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2019-2020年高中數(shù)學(xué) 第二章《推理與證明》單元檢測 蘇教版選修2-2 一、知識點梳理 二、學(xué)法指導(dǎo) 1．推理與證明是數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)思維過程，也是人們學(xué)習(xí)和生活中經(jīng)常使用的思維方式，推理一般包括合情推理與演繹推理，在解決問題的過程中，合情推理具有猜測結(jié)論和發(fā)現(xiàn)結(jié)論、探索和提供思路的作用，有利于創(chuàng)新意識的培養(yǎng)．證明包括直接證明與間接證明，其中數(shù)學(xué)歸納法是將無窮的歸納過程，根據(jù)歸納原理轉(zhuǎn)化為有限的特殊(直接驗證和演繹推理相結(jié)合)的過程，要很好地掌握其原理并靈活運用． 2．推理與證明問題綜合了函數(shù)、方程、不等式、解析幾何與立體幾何等多個知識點，需要采用多種數(shù)學(xué)方法才能解決問題，如：函數(shù)與方程思想、化歸思想、分類討論思想等，對學(xué)生的知識與能力要求較高，是對學(xué)生思維品質(zhì)和邏輯推理能力，表述能力的全面考查，可以彌補客觀題的不足，是提高區(qū)分度，增強選拔功能的重要題型，因此在高考試題中，推理與證明問題正在成為一個熱點題型．高考的“推理與證明”一般不單獨設(shè)題，主要和其他知識結(jié)合在一起，屬于綜合題，可以綜合在諸如立體幾何、解析幾何、數(shù)列、函數(shù)、不等式等內(nèi)容中，既有計算又有證明，解決此類題目時，要建立合理的解題思路，對典型的證明方法一定要掌握． (1)在“推理與證明”的內(nèi)容中，合情推理是根據(jù)已有的事實和正確的結(jié)論(包括定義、公理、定理等)、實驗和實踐的結(jié)果，以及個人的經(jīng)驗和直覺等推測某些結(jié)果的推理過程，歸納和類比是合情推理常用的思維方法．在解決問題的過程中，合情推理具有猜測和發(fā)現(xiàn)結(jié)論、探索和提供思路的作用，有得于創(chuàng)新意識的培養(yǎng)．合情推理一般以客觀題的形式出現(xiàn)． 演繹推理是根據(jù)已有的事實和正確的結(jié)論，按照嚴(yán)格的邏輯法則得到的新結(jié)論的推理過程，是邏輯思維能力的一個重要體現(xiàn)，試題中考查該部分內(nèi)容的比例較大，命題時既可以使用填空題的形式，又可以在解答題型中，以證明題的形式進(jìn)行考查，立體幾何是考查“演繹推理”的最好教材． (2)“直接證明和間接證明”在高考中一般也不會直接命題，仍然是以其他知識為載體，在考查其他知識的同時，考查本部分內(nèi)容，是每年高考的考查重點，幾乎涉及數(shù)學(xué)的各方面知識，代表著研究性命題的發(fā)展趨勢，填空題、解答題都可能涉及．該部分命題的方向主要在函數(shù)、三角恒等變換、數(shù)列、立體幾何、解析幾何等方面，主要以考查“直接證明”中的綜合法為主． (3)運用數(shù)學(xué)歸納法證明問題時，關(guān)鍵是n＝k＋1時命題成立的推證，此步證明要具有目標(biāo)意識，注意與最終要達(dá)到的解題目標(biāo)進(jìn)行分析比較，以此確定和調(diào)控解題的方向，使差異逐步減小，最終實現(xiàn)目標(biāo)，完成解題．由于“數(shù)學(xué)歸納法”僅限于與自然數(shù)有關(guān)的命題，故單獨命題的可能性不大，多數(shù)以數(shù)列及不等式為載體來綜合考查．高考常見的題型有：證明等式問題、證明不等式問題、證明整除問題和解決數(shù)列中的探究性問題等，但不排除在客觀題中考查數(shù)學(xué)歸納法的原理和證明步驟． 三、單元自測 （一）填空題(每小題5分，共70分) 1．下面說法正確的個數(shù)是____ ．　 (1)演繹推理是由一般到特殊的推理；(2)演繹推理得到的結(jié)論一定是正確的；(3)演繹推理一般模式是“三段論”形式；(4)演繹推理的結(jié)論的正誤與大前提、小前提和推理形式有關(guān) 2．