2019-2020年高考數學5年真題備考題庫 第九章 第7節(jié) 離散型隨機變量及其分布列 理（含解析）1(xx陜西，12分) 在一塊耕地上種植一種作物，每季種植成本為1 000元，此作物的市場價格和這塊地上的產量均具有隨機性，且互不影響，其具體情況如下表：作物產量(kg)300500概率0.50.5作物市場價格(元/kg)610概率0.40.6(1)設X表示在這塊地上種植1季此作物的利潤，求X的分布列；(2)若在這塊地上連續(xù)3季種植此作物，求這3季中至少有2季的利潤不少于2 000元的概率解：(1)設A表示事件“作物產量為300 kg”，B表示事件“作物市場價格為6元/kg”，由題設知P(A)0.5，P(B)0.4，因為利潤產量市場價格成本，所以X所有可能的取值為500101 0004 000,50061 0002 000，300101 0002 000,3 0061 000800.P(X4 000)P()P()(10.5)(10.4)0.3，P(X2 000)P()P(B)P(A)P()(10.5)0.40.5(10.4)0.5，P(X800)P(A)P(B)0.50.40.2，所以X的分布列為X4 0002 000800P0.30.50.2(2)設Ci表示事件“第i季利潤不少于2 000元”(i1,2,3)，由題意知C1，C2，C3相互獨立，由(1)知，P(Ci)P(X4 000)P(X2 000)0.30.50.8(i1,2,3)，3季的利潤均不少于2 000元的概率為P(C1C2C3)P(C1)P(C2)P(C3)0.830.512；3季中有2季的利潤不少于2 000元的概率為P(C2C3)P(C1C3)P(C1C2)30.820.20.384，所以，這3季中至少有2季的利潤不少于2 000元的概率為0.5120.3840.896.2（xx新課標全國，12分）一批產品需要進行質量檢驗，檢驗方案是：先從這批產品中任取4件作檢驗，這4件產品中優(yōu)質品的件數記為n.如果n3，再從這批產品中任取4件作檢驗，若都為優(yōu)質品，則這批產品通過檢驗；如果n4，再從這批產品中任取1件作檢驗，若為優(yōu)質品，則這批產品通過檢驗；其他情況下，這批產品都不能通過檢驗假設這批產品的優(yōu)質品率為50%，即取出的每件產品是優(yōu)質品的概率都為，且各件產品是否為優(yōu)質品相互獨立(1)求這批產品通過檢驗的概率；(2)已知每件產品的檢驗費用為100元，且抽取的每件產品都需要檢驗，對這批產品作質量檢驗所需的費用記為X(單位：元)，求X的分布列及數學期望解：本題主要考查獨立重復試驗和互斥事件的概率、條件概率、離散型隨機變量的分布列和數學期望等，意在考查考生的閱讀理解能力及運用所學概率知識解決實際問題的能力(1)設第一次取出的4件產品中恰有3件優(yōu)質品為事件A1，第一次取出的4件產品全是優(yōu)質品為事件A2，第二次取出的4件產品都是優(yōu)質品為事件B1，第二次取出的1件產品是優(yōu)質品為事件B2，這批產品通過檢驗為事件A，依題意有A(A1B1)(A2B2)，且A1B1與A2B2互斥，所以P(A)P(A1B1)P(A2B2)P(A1)P(B1|A1)P(A2)P(B2|A2).(2)X可能的取值為400,500,800，并且P(X400)1，P(X500)，P(X800).所以X的分布列為X400500800PEX400500800506.25.3(xx山東，12分)甲、乙兩支排球隊進行比賽，約定先勝3局者獲得比賽的勝利，比賽隨即結束除第五局甲隊獲勝的概率是外，其余每局比賽甲隊獲勝的概率都是.假設各局比賽結果互相獨立(1)分別求甲隊以30,31,32勝利的概率；(2)若比賽結果為30或31，則勝利方得3分、對方得0分；若比賽結果為32，則勝利方得2分、對方得1分求乙隊得分X的分布列及數學期望解：本題考查相互獨立事件的概率、二項分布、離散型隨機變量的概率分布與數學期望等基礎知識，考查分類與整合思想，考查運算求解能力，考查分析問題和解決問題的能力(1)記“甲隊以30勝利”為事件A1，“甲隊以31勝利”為事件A2，“甲隊以32勝利”為事件A3，由題意知，各局比賽結果相互獨立，故P(A1)3，P(A2)C2，P(A3)C22.