2019-2020年高考數(shù)學(xué)5年真題備考題庫 第三章 第7節(jié) 正弦定理和余弦定理 理（含解析）1(xx課標(biāo)，16,5分)已知a，b，c分別為ABC的三個(gè)內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊，a2，且(2b)(sin Asin B)(cb)sin C，則ABC面積的最大值為_解析：由正弦定理得(2b)(ab)(cb)c，即(ab)(ab)(cb)c，即b2c2a2bc，所以cos A，又A(0，)，所以A，又b2c2a2bc2bc4，即bc4，故SABCbcsin A4，當(dāng)且僅當(dāng)bc2時(shí)，等號(hào)成立，則ABC面積的最大值為.答案：2(xx福建，12,4分)在ABC中，A60，AC4，BC2，則ABC的面積等于_解析：法一：在ABC中，根據(jù)正弦定理，得，所以，解得sin B1，因?yàn)锽(0，120)，所以B90，所以C30，所以ABC的面積SABCACBCsin C2.法二：在ABC中，根據(jù)正弦定理，得，所以，解得sin B1，因?yàn)锽(0，120)，所以B90，所以AB2，所以ABC的面積SABCABBC2.答案：23(xx天津，12,5)在ABC中，內(nèi)角A，B，C所對(duì)的邊分別是a，b，c.已知bca,2sin B3sin C，則cos A的值為_解析：由已知及正弦定理，得2b3c，因?yàn)閎ca，不妨設(shè)b3，c2，所以a4，所以cos A.答案：4(xx江蘇，14,5分)若ABC的內(nèi)角滿足sin Asin B2sin C，則cos C的最小值是_解析：由正弦定理可得ab2c，又cos C，當(dāng)且僅當(dāng)ab時(shí)取等號(hào)，所以cos C的最小值是.答案：5(xx遼寧，17,12分)在ABC中，內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，且a>c.已知2，cos B，b3.求：(1)a和c的值；(2)cos(BC)的值解：(1)由2得cacos B2，又cos B，所以ac6.由余弦定理，得a2c2b22accos B.又b3，所以a2c292213.解，得a2，c3或a3，c2.因a>c，所以a3，c2.(2)在ABC中，sin B，由正弦定理，得sin Csin B.因ab>c，所以C為銳角，因此cos C.于是cos(BC)cos Bcos Csin Bsin C.6(xx湖南，18,12分)如圖，在平面四邊形ABCD中，AD1，CD2，AC(1)求cosCAD的值；(2)若cosBAD，sinCBA，求BC的長(zhǎng)解析：(1)如題圖，在ADC中，由余弦定理，得cosCAD.故由題設(shè)知，cosCAD.(2)如題圖，設(shè)BAC，則BADCAD.因?yàn)閏osCAD，cosBAD，所以sinCAD，sinBAD.于是sin sin(BADCAD)sinBADcosCADcosBADsinCAD.在ABC中，由正弦定理，.故BC3.7(xx課標(biāo)，4,5分)鈍角三角形ABC的面積是，AB1，BC，則AC()A5 B.C2 D1解析：選B由題意可得ABBCsin B，又AB1，BC，所以sin B，所以B45或B135.當(dāng)B45時(shí)，由余弦定理可得AC1，此時(shí)ACAB1，BC，易得A90，與“鈍角三角形”條件矛盾，舍去所以B135.由余弦定理可得AC .8(xx江西，4,5分)在ABC中，內(nèi)角A，B，C所對(duì)的邊分別是a，b，c.若c2(ab)26，C，則ABC的面積是()A3 B.C. D3解析：選C由c2(ab)26可得a2b2c22ab6.由余弦定理及C可得a2b2c2ab.所以由得2ab6ab，即ab6.