命題：“有些有理數(shù)是分?jǐn)?shù)，整數(shù)是有理數(shù)，則整數(shù)是分?jǐn)?shù)”結(jié)論是錯誤的，其原因是____． 3．在數(shù)列中，，則 4．已知是R上的偶函數(shù)，對任意的都有成立，若，則_______ ．　 5．已知函數(shù)，若，則_______ ．　 6． 若， 則____ ． 7．函數(shù)，若 則的所有可能值為________ ． 8．設(shè)則的最小值是______ ． 9．已知實數(shù)，且函數(shù)有最小值，則=__________． 10．已知是不相等的正數(shù)，，則的大小關(guān)系是_________． 11．若正整數(shù)滿足，則 12．若數(shù)列中，，則． 13．若等差數(shù)列的前項和公式為， 則=_______，首項=_______；公差=_______． 14．若，則． （二）解答題 15．(本題14分)若數(shù)列的通項公式，記 ，試通過計算的值，推測出． 16．(本題14分) 設(shè)函數(shù)中，均為整數(shù)，且均為奇數(shù)． 求證：無整數(shù)根． 17．(本題14分)的三個內(nèi)角成等差數(shù)列，求證：． 18．(本題16分)計算：． 19．(本題16分)設(shè)函數(shù)f(x)是滿足不等式 (k∈N*)的自然數(shù)x的個數(shù)， (1)求f(x)的解析式； (2)記Sn=f(1)＋f(2)＋…＋f(n)，求Sn的解析式； (3)令Pn=n2＋n－1 (n∈N* )，試比較Sn與Pn的大?。? 20．(本題16分)已知數(shù)列{an}滿足Sn＋an＝2n＋1， (1) 寫出a1， a2， a3，并推測an的表達(dá)式； (2) 用數(shù)學(xué)歸納法證明所得的結(jié)論． 單元自測 1. 3 2. 大前提錯誤 3. 4. 0 5. 6.89 7. ，當(dāng)時，； 當(dāng)時， 8. －3 令 9. 有最小值，則，對稱軸， 即 10. 11. 12. 前項共使用了個奇數(shù)，由第個到第個奇數(shù)的和組成，即 13. ，其常數(shù)項為，即 ， 14. 而 15. ………………………………14分 16. 假設(shè)有整數(shù)根n 則………………………………4分 而均為奇數(shù)，即為奇數(shù)，為偶數(shù)，……………………………6分 則同時為奇數(shù)或同時為偶數(shù)，為奇數(shù)，………………………………8分 當(dāng)為奇數(shù)時，為偶數(shù)； 當(dāng)為偶數(shù)時，也為偶數(shù)，即為奇數(shù)， 與矛盾。……………………12分 無整數(shù)根?！?4分 17. 要證原式，只要證 即只要證而 ………………………………14分 18. 解： ………………………………16分 19. （1）解不等式得：2k-1≤x≤2k，自然數(shù)的個數(shù)為：2k -2k-1+1=2k-1+1， f(x)的解析式為: f(x)= 2x-1+1； ……………………………5分 (2) Sn=f(1)+f(2)+…+f(n)= 20 +21+22 +…+2n-1+n=2n+n-1；…………………10分 (3)比較2n與n2的大小，（證明略） 當(dāng)n=2,4時, Ｓn=Ｐn；當(dāng)n=3時，Ｓn<Ｐn；當(dāng)n=1,n≥5 (n∈N+)時Ｓn>Ｐn ………………………………16分 20. (1) a1＝, a2＝, a3＝, 猜測 an＝2－ …………………6分 (2) ①由（1）已得當(dāng)n＝1時，命題成立； ………………………………8分 ②假設(shè)n＝k時,命題成立，即 ak＝2－, 當(dāng)n＝k＋1時, a1＋a2＋…＋ak＋ak＋1＋ak＋1＝2(k＋1)＋1, 且a1＋a2＋…＋ak＝2k＋1－ak ∴2k＋1－ak＋2ak＋1＝2(k＋1)＋1＝2k＋3, ∴2ak＋1＝2+ ak =2＋2－, ak＋1＝2－, 即當(dāng)n＝k＋1時,命題成立。 ………………………………14分 根據(jù)①②得對于n∈N+ ，an＝2－都成立……………………………16分