 習(xí) A 組 1．二次根式成立的條件是( ) A． B． C． D．是任意實(shí)數(shù) 2．若，則的值是( ) A．－３ B．３ C．－９ D．９ 3．計(jì)算： (1) (2) (3) (4) 4．化簡(下列的取值范圍均使根式有意義)： (1) (2) (3) (4) 5．化簡： (1) (2) B 組 1．若，則的值為( )： A． B． C． D． 2．計(jì)算： (1) (2) 3．設(shè)，求代數(shù)式的值． 4．當(dāng)，求的值． 5．設(shè)、為實(shí)數(shù)，且，求的值． 6．已知，求代數(shù)式的值． 7．設(shè)，求的值． 8．展開 9．計(jì)算 10．計(jì)算 11．化簡或計(jì)算： (1) (2) (3) (4) 第一講 習(xí)題答案 A組 1． C 2． A 3． (1) (2) (3) (4) 4． 5． B組 1． D 2． 3． 4． 5． 6． 3 7． 8． 9． 10． 11．