2019-2020年高考數(shù)學(xué)5年真題備考題庫(kù) 第四章 第3節(jié) 平面向量的數(shù)量積與平面向量應(yīng)用舉例 理（含解析）1. （xx重慶，5分）已知向量a(k,3)，b(1,4)，c(2,1)，且(2a3b)c，則實(shí)數(shù)k()A B0C3 D.解析：因?yàn)?a3b(2k3，6)，(2a3b)c，所以(2a3b)c2(2k3)60，解得k3，選C.答案：C2. （xx山東，5分）在ABC中，已知tan A，當(dāng)A時(shí)，ABC的面積為_(kāi)解析：根據(jù)平面向量數(shù)量積的概念得|cos A，當(dāng)A時(shí)，根據(jù)已知可得|，故ABC的面積為|sin .答案：3. （xx安徽，5分）已知兩個(gè)不相等的非零向量a，b，兩組向量x1，x2，x3，x4，x5和y1，y2，y3，y4，y5均由2個(gè)a和3個(gè)b排列而成記Sx1y1x2y2x3y3x4y4x5y5，Smin表示S所有可能取值中的最小值則下列命題正確的是_(寫(xiě)出所有正確命題的編號(hào))S有5個(gè)不同的值；若ab，則Smin與|a|無(wú)關(guān)；若ab，則Smin與|b|無(wú)關(guān)；若|b|>4|a|，則Smin>0；若|b|2a，Smin8|a|2，則a與b的夾角為.解析：對(duì)于，若a，b有0組對(duì)應(yīng)乘積，則S12a23b2，若a，b有2組對(duì)應(yīng)乘積，則S2a22b22ab，若a，b有4組對(duì)應(yīng)乘積，則S3b24ab，所以S最多有3個(gè)不同的值，錯(cuò)誤；因?yàn)閍，b是不等向量，所以S1S32a22b24ab2(ab)2>0，S1S2a2b22ab(ab)2>0，S2S3(ab)2>0，所以S3<S2<S1，故SminS3b24ab，對(duì)于，當(dāng)ab時(shí)，Sminb2與|a|無(wú)關(guān)，正確；對(duì)于，顯然Smin與|b|有關(guān)，錯(cuò)誤；對(duì)于，設(shè)a，b的夾角為，則Sminb24ab>16|a|216|a|2cos 16|a|2(1cos )0，故Smin>0，正確；對(duì)于，|b|2|a|，Smin4|a|28|a|2cos 8|a|2，所以cos ，又0，所以，錯(cuò)誤答案：4. （xx湖北，5分）設(shè)向量a(3,3)，b(1，1)若(ab)(ab)，則實(shí)數(shù)_.解析：(ab)(ab)(ab)(ab)a22b20182203.答案：35. （xx天津，5分）已知菱形ABCD的邊長(zhǎng)為2，BAD120，點(diǎn)E，F(xiàn)分別在邊BC，DC上，BEBC，DFDC.若1，則()A. B.C. D.解析：如圖所示，以菱形ABCD的兩條對(duì)角線(xiàn)所在直線(xiàn)為坐標(biāo)軸，建立平面直角坐標(biāo)系xOy，不妨設(shè)A(0，1)，B(，0)，C(0,1)，D(，0)，由題意得(1)(，1)，(1) (，1)因?yàn)?，所?(1)(1)(1)(1)，即(1)(1).因?yàn)?，1)，(，1)，又1，所以(1)(1)2.由整理得.選C.答案：C6. （xx江蘇，5分）如圖，在平行四邊形ABCD中，已知AB8，AD5，3，2，則的值是_解析：因?yàn)椋詜2|22，將AB8，AD5代入解得22.答案：226. （xx安徽，5分）在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知向量a，b，|a|b|1，ab0，點(diǎn)Q滿(mǎn)足OQ(ab)曲線(xiàn)CP|acos bsin ，0<2，區(qū)域P|0<r|PQ|R，r<R若C為兩段分離的曲線(xiàn)，則()A1<r<R<3 B1<r<3RCr1<R<3 D1<r<3<R解析：由已知可設(shè)a(1,0)，b(0,1)，P(x，y)，則OQ(，)，曲線(xiàn)CP|(cos ，sin )，0<2，即C：x2y21，區(qū)域P|0<r|PQ|R，r<R表示圓P1：(x)2(y)2r2與圓P2：(x)2(y)2R2所形成的圓環(huán)，如圖所示，要使C為兩段分離的曲線(xiàn)，只有1<r<R<3.