2019-2020年高中數(shù)學(xué) 要點(diǎn)講解 回歸分析 北師大版選修2-3回歸直線：如果散點(diǎn)圖中點(diǎn)的分布從整體上看大致在一條直線附近，我們就稱這兩個(gè)變量之間具有線性相關(guān)關(guān)系，這條直線叫作回歸直線.求回歸直線方程的一般步驟：作出散點(diǎn)圖（由樣本點(diǎn)是否呈條狀分布來判斷兩個(gè)量是否具有線性相關(guān)關(guān)系），若存在線性相關(guān)關(guān)系求回歸系數(shù) 寫出回歸直線方程 ，并利用回歸直線方程進(jìn)行預(yù)測說明.2.回歸分析：對具有相關(guān)關(guān)系的兩個(gè)變量進(jìn)行統(tǒng)計(jì)分析的一種常用方法.建立回歸模型的基本步驟是：確定研究對象，明確哪個(gè)變量是解釋變量，哪個(gè)變量是預(yù)報(bào)變量；畫好確定好的解釋變量和預(yù)報(bào)變量的散點(diǎn)圖，觀察它們之間的關(guān)系（線性關(guān)系）.由經(jīng)驗(yàn)確定回歸方程的類型.按一定規(guī)則估計(jì)回歸方程中的參數(shù) （最小二乘法）；得出結(jié)論后在分析殘差圖是否異常，若存在異常，則檢驗(yàn)數(shù)據(jù)是否有誤，后模型是否合適等. 3.利用統(tǒng)計(jì)方法解決實(shí)際問題的基本步驟：提出問題；收集數(shù)據(jù)；分析整理數(shù)據(jù)；進(jìn)行預(yù)測或決策.4.殘差變量e 的主要來源：用線性回歸模型近似真實(shí)模型（真實(shí)模型是客觀存在的，通常我們并不知道真實(shí)模型到底是什么）所引起的誤差.可能存在非線性的函數(shù)能夠更好地描述y 與x 之間的關(guān)系，但是現(xiàn)在卻用線性函數(shù)來表述這種關(guān)系，結(jié)果就會(huì)產(chǎn)生誤差.這種由于模型近似所引起的誤差包含在e 中.忽略了某些因素的影響.影響變量y 的因素不只變量x 一個(gè)，可能還包含其他許多因素（例如在描述身高和體重關(guān)系的模型中，體重不僅受身高的影響，還會(huì)受遺傳基因、飲食習(xí)慣、生長環(huán)境等其他因素的影響），但通常它們每一個(gè)因素的影響可能都是比較小的，它們的影響都體現(xiàn)在e 中.觀測誤差.由于測量工具等原因，得到的y 的觀測值一般是有誤差的（比如一個(gè)人的體重是確定的數(shù)，不同的秤可能會(huì)得到不同的觀測值，它們與真實(shí)值之間存在誤差），這樣的誤差也包含在e 中.上面三項(xiàng)誤差越小，說明我們的回歸模型的擬合效果越好.名師要點(diǎn)解析例1研究某灌溉渠道水的流速 與水深 之間的關(guān)系，測得一組數(shù)據(jù)如下：水深x/m1.401.501.601.701.801.902.002.10流速y/(m/s)1.701.791.881.952.032.102.162.21（1）求y對x的回歸直線方程；（2）預(yù)測水深為1.95m時(shí)水的流速是多少？【分析】 本題考查如何求回歸直線的方程，可先把有關(guān)數(shù)據(jù)用散點(diǎn)圖表示出來，若這些點(diǎn)大致分布在通過散點(diǎn)圖中心的一條直線附近，說明這兩個(gè)變量線性相關(guān)，從而可利用我們學(xué)過的最小二乘估計(jì)思想及計(jì)算公式求得線性回歸直線方程.【解】（1）由于問題中要求根據(jù)水深預(yù)報(bào)水的流速，因此選取水深為解釋變量，流速為預(yù)報(bào)變量，作散點(diǎn)圖：由圖容易看出，x與y之間有近似的線性關(guān)系，或者說，可以用一個(gè)回歸直線方程 來反映這種關(guān)系.由計(jì)算器求得 .對x的回歸直線方程為 .（2）由（1）中求出的回歸直線方程，把x=1.95代入，易得 .計(jì)算結(jié)果表示，當(dāng)水深為1.95m,時(shí)可以預(yù)測渠水的流速為2.12m/s.【點(diǎn)評】建立回歸模型的一般步驟：（1）確定研究對象，明確兩個(gè)變量即解釋變量和預(yù)報(bào)變量；（2）畫出散點(diǎn)圖，觀察它們之間的關(guān)系；（3）由經(jīng)驗(yàn)確定回歸方程類型（若呈線性關(guān)系，選用線性回歸方程）；（4）按一定規(guī)則估計(jì)回歸方程中的參數(shù)（如最小二乘法）；（5）得出結(jié)果后分析殘差圖是否有異常（個(gè)別數(shù)據(jù)對應(yīng)殘差過大，或殘差出現(xiàn)不隨機(jī)的規(guī)律性，等等），若存在異常，則檢查數(shù)據(jù)是否有誤，或模型是否合適等.例2電容器充電后，電壓達(dá)到 ,然后開始放電，由經(jīng)驗(yàn)知道，此后電壓 隨時(shí)間 變化的規(guī)律公式 表示，觀測得時(shí)間 時(shí)的電壓 如下表所示：012345678910100755540302015101055試求電壓 對時(shí)間 的回歸方程.【分析】由于兩個(gè)變量不呈線性相關(guān)關(guān)系，所以不能直接利用線性回歸方程來建立兩個(gè)變量之間的關(guān)系，我們可通過對數(shù)變換把指數(shù)關(guān)系變?yōu)榫€性關(guān)系，通過線性回歸模型來建立 與 之間的非線性回歸方程.【解】對 兩邊取自然對數(shù)得 ，令 ,即.由所給數(shù)據(jù)可得0123456789104.64.34.03.93.42.92.72.32.31.61.6其散點(diǎn)圖為：由散點(diǎn)圖可知 與 具有線性相關(guān)關(guān)系，可用 來表示.經(jīng)計(jì)算得： （最小二乘法）， ，即 .所以， .【點(diǎn)評】一般地，有些非線性回歸模型通過變換可以轉(zhuǎn)化為線性回歸模型，即借助于線性回歸模型研究呈非線性回歸關(guān)系的兩個(gè)變量之間的關(guān)系：（1）如果散點(diǎn)圖中的點(diǎn)分布在一個(gè)直線狀帶形區(qū)域，可以選用線性回歸模型來建模；（2）如果散點(diǎn)圖中的點(diǎn)的分布在一個(gè)曲線狀帶形區(qū)域，要先對變量作適當(dāng)?shù)淖儞Q，再利用線性回歸模型來建模.