所以SABCabsin6.9(xx重慶，10,5分)已知ABC的內(nèi)角A，B，C滿足sin 2Asin(ABC)sin(CAB)，面積滿足1S2，記a，b，c分別為A，B，C所對(duì)的邊，則下列不等式一定成立的是()Abc(bc)>8 Bab(ab)>16C6abc12 D12abc24解析：選A因?yàn)锳BC，由sin 2Asin(ABC)sin(CAB)得sin 2Asin 2Bsin 2C，即sin(AB)(AB)sin (AB)(AB)sin 2C，整理得2sin Ccos(AB)2sin Ccos C2sin Ccos(AB)cos(AB)，整理得4sin Asin Bsin C，即sin Asin Bsin C.又Sabsin Cbcsin Acasin B，因此S3a2b2c2sin Asin Bsin Ca2b2c2.由1S2得1a2b2c223，即8abc16，因此選項(xiàng)C，D不一定成立又bc>a>0，因此bc(bc)>bca8，即bc(bc)>8，選項(xiàng)A一定成立又ab>c>0，因此ab(ab)>abc8，即ab(ab)>8，顯然不能得出ab(ab)>16，選項(xiàng)B不一定成立綜上所述，選A.10(xx山東，12,5分)在ABC中，已知tan A，當(dāng)A時(shí)，ABC的面積為_解析：根據(jù)平面向量數(shù)量積的概念得|cos A，當(dāng)A時(shí)，根據(jù)已知可得|，故ABC的面積為|sin .答案：11(xx北京，15,13分)如圖，在ABC中，B，AB8，點(diǎn)D在BC邊上，且CD2，cosADC.(1)求sinBAD；(2)求BD，AC的長(zhǎng)解：(1)在ADC中，因?yàn)閏osADC，所以sinADC.所以sinBADsin(ADCB)sinADCcosBcosADCsinB(2)在ABD中，由正弦定理得BD3.在ABC中，由余弦定理得AC2AB2BC22ABBCcosB825228549.所以AC7.12(xx陜西，16,12分)ABC的內(nèi)角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c.(1)若a，b，c成等差數(shù)列，證明：sin Asin C2sin(AC)；(2)若a，b，c成等比數(shù)列，求cos B的最小值解：(1)a，b，c成等差數(shù)列，ac2b.由正弦定理得sin Asin C2sin B.sin Bsin(AC)sin(AC)，sin Asin C2sin(AC)(2)a，b，c成等比數(shù)列，b2ac.由余弦定理得cos B，當(dāng)且僅當(dāng)ac時(shí)等號(hào)成立cos B的最小值為.13(xx安徽，16,12分)設(shè)ABC的內(nèi)角A，B，C所對(duì)邊的長(zhǎng)分別是a，b，c，且b3，c1，A2B.(1)求a的值；(2)求sin的值解：(1)因?yàn)锳2B，所以sin Asin 2B2sin Bcos B.由正、余弦定理得a2b.因?yàn)閎3，c1，所以a212，a2.(2)由余弦定理得cos A.由于0<A<，所以sin A.故sinsin Acoscos Asin.14(xx浙江，18,14分)在ABC中，內(nèi)角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c.已知ab，c，cos2Acos2Bsin Acos Asin Bcos B.(1)求角C的大??；(2)若sin A，求ABC的面積解析：(1)由題意得sin 2Asin 2B，即sin 2Acos 2Asin 2Bcos 2B，sinsin.由ab，得AB，又AB(0，)，得2A2B，即AB，所以C.(2)由c，sin A，得a.由a<c，得A<C，從而cos A，故sin Bsin(AC)sin Acos Ccos Asin C，所以，ABC的面積為Sacsin B.15(xx大綱全國，17,10分)ABC的內(nèi)角A、B、C的對(duì)邊分別為a、b、c，已知3acos C2ccos A，tan A，求B.解析：由題設(shè)和正弦定理得3sin Acos C2sin Ccos A，故3tan Acos C2sin C.因?yàn)閠an A，所以cos C2sin C，tan C.(6分)所以tan Btan180(AC)tan(AC)(8分)1，即B135.