答案：A6. （xx湖南，5分）在平面直角坐標(biāo)系中，O為原點(diǎn)，A(1,0)，B(0，)，C(3，0)，動(dòng)點(diǎn)D滿(mǎn)足|CD|1，則|的最大值是_解析：設(shè)D(x，y)，由| |1，得(x3)2y21，向量(x1，y)，故|的最大值為圓(x3)2y21上的動(dòng)點(diǎn)到點(diǎn)(1，)距離的最大值，其最大值為圓(x3)2y21的圓心(3,0)到點(diǎn)(1，)的距離加上圓的半徑，即11.答案：16. （xx山東，12分）已知向量a(m，cos 2x)，b(sin 2x，n)，函數(shù)f(x)ab，且yf(x)的圖象過(guò)點(diǎn)和點(diǎn).(1)求m，n的值；(2)將yf(x)的圖象向左平移(0<<)個(gè)單位后得到函數(shù)yg(x)的圖象若yg(x)圖象上各最高點(diǎn)到點(diǎn)(0,3)的距離的最小值為1，求yg(x)的單調(diào)遞增區(qū)間解：(1)由題意知f(x)abmsin 2xncos 2x.因?yàn)閥f(x)的圖象過(guò)點(diǎn)和，所以即解得m，n1.(2)由(1)知f(x)sin 2xcos 2x2sin.由題意知g(x)f(x)2sin.設(shè)yg(x)的圖象上符合題意的最高點(diǎn)為(x0,2)，由題意知x11，所以x00，即到點(diǎn)(0,3)的距離為1的最高點(diǎn)為(0,2)將其代入yg(x)得sin1，因?yàn)?<<，所以.因此g(x)2sin2cos 2x.由2k2x2k，kZ得kxk，kZ.所以函數(shù)yg(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為，kZ.7. （xx遼寧，12分）在ABC中，內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，且a>c.已知2，cos B，b3.求：(1)a和c的值；(2)cos(BC)的值解：(1)由2得cacos B2，又cos B，所以ac6.由余弦定理，得a2c2b22accos B.又b3，所以a2c292213.解得a2，c3或a3，c2.因a>c，所以a3，c2.(2)在ABC中，sin B，由正弦定理，得sin Csin B.因ab>c，所以C為銳角，因此cos C.于是cos(BC)cos Bcos Csin Bsin C.8（xx湖南，5分）已知a，b是單位向量，ab0.若向量c滿(mǎn)足|cab|1，則|c|的取值范圍是()A1，1B1，2C1，1 D1，2解析：本小題主要考查單位向量和向量的模的概念、向量垂直的條件，考查轉(zhuǎn)化化歸、數(shù)形結(jié)合、特殊與一般等數(shù)學(xué)思想由a，b為單位向量且ab0，可設(shè)a(1,0)，b(0,1)，又設(shè)c(x，y)，代入|cab|1得(x1)2(y1)21，又|c|，故由幾何性質(zhì)得 1|c| 1，即1|c|1.答案：A9（xx湖北，5分）已知點(diǎn)A(1,1)、B(1,2)、C(2，1)、D(3,4)，則向量在方向上的投影為()A. B.C D解析：本題考查向量的坐標(biāo)運(yùn)算及向量投影的概念，意在考查考生對(duì)基礎(chǔ)知識(shí)的掌握情況(2,1)，(5,5)，向量(2,1)在(5,5)上的投影為|cos，|，故選A.答案：A10（xx新課標(biāo)全國(guó)，5分）已知兩個(gè)單位向量a，b的夾角為60，cta(1t)b，若bc0，則t_.解析：本題考查平面向量的數(shù)量積運(yùn)算，意在考查考生的運(yùn)算求解能力根據(jù)數(shù)量積bc0，把已知兩向量的夾角轉(zhuǎn)化到兩向量數(shù)量積的運(yùn)算中因?yàn)橄蛄縜，b為單位向量，所以b21，又向量a，b的夾角為60，所以ab，由bc0得bta(1t)b0，即tab(1t)b20，所以t(1t)0，所以t2.