2019-2020年高考數(shù)學(xué) 6.7 數(shù)學(xué)歸納法練習(xí)(25分鐘60分)一、選擇題(每小題5分,共25分)1.(xx鄭州模擬)用數(shù)學(xué)歸納法證明1+2+3+n2=,則當(dāng)n=k+1時左端應(yīng)在n=k的基礎(chǔ)上加上()A.k2+1B.(k+1)2C.D.(k2+1)+(k2+2)+(k+1)2【解析】選D.當(dāng)n=k時,左邊=1+2+3+k2,當(dāng)n=k+1時,左邊=1+2+k2+(k2+1)+(k+1)2,所以應(yīng)加上(k2+1)+(k2+2)+(k+1)2.2.用數(shù)學(xué)歸納法證明“2n>n2+1對于nn0的正整數(shù)n都成立”時,第一步證明中的起始值n0應(yīng)取()A.2B.3C.5D.6【解析】選C.當(dāng)n=1時,21=2=12+1,當(dāng)n=2時,22=4<22+1=5,當(dāng)n=3時,23=8<32+1=10,當(dāng)n=4時,24=16<42+1=17,當(dāng)n=5時,25=32>52+1=26,當(dāng)n=6時,26=64>62+1=37,故起始值n0應(yīng)取5.3.(xx南昌模擬)已知f(n)=12+22+32+(2n)2,則f(k+1)與f(k)的關(guān)系是()A.f(k+1)=f(k)+(2k+1)2+(2k+2)2B.f(k+1)=f(k)+(k+1)2C.f(k+1)=f(k)+(2k+2)2D.f(k+1)=f(k)+(2k+1)2【解析】選A.f(k+1)=12+22+32+(2k)2+(2k+1)2+2(k+1)2=f(k)+(2k+1)2+(2k+2)2,故選A.4.(xx濰坊模擬)某個命題與正整數(shù)有關(guān),若當(dāng)n=k(kN*)時該命題成立,那么可推得當(dāng)n=k+1時該命題也成立,現(xiàn)已知當(dāng)n=4時該命題不成立,那么可推得()A.當(dāng)n=5時,該命題不成立B.當(dāng)n=5時,該命題成立C.當(dāng)n=3時,該命題成立D.當(dāng)n=3時,該命題不成立【解析】選D.由數(shù)學(xué)歸納法的特點(diǎn)可以知道,當(dāng)n=4時該命題不成立,可知當(dāng)n=3時,該命題不成立.5.對于不等式<n+1(nN*),某同學(xué)用數(shù)學(xué)歸納法的證明過程如下:(1)當(dāng)n=1時,<1+1,不等式成立.(2)假設(shè)當(dāng)n=k(kN*)時,不等式成立,即<k+1,則當(dāng)n=k+1時,=<=(k+1)+1,所以當(dāng)n=k+1時,不等式成立.()A.過程全部正確B.n=1驗(yàn)證不正確C.歸納假設(shè)不正確D.從n=k到n=k+1的推理不正確【解題提示】此證明中,在推出P(k+1)成立中,并沒有用到假設(shè)P(k)成立的形式,不是數(shù)學(xué)歸納法.【解析】選D.在n=k+1時,沒有應(yīng)用n=k時的假設(shè),即從n=k到n=k+1的推理不正確,故選D.二、填空題(每小題5分,共15分)6.(xx洛陽模擬)用數(shù)學(xué)歸納法證明1+<n(nN*,n>1)時,第一步應(yīng)驗(yàn)證的不等式是.【解析】由nN*,n>1知,n取第一個值n0=2,當(dāng)n=2時,不等式為1+<2.答案:1+<2【誤區(qū)警示】此題很容易出現(xiàn),第一步驗(yàn)證的不等式是n=2時左邊為1+,缺少了,而導(dǎo)致答案不正確.7.設(shè)Sn=1+,則Sn+1-Sn=.【解析】因?yàn)镾n+1=1+,Sn=1+,所以Sn+1-Sn=+.答案:+8.設(shè)數(shù)列an的前n項和為Sn,且對任意的正整數(shù)n都有(Sn-1)2=anSn,通過計算S1,S2,S3,猜想Sn=.【解析】由(S1-1)2=得:S1=;由(S2-1)2=(S2-S1)S2得:S2=;由(S3-1)2=(S3-S2)S3得:S3=.猜想Sn=.答案:三、解答題(每小題10分,共20分)9.已知數(shù)列an中,1<a1<2,an+1=1+an-(nN*),求證:(1)a3.(2)當(dāng)n3時,|an-|<.【證明】(1)因?yàn)?<a1<2,所以a2=1+a1-=-(a1-1)2+,則a2,a3=1+a2-=-(a2-1)2+,故a3.