(10分)16(xx天津，5分)在ABC中，ABC，AB，BC3，則sin BAC()A. B.C. D.解析：選C本題考查三角形中余弦定理、正弦定理的應(yīng)用，意在考查考生分析問題的能力由余弦定理可得AC292235，所以AC.再由正弦定理得，所以sin A.17(xx湖南，5分)在銳角ABC中，角A，B所對(duì)的邊長(zhǎng)分別為a，b.若2asin Bb，則角A等于()A. B.C. D.解析：選A本題主要考查銳角三角形的定義、正弦定理與解三角方程，意在考查考生的轉(zhuǎn)化能力與三角變換能力由正弦定理可得，2asin Bb可化為2sin Asin Bsin B，又sin B0，所以sin A，又ABC為銳角三角形，得A.18(xx陜西，5分)設(shè)ABC的內(nèi)角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c，若bcos Cccos Ba sinA，則ABC的形狀為()A銳角三角形 B直角三角形C鈍角三角形 D不確定解析：選B本題考查正弦定理和兩角和的正弦公式的逆用依據(jù)題設(shè)條件的特點(diǎn)，由正弦定理，得sin Bcos Ccos Bsin Csin2A，有sin(BC)sin2A，從而sin(BC)sin Asin2A，解得sin A1，A，故選B.19(xx安徽，5分)設(shè)ABC的內(nèi)角A，B，C所對(duì)邊的長(zhǎng)分別為a，b，c.若bc2a，3sin A5sin B，則角C_.解析：本題考查正弦定理和余弦定理的應(yīng)用由3sin A5sin B可得3a5b，又bc2a，所以可令a5t(t>0)，則b3t，c7t，可得cos C，故C.答案：20(xx福建，4分)如圖，在ABC中，已知點(diǎn)D在BC邊上，ADAC，sinBAC，AB3，AD3，則BD的長(zhǎng)為_解析：本題考查誘導(dǎo)公式、余弦定理等基礎(chǔ)知識(shí)，意在考查考生的轉(zhuǎn)化和化歸能力、運(yùn)算求解能力因?yàn)閟inBAC，且ADAC，所以sin，所以cosBAD，在BAD中，由余弦定理得，BD .答案：21(xx浙江，4分)在ABC中，C90，M是BC的中點(diǎn)，若sinBAM，則sinBAC_.解析：本題考查正弦定理、三角函數(shù)定義、誘導(dǎo)公式以及利用相關(guān)定理解決與幾何計(jì)算有關(guān)的問題考查考生靈活利用公式的能力ABM中，由正弦定理，所以a，整理得(3a22c2)20 ，故sinBAC.答案：22(xx新課標(biāo)全國，12分)如圖，在ABC中，ABC90，AB，BC1，P為ABC內(nèi)一點(diǎn)，BPC90.(1)若PB，求PA；(2)若APB150，求tanPBA.解：本題主要考查兩角差的正弦公式、誘導(dǎo)公式、正弦定理、余弦定理等知識(shí)，意在考查考生綜合運(yùn)用所學(xué)知識(shí)分析問題、解決問題的能力以及運(yùn)算求解能力(1)由已知得，PBC60，所以PBA30.在PBA中，由余弦定理得PA232cos30.故PA.(2)設(shè)PBA，由已知得PBsin .在PBA中，由正弦定理得，化簡(jiǎn)得cos 4sin .所以tan ，即tanPBA.23(xx江西，12分)在ABC中，角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c，已知cos C(cos Asin A)cos B0.(1)求角B的大?。?2)若ac1，求b的取值范圍解：本題主要考查三角變換與解三角形知識(shí)，意在考查考生綜合運(yùn)用知識(shí)的能力(1)由已知得cos(AB)cos A cos B sin Acos B0，即有sin Asin B sin Acos B0，因?yàn)閟in A0，所以sin B cos B0，又cos B0，所以tan B ，又0<B<，所以B.(2)由余弦定理，有b2a2c22accos B.因?yàn)閍c1，cos B，所以b232.又0<a<1，于是有b2<1，即有b<1.24(xx天津，5分)在ABC中，內(nèi)角A，B，C所對(duì)的邊分別是a，b，c，已知8b5c，C2B，則cos C()A. BC D.