答案：211（xx浙江，4分）設(shè)e1，e2為單位向量，非零向量bxe1ye2，x，yR.若e1，e2的夾角為，則的最大值等于_解析：本題考查向量的概念、運(yùn)算、函數(shù)的最值等知識(shí)，考查轉(zhuǎn)化與化歸能力、函數(shù)與方程思想以及靈活利用知識(shí)分析問(wèn)題、解決問(wèn)題的能力當(dāng)x0時(shí)，0，當(dāng)x0時(shí)，24，所以的最大值是2，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取到最大值答案：212（xx天津，5分）在平行四邊形ABCD中， AD1，BAD60，E為CD的中點(diǎn)若1, 則AB的長(zhǎng)為_(kāi)解析：本題考查平面向量的運(yùn)算，意在考查考生的運(yùn)算求解能力設(shè)|x，x0，則x.又()()1x2x1，解得x，即AB的長(zhǎng)為.答案：13.（xx湖南，5分）在等腰直角三角形ABC中，ABAC4，點(diǎn)P是邊AB上異于A，B的一點(diǎn)，光線(xiàn)從點(diǎn)P出發(fā)，經(jīng)BC，CA反射后又回到點(diǎn)P(如圖)若光線(xiàn)QR經(jīng)過(guò)ABC的重心，則AP等于()A2B1C. D.解析：本小題主要考查對(duì)稱(chēng)性和解析法，考查轉(zhuǎn)化化歸、數(shù)形結(jié)合等數(shù)學(xué)思想以AB、AC所在直線(xiàn)分別為x軸、y軸建立平面直角坐標(biāo)系，則A(0,0)，B(4,0)，C(0,4)，得ABC的重心D，設(shè)APx，從而P(x,0)，x(0,4)，由光的幾何性質(zhì)可知點(diǎn)P關(guān)于直線(xiàn)BC、AC的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)P1(4,4x)、P2(x,0)與ABC的重心D共線(xiàn)，所以，求得x.答案：D14（xx遼寧，12分）設(shè)向量a(sin x，sin x)，b(cos x，sin x)，x.(1)若|a|b|，求x的值；(2)設(shè)函數(shù)f(x)ab，求f(x)的最大值解：本題考查向量與三角函數(shù)的綜合應(yīng)用，側(cè)重考查三角函數(shù)的性質(zhì)(1)由|a|2(sin x)2(sin x)24sin2x，|b|2(cos x)2(sin x)21，及|a|b|，得4sin2x1.又x，從而sin x，所以x.(2)f(x)absin xcos xsin2xsin 2xcos 2xsin，當(dāng)x時(shí)，sin取最大值1.所以f(x)的最大值為.15（xx遼寧，5分）已知兩個(gè)非零向量a，b滿(mǎn)足|ab|ab|，則下面結(jié)論正確的是()AabBabC|a|b| Dabab解析：由|ab|ab|，兩邊平方并化簡(jiǎn)得ab0，又a，b都是非零向量，所以ab.答案：B16（xx湖南，5分）在ABC中，AB2，AC3，1，則BC()A. B.C2 D.解析：設(shè)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c.1，即accos B1.在ABC中，再根據(jù)余弦定理b2a2c22accos B，及ABc2，ACb3，可得a23，即BC.答案：A17（2011廣東，5分）若向量a，b，c滿(mǎn)足ab且ac，則c(a2b)()A4 B3C2 D0解析：由ab及ac，得bc，則c(a2b)ca2cb0.答案：D18（2011遼寧，5分）若a，b，c均為單位向量，且ab0，(ac)(bc)0，則|abc|的最大值為()A.1 B1C. D2解析：由已知條件，向量a，b，c都是單位向量可以求出，a21，b21，c21，由ab0，及(ac)(bc)0，可以知道，(ab)cc21，因?yàn)閨abc|2a2b2c22ab2ac2bc，所以有|abc|232(acbc)1，故|abc|1.答案：B