2019-2020年高考數(shù)學(xué)專題復(fù)習(xí) 第11講 函數(shù)與方程練習(xí) 新人教A版考情展望1.考查具體函數(shù)的零點個數(shù)和零點的取值范圍.2.利用函數(shù)零點求解參數(shù)的取值范圍.3.考查函數(shù)零點、方程的根和兩函數(shù)圖象交點橫坐標(biāo)的等價轉(zhuǎn)化思想和數(shù)形結(jié)合思想一、函數(shù)零點1定義：對于函數(shù)yf(x)(xD)，把使f(x)0成立的實數(shù)x叫做函數(shù)yf(x)(xD)的零點2函數(shù)零點與方程根的關(guān)系：方程f(x)0有實根函數(shù)yf(x)的圖象與x軸有交點函數(shù)yf(x)有零點3零點存在性定理：如果函數(shù)yf(x)在區(qū)間a，b上的圖象是連續(xù)不斷的一條曲線，并且有f(a)f(b)<0，那么函數(shù)yf(x)在區(qū)間(a，b)內(nèi)有零點，即存在x0(a，b)，使得f(x0)0.對函數(shù)零點的認(rèn)知(1)并不是所有的函數(shù)都有零點，如函數(shù)f(x).(2)函數(shù)的零點不是點，是方程f(x)0的根二、二次函數(shù)yax2bxc(a>0)的圖象與零點的關(guān)系b24ac>00<0二次函數(shù)yax2bxc (a>0)的圖象與x軸的交點(x1,0)，(x2,0)(x1,0)無交點零點個數(shù)210二次函數(shù)f(x)ax2bxc(a0)的零點分布情況根的分布(mnp為常數(shù))圖象滿足的條件x1x2m (兩根都小于m)mx1x2 (兩根都大于m)x1mx2 (一根大于m，一根小于m)f(m)0x1，x2(m，n) (兩根位于m，n之間)mx1nx2p (兩根分別位于m與n，n與p之間)只有一根在m，n之間或f(m)f(n)0三、二分法對于在區(qū)間a，b上連續(xù)不斷且f(a)f(b)0的函數(shù)yf(x)，通過不斷地把函數(shù)f(x)的零點所在的區(qū)間一分為二，使區(qū)間的兩個端點逐步逼近零點，進而得到零點近似值的方法叫做二分法1若函數(shù)f(x)x2mx1有兩個零點，則實數(shù)m的取值范圍是()A(1,1)B(2,2)C(，2)(2，) D(，1)(1，)【解析】依題意，m240，m2或m2.【答案】C2在下列區(qū)間中，函數(shù)f(x)ex4x3的零點所在的區(qū)間為()A.B.C.D.【解析】顯然f(x)ex4x3的圖象連續(xù)不間斷，又f10，f20.由零點存在定理知，f(x)在內(nèi)存在零點【答案】C3函數(shù)f(x)xx的零點的個數(shù)為()A0B1 C2D3【解析】在同一平面直角坐標(biāo)系內(nèi)作出y1x與y2x的圖象如圖所示，易知，兩函數(shù)圖象只有一個交點因此函數(shù)f(x)xx只有1個零點【答案】B4已知函數(shù)f(x)x2xa在區(qū)間(0,1)上有零點，則實數(shù)a的取值范圍是_【解析】函數(shù)f(x)x2xa在(0,1)上遞增由已知條件f(0)f(1)0，即a(a2)0，解得2a0.【答案】(2,0)5(xx重慶高考)若a<b<c，則函數(shù)f(x)(xa)(xb)(xb)(xc)(xc)(xa)的兩個零點分別位于區(qū)間()A(a，b)和(b，c)內(nèi)B(，a)和(a，b)內(nèi)C(b，c)和(c，)內(nèi)D(，a)和(c，)內(nèi)【解析】f(x)(xa)(xb)(xb)(xc)(xc)(xa)，f(a)(ab)(ac)，f(b)(bc)(ba)，f(c)(ca)(cb)，a<b<c，f(a)>0，f(b)<0，f(c)>0，f(x)的兩個零點分別位于區(qū)間(a，b)和(b，c)內(nèi)【答案】A6(xx天津高考)函數(shù)f(x)2x|log0.5x|1的零點個數(shù)為()A1B2C3D4【解析】令f(x)2x|log0.5x|10，可得|log0.5x|x.設(shè)g(x)|log0.5x|，h(x)x，在同一坐標(biāo)系下分別畫出函數(shù)g(x)，h(x)的圖象，可以發(fā)現(xiàn)兩個函數(shù)圖象一定有2個交點，因此函數(shù)f(x)有2個零點【答案】B考向一 031函數(shù)零點的求解與判斷(1)(xx天津高考)函數(shù)f(x)2xx32在區(qū)間(0,1)內(nèi)的零點個數(shù)是()A0B1C2D3(2)(xx廣州模擬)設(shè)函數(shù)yx3與yx2的圖象的交點為(x0，y0)，則x0所在的區(qū)間(端點值為連續(xù)整數(shù)的開區(qū)間)是_【思路點撥】(1)先根據(jù)零點存在性定理證明有零點，再根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性判斷零點的個數(shù)(2)畫出兩個函數(shù)的圖象尋找零點所在的區(qū)間【嘗試解答】(1)因為f(x)2xln 23x2>0，所以函數(shù)f(x)2xx32在(0,1)上遞增，且f(0)1021<0，f(1)2121>0，所以有1個零點(2)設(shè)f(x)x3x2，則x0是函數(shù)f(x)的零點在同一坐標(biāo)系下畫出函數(shù)yx3與yx2的圖象，如圖所示f(1)1110，f(2)8070f(1)f(2)0，x0(1,2)【答案】(1)B(2)(1,2)規(guī)律方法1 確定函數(shù)f(x)零點所在區(qū)間的常用方法,(1)解方程法：當(dāng)對應(yīng)方程f(x)0易解時，可先解方程，再看求得的根是否落在給定區(qū)間上；(2)利用函數(shù)零點的存在性定理：首先看函數(shù)yf(x)在區(qū)間a，b上的圖象是否連續(xù)，再看是否有f(a)f(b)0.