所以，甲隊以30勝利、以31勝利的概率都為，以32勝利的概率為.(2)設“乙隊以32勝利”為事件A4，由題意知，各局比賽結果相互獨立，所以P(A4)C22.由題意知，隨機變量X的所有可能的取值為0,1,2,3，根據事件的互斥性得P(X0)P(A1A2)P(A1)P(A2)，又P(X1)P(A3)，P(X2)P(A4)，P(X3)1P(X0)P(X1)P(X2)，故X的分布列為X0123P所以EX0123.4（xx湖南，12分）某人在如圖所示的直角邊長為4米的三角形地塊的每個格點(指縱、橫直線的交叉點以及三角形的頂點)處都種了一株相同品種的作物根據歷年的種植經驗，一株該種作物的年收獲量Y(單位：kg)與它的“相近”作物株數X之間的關系如下表所示：X1234Y51484542這里，兩株作物“相近”是指它們之間的直線距離不超過1米(1)從三角形地塊的內部和邊界上分別隨機選取一株作物，求它們恰好“相近”的概率；(2)從所種作物中隨機選取一株，求它的年收獲量的分布列與數學期望解：本小題主要考查古典概型、離散型隨機變量的分布列與數學期望的求解，考查考生的閱讀理解能力、收集數據的能力、運算求解能力和創(chuàng)新意識(1)所種作物總株數N1234515，其中三角形地塊內部的作物株數為3，邊界上的作物株數為12.從三角形地塊的內部和邊界上分別隨機選取一株的不同結果有CC36種，選取的兩株作物恰好“相近”的不同結果有3328種故從三角形地塊的內部和邊界上分別隨機選取一株作物，它們恰好“相近”的概率為.(2)先求從所種作物中隨機選取的一株作物的年收獲量Y的分布列因為P(Y51)P(X1)，P(Y48)P(X2)，P(Y45)P(X3)，P(Y42)P(X4)，所以只需求出P(Xk)(k1,2,3,4)即可記nk為其“相近”作物恰有k株的作物株數(k1,2,3,4)，則n12，n24，n36，n43. 由P(Xk)，得P(X1)，P(X2)，P(X3)，P(X4).故所求的分布列為Y51484542P所求的數學期望為E(Y)5148454246.解析：P(X0)(1p)2，p，隨機變量X的可能值為0,1,2,3，因此P(X0)，P(X1)()2()2，P(X2)()22()2，P(X3)()2，因此E(X)123.答案：5（xx山東，12分）現有甲、乙兩個靶某射手向甲靶射擊一次，命中的概率為，命中得1分，沒有命中得0分；向乙靶射擊兩次，每次命中的概率為，每命中一次得2分，沒有命中得0分該射手每次射擊的結果相互獨立假設該射手完成以上三次射擊(1)求該射手恰好命中一次的概率；(2)求該射手的總得分X的分布列及數學期望EX.解：(1)記：“該射手恰好命中一次”為事件A，“該射手射擊甲靶命中”為事件B，“該射手第一次射擊乙靶命中”為事件C，“該射手第二次射擊乙靶命中”為事件D，由題意知P(B)，P(C)P(D)，由于AB CD，根據事件的獨立性和互斥性得P(A)P(BCD)P(B)P(C)P(D)P(B)P()P()P()P(C)P()P()P()P(D)(1)(1)(1)(1)(1)(1).(2)根據題意，X的所有可能取值為0,1,2,3,4,5.根據事件的獨立性和互斥性得P(X0)P( )1P(B)1P(C)1P(D)(1)(1)(1).P(X1)P(B)P(B)P()P()(1)(1).P(X2)P(CD)P(C)P(D)(1)(1)(1)(1)，P(X3)P(BCBD)P(BC)P(BD)(1)(1)，P(X4)P(CD)(1)，P(X5)P(BCD).故X的分布列為X012345P所以EX012345.6（xx江蘇，10分）設為隨機變量從棱長為1的正方體的12條棱中任取兩條，當兩條棱相交時，0；當兩條棱平行時，的值為兩條棱之間的距離；當兩條棱異面時，1.