(2)當(dāng)n=3時,a3-,又->-,-<,所以-<a3-<,即|a3-|<.假設(shè)當(dāng)n=k(k3且kN*)時,|ak-|<成立,則當(dāng)n=k+1時,|ak+1-|=|ak-|ak+-2|<<,即n=k+1時結(jié)論成立.由可知,當(dāng)n3時,|an-|<.【方法技巧】數(shù)學(xué)歸納法證明不等式的種類和注意點(diǎn)(1)證明不等式的種類一般有三種:一是直接給出不等式;二是比較兩個式子的大小,先利用n的幾個特殊值猜想大小再證明;三是已知不等式成立,尋求變量的取值范圍.(2)從n=k到n=k+1成立時,一定要用假設(shè)n=k的中間過渡,可以用放縮法、基本不等式、分析法等.10.已知各項均為正數(shù)的數(shù)列an的首項a1=1,對任意的正整數(shù)n都有(n2+n)(-)=1,(1)求數(shù)列an的通項公式.(2)若數(shù)列an的前n項和為Sn,求證:Sn<2.【解析】(1)由(n2+n)(-)=1,得-=-,所以-=-,所以=(-)+(-)+(-)+(-)+=-+-+-+-1+1=(n2),又因?yàn)閍1=1,適合上式,所以=.因?yàn)閍n>0,所以an=.(2)因?yàn)閍n=,所以Sn=1+.當(dāng)n=1時,左邊=1,右邊=2,左<右,所以n=1時,Sn<2.假設(shè)n=k(k1,kN*)時所證不等式成立,即Sk<2,當(dāng)n=k+1時,Sk+1=1+<2+=<=2.故n=k+1時,不等式仍成立.由可知,對任意nN*,不等式成立.【一題多解】解答此題還有如下方法:(1)因?yàn)閍1=1,an>0,(n2+n)(-)=1,所以a2=,a3=,a4=,猜想an=,下面用數(shù)學(xué)歸納法證明,當(dāng)n=1時,因?yàn)閍1=1,所以n=1時,an=.假設(shè)n=k(k1,kN*)時所證成立,即ak=,當(dāng)n=k+1時,因?yàn)?k2+k)(-)=1,所以=-=-=.所以ak+1=.故當(dāng)n=k+1時,an=仍成立,由可知,對任意nN*,an=成立.(2)因?yàn)?<=2(-),所以Sn=1+<2(-0+-+-+-)=2.【加固訓(xùn)練】由下列不等式:1>,1+>1,1+>,1+>2,你能得到一個怎樣的一般不等式?并加以證明.【解析】一般結(jié)論:1+>(nN*),證明如下:(1)當(dāng)n=1時,由題設(shè)條件知命題成立.(2)假設(shè)當(dāng)n=k(kN*)時,猜想正確,即1+>.當(dāng)n=k+1時,1+>+>+=+=,所以當(dāng)n=k+1時,不等式成立.根據(jù)(1)(2)可知,對nN*,1+>.(20分鐘40分)1.(5分)(xx天津模擬)設(shè)f(x)是定義在正整數(shù)集上的函數(shù),且f(x)滿足:“當(dāng)f(k)k2成立時,總可推出f(k+1)(k+1)2成立”.那么,下列命題總成立的是()A.若f(1)<1成立,則f(10)<100成立B.若f(2)<4成立,則f(1)1成立C.若f(3)9成立,則當(dāng)k1時,均有f(k)k2成立D.若f(4)16成立,則當(dāng)k4時,均有f(k)k2成立【解析】選D.選項A,B與題設(shè)中不等號方向不同,故A,B錯;選項C中,應(yīng)該是k3時,均有f(k)k2成立;選項D符合題意.2.(5分)用數(shù)學(xué)歸納法證明“當(dāng)n為正奇數(shù)時,xn+yn能被x+y整除”的第二步是()A.假使n=2k+1時正確,再推n=2k+3時正確(kN*)B.假使n=2k-1時正確,再推n=2k+1時正確(kN*)C.假使n=k時正確,再推n=k+1時正確(kN*)D.假使nk(k1)時正確,再推n=k+2時正確(kN*)【解析】選B.因?yàn)閚為正奇數(shù),根據(jù)數(shù)學(xué)歸納法證題的步驟,第二步應(yīng)先假設(shè)第k個正奇數(shù)也成立,本題即假設(shè)n=2k-1(kN*)時正確,再推第k+1個正奇數(shù),即n=2k+1時正確,故選B.3.(5分)平面上有n條直線,它們?nèi)魏蝺蓷l不平行,任何三條不共點(diǎn),設(shè)k條這樣的直線把平面分成f(k)個區(qū)域,則k+1條直線把平面分成的區(qū)域數(shù)f(k+1)=f(k)+.