解析：由C2B得sin Csin 2B2sin Bcos B，由正弦定理及8b5c得cos B，所以cos Ccos 2B2cos2 B12()21.答案：A25(xx新課標(biāo)全國，12分)已知a，b，c分別為ABC三個(gè)內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊，acos Casin Cbc0.(1)求A；(2)若a2，ABC的面積為，求b，c.解：(1)由acos Casin Cbc0及正弦定理得sin Acos Csin Asin Csin Bsin C0.因?yàn)锽AC，所以sin Asin Ccos Asin Csin C0.由于sin C0，所以sin(A).又0A，故A.(2)ABC的面積Sbcsin A，故bc4.而a2b2c22bccos A，故b2c28.解得bc2.26(xx浙江，14分)在ABC中，內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c.已知cos A，sin Bcos C.(1)求tan C的值；(2)若a，求ABC的面積解：(1)因?yàn)?A，cos A，得sin A.又cos Csin Bsin (AC)sin Acos Ccos Asin Ccos Csin C.所以tan C.(2)由tan C，得sin C，cos C.于是sin Bcos C.由a及正弦定理，得c.設(shè)ABC的面積為S，則Sacsin B.27(2011遼寧，5分)ABC的三個(gè)內(nèi)角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c，asinAsinBbcos2Aa，則()A2 B2C. D.解析：由正弦定理，得sin2AsinBsinBcos2AsinA，即sinB(sin2Acos2A)sinA，所以sinBsinA.答案：D28(2011新課標(biāo)全國，5分)在ABC中，B60，AC，則AB2BC的最大值為_解析：在ABC中，根據(jù)，得ABsinCsinC2sinC，同理BC2sinA，因此AB2BC2sinC4sinA2sinC4sin(C)4sinC2cosC2sin(C)(tan)，因此AB2BC的最大值為2.答案：229(2011北京，5分)在ABC中，若b5，B，tanA2，則sinA_；a_.解析：因?yàn)锳BC中，tanA2，所以A是銳角，且2，sin2Acos2A1，聯(lián)立解得sinA，再由正弦定理得，代入數(shù)據(jù)解得a2.答案：230(xx遼寧，12分) (本小題滿分12分)在ABC中，a，b，c分別為內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊，且2asinA(2bc)sinB(2cb)sinC.(1)求A的大??；(2)求sinBsinC的最大值解：(1)由已知，根據(jù)正弦定理得2a2(2bc)b(2cb)c，即a2b2c2bc.由余弦定理得cosA，故cosA，A120.(2)由(1)得：sinBsinCsinBsin(60B)cosBsinBsin(60B)故當(dāng)B30時(shí)，sinBsinC取得最大值1.31(xx湖南，5分)在ABC中，角A，B，C所對(duì)的邊長(zhǎng)分別為a，b，c.若C120，ca，則()Aa>b Ba<bCab Da與b的大小關(guān)系不能確定解析：法一：由余弦定理得2a2a2b22abcos120，b2aba20，即()210，<1，故b<a.法二：由余弦定理得2a2a2b22abcos120，b2aba20，b，由a<ab得，b<a.答案：A32(xx江蘇，5分)在銳角ABC中，角A、B、C的對(duì)邊分別為a、b、c，若6cosC，則的值是_解析：取ab1，則cosC，由余弦定理得c2a2b22abcosC，c，在如圖所示的等腰三角形ABC中，可得tanAtanB，又sinC，tanC2，4.另解：由6cosC得，6，即a2b2c2，tanC()4.答案：4