若有，則函數(shù)yf(x)在區(qū)間(a，b)內(nèi)必有零點.(3)數(shù)形結(jié)合法：通過畫函數(shù)圖象，觀察圖象與x軸在給定區(qū)間上是否有交點來判斷.對點訓(xùn)練(1)函數(shù)f(x)cos x在0，)內(nèi)()A沒有零點B有且僅有一個零點C有且僅有兩個零點 D有無窮多個零點(2)(xx廈門模擬)函數(shù)f(x)ln(x2)的零點所在的大致區(qū)間是()A(1,2) B(2,3)C(3,4) D(4,5)【解析】(1)令f(x)cos x0，則cos x，設(shè)函數(shù)y和ycos x，在同一坐標(biāo)系下做出它們在0，)的圖象，顯然兩函數(shù)的圖象的交點有且只有一個，所以函數(shù)f(x)cos x在0，)內(nèi)有且僅有一個零點(2)由題意知函數(shù)f(x)的定義域為x|x2，排除A.f(3)0，f(4)ln 20，f(5)ln 30，f(3)f(4)0，f(4)f(5)0，函數(shù)f(x)的零點在(3,4)之間，故選C.【答案】(1)B(2)C考向二 032函數(shù)零點的應(yīng)用已知函數(shù)g(x)x(x0)若g(x)m有實數(shù)根，求m的取值范圍；【思路點撥】可用基本不等式求出最值或數(shù)形結(jié)合法求解【嘗試解答】法一g(x)x22e，等號成立的條件是xe，故g(x)的值域是2e，)，因此，只需m2e，則g(x)m就有零點故當(dāng)g(x)m有實數(shù)根時，m的取值范圍為2e，)法二 作出g(x)x(x0)的大致圖象如圖：可知若使g(x)m有零點，則只需m2e.故當(dāng)g(x)m有實數(shù)根時，m的取值范圍為2e，)規(guī)律方法2 已知函數(shù)有零點求參數(shù)取值范圍常用的方法和思路,(1)直接法：直接根據(jù)題設(shè)條件構(gòu)建關(guān)于參數(shù)的不等式，再通過解不等式確定參數(shù)范圍；(2)分離參數(shù)法：先將參數(shù)分離，轉(zhuǎn)化成求函數(shù)值域問題加以解決；(3)數(shù)形結(jié)合法：先對解析式變形，在同一平面直角坐標(biāo)系中，畫出函數(shù)的圖象，然后數(shù)形結(jié)合求解.對點訓(xùn)練(1)(xx山東省實驗中學(xué)模擬)函數(shù)f(x)2xa的一個零點在區(qū)間(1,2)內(nèi)，則實數(shù)a的取值范圍是()A(1,3)B(1,2)C(0,3)D(0,2)(2)(xx撫順模擬)已知函數(shù)f(x)(aR)，若函數(shù)f(x)在R上有兩個零點，則a的取值范圍是()A(，1) B(，1C1,0) D(0,1【解析】(1)由題意可知f(1)f(2)0，即a(a3)0，所以0a3.(2)當(dāng)x0時，f(x)2x1，由f(x)0得x.要使f(x)在R上有兩個零點，則必須2xa0在(，0上有解又當(dāng)x(，0時，2x(0,1故所求a的取值范圍是(0,1【答案】(1)C(2)D思想方法之七解決方程根問題的一大“利器”數(shù)形結(jié)合利用函數(shù)處理方程解的問題，方法如下：(1)方程f(x)a在區(qū)間I上有解ay|yf(x)，xI，yf(x)與ya的圖象在區(qū)間I上有交點(2)方程f(x)a在區(qū)間I上有幾個解yf(x)與ya的圖象在區(qū)間I上有幾個交點一般地，在探究方程解的個數(shù)或已知解的個數(shù)求參數(shù)的范圍時，常采用轉(zhuǎn)化與化歸的思想將問題轉(zhuǎn)化為兩函數(shù)圖象的交點個數(shù)問題，從而可利用數(shù)形結(jié)合的方法給予直觀解答1個示范例1個對點練(xx錦州模擬)偶函數(shù)f(x)滿足f(x1)f(x1)，且在x0,1時，f(x)x，則關(guān)于x的方程f(x)x在x0,4上解的個數(shù)是()A1B2C3D4【解析】根據(jù)f(x1)f(x1)可得函數(shù)f(x)的周期為2，根據(jù)函數(shù)f(x)是偶函數(shù)以及f(x1)f(x1)可得f(1x)f(1x)，所以這個函數(shù)的圖象關(guān)于直線x1對稱根據(jù)函數(shù)f(x)在0,1上的解析式可以畫出函數(shù)f(x)在0,4上的圖象，結(jié)合圖象可得函數(shù)f(x)x在0,4上有4個解(xx濟南模擬)已知函數(shù)f(x)若方程f(x)a0有三個不同的實數(shù)根，則實數(shù)a的取值范圍為()A(1,3)B(0,3)C(0,2) D(0,1)【解析】畫出函數(shù)f(x)的圖象如圖所示，觀察圖象可知，若方程f(x)a0有三個不同的實數(shù)根，則函數(shù)yf(x)的圖象與直線ya有3個不同的交點，此時需滿足0a1，故選D.【答案】D