(1)求概率P(0)；(2)求的分布列，并求其數學期望E()解：(1)若兩條棱相交，則交點必為正方體8個頂點中的1個，過任意1個頂點恰有3條棱，所以共有8C對相交棱，因此P(0).(2)若兩條棱平行，則它們的距離為1或，其中距離為的共有6對，故P()，于是P(1)1P(0)P()1，所以隨機變量的分布列是01P()因此E()1.7(2011新課標全國，12分)某種產品的質量以其質量指標值衡量，質量指標值越大表明質量越好，且質量指標值大于或等于102的產品為優(yōu)質品，現用兩種新配方(分別稱為A配方和B配方)做試驗，各生產了100件這種產品，并測量了每件產品的質量指標值，得到下面試驗結果：A配方的頻數分布表指標值分組90,94)94,98)98,102)102,106)106,110頻數82042228B配方的頻數分布表指標值分組90,94)94,98)98,102)102,106)106,110頻數412423210(1)分別估計用A配方，B配方生產的產品的優(yōu)質品率；(2)已知用B配方生產的一件產品的利潤y(單位：元)與其質量指標值t的關系式為y從用B配方生產的產品中任取一件，其利潤記為X(單位：元)，求X的分布列及數學期望(以試驗結果中質量指標值落入各組的頻率作為一件產品的質量指標值落入相應組的概率)解：(1)由試驗結果知，用A配方生產的產品中優(yōu)質品的頻率為0.3，所以用A配方生產的產品的優(yōu)質品率的估計值為0.3.由試驗結果知，用B配方生產的產品中優(yōu)質品的頻率為0.42，所以用B配方生產的產品的優(yōu)質品率的估計值為0.42.(2)用B配方生產的100件產品中，其質量指標值落入區(qū)間90,94)，94,102)，102,110的頻率分別為0.04,0.54,0.42，因此P(X2)0.04，P(X2)0.54，P(X4)0.42，即X的分布列為X224P0.040.540.42X的數學期望EX20.0420.5440.422.68.8(xx山東，12分)某學校舉行知識競賽，第一輪選拔共設有A、B、C、D四個問題，規(guī)則如下：(1)每位參加者計分器的初始分均為10分，答對問題A、B、C、D分別加1分、2分、3分、6分，答錯任一題減2分；(2)每回答一題，計分器顯示累計分數，當累計分數小于8分時，答題結束，淘汰出局；當累計分數大于或等于14分時，答題結束，進入下一輪；當答完四題，累計分數仍不足14分時，答題結束，淘汰出局；(3)每位參加者按問題A、B、C、D順序作答，直至答題結束假設甲同學對問題A、B、C、D回答正確的概率依次為，且各題回答正確與否相互之間沒有影響求甲同學能進入下一輪的概率；用表示甲同學本輪答題結束時答題的個數，求的分布列和數學期望E.解：設A，B，C，D分別為第一、二、三、四個問題用Mi(i1,2,3,4)表示甲同學第i個問題回答正確，用Ni(i1,2,3,4)表示甲同學第i個問題回答錯誤則Mi與Ni是對立事件(i1,2,3,4)，由題意得P(M1)，P(M2)，P(M3)，P(M4)，所以P(N1)，P(N2)，P(N3)，P(N4).(1)記“甲同學能進入下一輪”為事件Q，則QM1M2M3N1M2M3M4M1N2M3M1M2N3M4N1M2N3M4，由于每題的答題結果相互獨立，因此P(Q)P(M1M2M3N1M2M3M4M1N2M3M4M1M2N3M4N1M2N3M4)P(M1M2M3)P(N1M2M3M4)P(M1N2M3M4)P(M1M2N3M4)P(N1M2N3M4)P(M1)P(M2)P(M3)P(N1)P(M2)P(M3)P(M4)P(M1)P(N2)P(M3)P(M4)P(M1)P(M2)P(N3)P(M4)P(N1)P(M2)P(N3)P(M4).(2)由題意，隨機變量的可能取值為：2,3,4.由于每題答題結果相互獨立，所以P(2)P(N1N2)P(N1)P(N2)，P(3)P(M1M2M3)P(M1N2N3)P(M1)P(M2)P(M3)P(M1)P(N2)P(N3).P(4)1P(2)P(3)1.因此隨機變量的分布列為234P所以E234.