2019-2020年高考數(shù)學一輪復習 9.1 導數(shù)的概念及運算 文一、選擇題1(xx深圳中學模擬)曲線yx3在原點處的切線()A不存在B有1條，其方程為y0C有1條，其方程為x0D有2條，它們的方程分別為y0，x0解析y3x2，ky|x00，曲線yx3在原點處的切線方程為y0.答案B2若曲線yx4的一條切線l與直線x4y80垂直，則l的方程為()A4xy30 Bx4y50C4xy30 Dx4y30解析切線l的斜率k4，設(shè)yx4的切點的坐標為(x0，y0)，則k4x4，x01，切點為(1,1)，即y14(x1)，整理得l的方程為4xy30.答案A3(xx長春模擬)曲線yxex2x1在點(0，1)處的切線方程為()Ay3x1 By3x1Cy3x1 Dy2x1解析根據(jù)導數(shù)運算法則可得yexxex2(x1)ex2，則曲線yxex2x1在點(0，1)處的切線斜率為y|x0123.故曲線yxex2x1在點(0，1)處的切線方程為y13x，即y3x1.答案A4已知f1(x)sin xcos x，fn1(x)是fn(x)的導函數(shù)，即f2(x)f1(x)，f3(x)f2(x)，fn1(x)fn(x)，nN*，則f2 015(x)等于()Asin xcos x Bsin xcos xCsin xcos x Dsin xcos x解析f1(x)sin xcos x，f2(x)f1(x)cos xsin x，f3(x)f2(x)sin xcos x，f4(x)f3(x)cos xsin x，f5(x)f4(x)sin xcos x，fn(x)是以4為周期的函數(shù)，f2 015(x)f3(x)sin xcos x，故選A.答案A5(xx陜西卷)如圖，修建一條公路需要一段環(huán)湖彎曲路段與兩條直道平滑連接(相切)已知環(huán)湖彎曲路段為某三次函數(shù)圖象的一部分，則該函數(shù)的解析式為()Ayx3x2x Byx3x23xCyx3x Dyx3x22x解析設(shè)三次函數(shù)的解析式為yax3bx2cxd(a0)，則y3ax22bxc.由已知得yx是函數(shù)yax3bx2cxd在點(0,0)處的切線，則y|x01c1，排除B、D.又y3x6是該函數(shù)在點(2,0)處的切線，則y|x2312a4bc312a4b133ab1.只有A項的函數(shù)符合，故選A.答案A二、填空題6(xx珠海一模)若曲線yax2ln x在點(1，a)處的切線平行于x軸，則a_.解析y2ax，y|x12a10，a.答案7(xx廣東卷)曲線y5ex3在點(0，2)處的切線方程為_解析由y5ex3得，y5ex，所以切線的斜率ky|x05，所以切線方程為y25(x0)，即5xy20.答案5xy208(xx江蘇卷)在平面直角坐標系xOy中，若曲線yax2(a，b為常數(shù))過點P(2，5)，且該曲線在點P處的切線與直線7x2y30平行，則ab的值是_解析yax2的導數(shù)為y2ax，直線7x2y30的斜率為.由題意得解得則ab3.答案3三、解答題9已知曲線yx3.(1)求曲線在點P(2,4)處的切線方程；(2)求曲線過點P(2,4)的切線方程解(1)P(2,4)在曲線yx3上，且yx2，在點P(2,4)處的切線的斜率為y|x24.曲線在點P(2,4)處的切線方程為y44(x2)，即4xy40.(2)設(shè)曲線yx3與過點P(2,4)的切線相切于點A，則切線的斜率為y|xx0x.切線方程為yx(xx0)，即yxxx.點P(2,4)在切線上，42xx，即x3x40，xx4x40，x(x01)4(x01)(x01)0，(x01)(x02)20，解得x01，或x02，故所求的切線方程為xy20，或4xy40.10(xx北京卷改編)已知曲線C：y.(1)求曲線C在點(1,0)處的切線l1的方程；(2)求過原點與曲線C相切的直線l2的方程解設(shè)f(x)，則f(x).(1)f(1)1，即切線l1的斜率k1.由l1過點(1,0)，得l1的方程為yx1.(2)設(shè)l2與曲線C切于點P，則切線l2方程為y(xx0)，l2過原點(x0)，化簡得ln x0，x0，l2：y(x)，整理得yx.即為l2的方程能力提升題組(建議用時：35分鐘)11已知曲線y，則曲線的切線斜率取得最大值時的直線方程為()Ax4y20 Bx4y20C4x2y10 D4x2y10解析y，因為ex0，所以ex22(當且僅當ex，即x0時取等號)，則ex24，故y(當x0時取等號)當x0時，曲線的切線斜率取得最大值，此時切點的坐標為，切線的方程為y(x0)，即x4y20.故選A.答案A12(xx開封二模)過點A(2,1)作曲線f(x)x33x的切線最多有()A3條 B2條 C1條 D0條解析由題意得，f(x)3x23，設(shè)切點為(x0，x3x0)，那么切線的斜率為k3x3，利用點斜式方程可知切線方程為y(x3x0)(3x3)(xx0)，將點A(2,1)代入可得關(guān)于x0的一元三次方程2x6x70.令y2x6x7，則y6x12x0.由y0得x00或x02.當x00時，y70；x02時，y10.結(jié)合函數(shù)y2x6x7的單調(diào)性可得方程2x6x70有3個解故過點A(2,1)作曲線f(x)x33x的切線最多有3條，故選A.答案A13(xx杭州高級中學月考)已知曲線f(x)xn1(nN*)與直線x1交于點P，設(shè)曲線yf(x)在點P處的切線與x軸交點的橫坐標為xn，則log2 016x1log2 016x2log2 016x2 015的值為_解析f(x)(n1)xn，kf(1)n1，點P(1,1)處的切線方程為y1(n1)(x1)，令y0，得x1，即xn，x1x2x2 015，則log2 016x1log2 016x2log2 016x2 015log2 016(x1x2x2 015)1.答案114設(shè)拋物線C: yx2x4，過原點O作C的切線ykx，使切點P在第一象限(1)求k的值；(2)過點P作切線的垂線，求它與拋物線的另一個交點Q的坐標解(1)設(shè)點P的坐標為(x1，y1)，則y1kx1，y1xx14，代入得xx140.P為切點，2160得k或k.當k時，x12，y117.當k時，x12，y11.P在第一象限，所求的斜率k.(2)過P點作切線的垂線，其方程為y2x5.將代入拋物線方程得x2x90.設(shè)Q點的坐標為(x2，y2)，即2x29，x2，y24.Q點的坐標為.15設(shè)函數(shù)f(x)ax，曲線yf(x)在點(2，f(2)處的切線方程為7x4y120.(1)求f(x)的解析式；(2)曲線f(x)上任一點處的切線與直線x0和直線yx所圍成的三角形面積為定值，并求此定值解(1)方程7x4y120可化為yx3，當x2時，y.又f(x)a，于是解得故f(x)x.(2)設(shè)P(x0，y0)為曲線上任一點，由y1知曲線在點P(x0，y0)處的切線方程為yy0)(xx0)，即y(x0)(1)(xx0)令x0，得y，從而得切線與直線x0交點坐標為.令yx，得yx2x0，從而得切線與直線yx的交點坐標為(2x0,2x0)所以點P(x0，y0)處的切線與直線x0，yx所圍成的三角形的面積為S|2x0|6.故曲線yf(x)上任一點處的切線與直線x0，yx所圍成的三角形面積為定值，且此定值為6.