【解析】當(dāng)n=k+1時,第k+1條直線被前k條直線分成(k+1)段,而每一段將它們所在區(qū)域一分為二,故增加了k+1個區(qū)域.答案:k+14.(12分)(xx漢沽模擬)如圖,P1(x1,y1),P2(x2,y2),Pn(xn,yn)(0<y1<y2<<yn)是曲線C:y2=3x(y0)上的n個點(diǎn),點(diǎn)Ai(ai,0)(i=1,2,3,n)在x軸的正半軸上,且Ai-1AiPi是正三角形(A0是坐標(biāo)原點(diǎn)).(1)寫出a1,a2,a3.(2)求出點(diǎn)An(an,0)(nN*)的橫坐標(biāo)an關(guān)于n的表達(dá)式并證明.【解析】(1)a1=2,a2=6,a3=12.(2)依題意,得xn=,yn=,由此及=3xn得=(an+an-1),即(an-an-1)2=2(an-1+an).由(1)可猜想:an=n(n+1)(nN*).下面用數(shù)學(xué)歸納法予以證明:當(dāng)n=1時,命題顯然成立.假設(shè)當(dāng)n=k(kN*)時命題成立,即有ak=k(k+1),則當(dāng)n=k+1時,由歸納假設(shè)及(ak+1-ak)2=2(ak+ak+1),得ak+1-k(k+1)2=2k(k+1)+ak+1,即-2(k2+k+1)ak+1+k(k-1)(k+1)(k+2)=0,解得ak+1=(k+1)(k+2)(ak+1=k(k-1)<ak不合題意,舍去),即當(dāng)n=k+1時,命題也成立.由可知,命題成立.5.(13分)(能力挑戰(zhàn)題)已知數(shù)列an滿足a1=a2=a3=k,an+1=(n3,nN*),其中k>0,數(shù)列bn滿足bn=(n=1,2,3,4,)(1)求b1,b2,b3,b4.(2)求數(shù)列bn的通項公式.(3)是否存在正數(shù)k,使得數(shù)列an的每一項均為整數(shù),如果不存在,說明理由,如果存在,求出所有的k.【解析】(1)經(jīng)過計算可知:a4=k+1,a5=k+2,a6=k+4+.求得b1=b3=2,b2=b4=.(2)由條件可知:an+1an-2=k+anan-1.類似地有:an+2an-1=k+an+1an-有:=,即:bn=bn-2.所以b2n-1=b2n-3=b1=2,b2n=b2n-2=b2=,所以bn=+.(3)假設(shè)存在正數(shù)k,使得數(shù)列an的每一項均為整數(shù),則由(2)可知:由a1=kZ,a6=k+4+Z可知k=1,2.當(dāng)k=1時,=3為整數(shù),利用a1,a2,a3Z,結(jié)合式,反復(fù)遞推,可知an的每一項均為整數(shù),當(dāng)k=2時,變?yōu)槲覀冇脭?shù)學(xué)歸納法證明a2n-1為偶數(shù),a2n為整數(shù),n=1時,結(jié)論顯然成立,假設(shè)n=k時結(jié)論成立,這時a2n-1為偶數(shù),a2n為整數(shù),故a2n+1=2a2n-a2n-1為偶數(shù),a2n-2為整數(shù),所以n=k+1時,命題成立,故數(shù)列an是整數(shù)列,綜上所述,k的取值集合是1,2.【加固訓(xùn)練】設(shè)數(shù)列an的前n項和為Sn,且方程x2-anx-an=0有一根為Sn-1(nN*).(1)求a1,a2.(2)猜想數(shù)列Sn的通項公式,并給出證明.【解析】(1)當(dāng)n=1時,方程x2-a1x-a1=0有一根為S1-1=a1-1,所以(a1-1)2-a1(a1-1)-a1=0,解得a1=.當(dāng)n=2時,方程x2-a2x-a2=0有一根為S2-1=a1+a2-1=a2-,所以-a2-a2=0,解得a2=.(2)由題意知(Sn-1)2-an(Sn-1)-an=0,當(dāng)n2時,an=Sn-Sn-1,代入上式整理得SnSn-1-2Sn+1=0,解得Sn=.由(1)得S1=a1=,S2=a1+a2=+=.猜想Sn=(nN*).下面用數(shù)學(xué)歸納法證明這個結(jié)論.當(dāng)n=1時,結(jié)論成立.假設(shè)當(dāng)n=k(kN*,k1)時結(jié)論成立,即Sk=,當(dāng)n=k+1時,Sk+1=.即當(dāng)n=k+1時結(jié)論成立.由知Sn=對任意的正整數(shù)n都成立.