2019-2020年高考數(shù)學(xué)專題復(fù)習(xí) 第30講 等比數(shù)列練習(xí) 新人教A版考情展望1.運(yùn)用基本量法求解等比數(shù)列問題.2.以等比數(shù)列的定義及等比中項(xiàng)為背景，考查等比數(shù)列的判定.3.客觀題以等比數(shù)列的性質(zhì)及基本量的運(yùn)算為主，突出“小而巧”的特點(diǎn)，解答題注重函數(shù)與方程、分類討論等思想的綜合應(yīng)用一、等比數(shù)列證明an是等比數(shù)列的兩種常用方法(1)定義法：若q(q為非零常數(shù)且n2且nN*)，則an是等比數(shù)列(2)中項(xiàng)公式法：在數(shù)列an中，an0且aanan2(nN*)，則數(shù)列an是等比數(shù)列二、等比數(shù)列的性質(zhì)1對(duì)任意的正整數(shù)m、n、p、q，若mnpq2k，則amanapaqa.2通項(xiàng)公式的推廣：anamqnm(m，nN*)3公比不為1的等比數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn，則Sn，S2nSn，S3nS2n仍成等比數(shù)列，其公比為qn；當(dāng)公比為1時(shí)，Sn，S2nSn，S3nS2n不一定構(gòu)成等比數(shù)列4若數(shù)列an，bn(項(xiàng)數(shù)相同)是等比數(shù)列，則an，a，anbn，(0)仍是等比數(shù)列等比數(shù)列的單調(diào)性單調(diào)遞增a10，q1或者a10,0q1單調(diào)遞減a10,0q1或者a10，q1常數(shù)數(shù)列a10，q1擺動(dòng)數(shù)列q01已知an是等比數(shù)列，a22，a5，則公比q等于()AB2C2D.【解析】由題意知：q3，q.【答案】D2設(shè)Sn為等比數(shù)列an的前n項(xiàng)和，8a2a50，則()A11 B8 C5 D11【解析】8a2a50，得8a2a2q3，又a20，q2，則S511a1，S2a1，11.【答案】A3公比為2的等比數(shù)列an的各項(xiàng)都是正數(shù)，且a3a1116，則log2a10()A4 B5 C6 D7【解析】由題意aa3a1116，且a70，a74，a10a7q342325，從而log2a105.【答案】B4在等比數(shù)列an中，若公比q4，且前3項(xiàng)之和等于21，則該數(shù)列的通項(xiàng)公式an_.【解析】S321，q4，21，a11，an4n1.【答案】4n15(xx大綱全國卷)已知數(shù)列an滿足3an1an0，a2，則an的前10項(xiàng)和等于()A6(1310) B.(1310)C3(1310) D3(1310)【解析】由3an1an0，得，故數(shù)列an是公比q的等比數(shù)列又a2，可得a14.所以S103(1310). 【答案】C6(xx江西高考)等比數(shù)列x,3x3,6x6，的第四項(xiàng)等于()A24 B0C12 D24【解析】由題意知(3x3)2x(6x6)，即x24x30，解得x3或x1(舍去)，所以等比數(shù)列的前3項(xiàng)是3，6，12，則第四項(xiàng)為24.【答案】A考向一 090等比數(shù)列的基本運(yùn)算(1)(xx北京高考)若等比數(shù)列an滿足a2a420，a3a540，則公比q_；前n項(xiàng)和Sn_.(2)等比數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn，已知S1，S3，S2成等差數(shù)列求an的公比q；若a1a33，求Sn.【思路點(diǎn)撥】建立關(guān)于a1與公比q的方程，求出基本量a1和公比，代入等比數(shù)列的通項(xiàng)公式與求和公式【嘗試解答】(1)設(shè)出等比數(shù)列的公比，利用已知條件建立關(guān)于公比的方程求出公比，再利用前n項(xiàng)和公式求Sn.設(shè)等比數(shù)例an的首項(xiàng)為a1，公比為q，則：由a2a420得a1q(1q2)20.由a3a540得a1q2(1q2)40.由解得q2，a12.故Sn2n12.【答案】2,2n12(2)S1，S3，S2成等差數(shù)列，a1(a1a1q)2(a1a1qa1q2)由于a10，故2q2q0，又q0，從而q.由已知可得a1a1()23，故a14，從而Sn.規(guī)律方法11.等比數(shù)列基本量的運(yùn)算是等比數(shù)列中的一類基本問題，數(shù)列中有五個(gè)量a1，n，q，an，Sn，一般可以“知三求二”，體現(xiàn)了方程思想的應(yīng)用.2.在使用等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式時(shí)，應(yīng)根據(jù)公比q的情況進(jìn)行分類討論，此外在運(yùn)算過程中，還應(yīng)善于運(yùn)用整體代換思想簡(jiǎn)化運(yùn)算.對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練(1)(xx遼寧高考)已知等比數(shù)列an為遞增數(shù)列，且aa10,2(anan2)5an1，則數(shù)列an的通項(xiàng)公式an_.(2)(xx晉州模擬)已知數(shù)列an是公差不為零的等差數(shù)列，a12，且a2，a4，a8成等比數(shù)列求數(shù)列an的通項(xiàng)公式；求數(shù)列3an的前n項(xiàng)和【解析】(1)設(shè)數(shù)列an的首項(xiàng)為a1，公比為q，aa10,2(anan2)5an1.由得a1q；由知q2或q，又?jǐn)?shù)列an為遞增數(shù)列，a1q2，從而an2n.【答案】2n(2)設(shè)數(shù)列an的公差為d(d0)，由題意得aa2a8，即(a13d)2(a1d)(a17d)又a12，所以d2或d0(舍去)an2n.由可知3an32n9n.故數(shù)列3an的前n項(xiàng)和為(9n1)考向二 091等比數(shù)列的判定與證明(xx荊州模擬)成等差數(shù)列的三個(gè)正數(shù)的和等于15，并且這三個(gè)數(shù)分別加上2、5、13后成為等比數(shù)列bn中的b3、b4、b5.(1)求數(shù)列bn的通項(xiàng)公式；(2)數(shù)列bn的前n項(xiàng)和為Sn，求證：數(shù)列是等比數(shù)列【思路點(diǎn)撥】正確設(shè)出等差數(shù)列的三個(gè)正數(shù)，利用等比數(shù)列的性質(zhì)解出公差d，從而求出數(shù)列bn的首項(xiàng)、公比；利用等比數(shù)列的定義可解決第(2)問【嘗試解答】(1)設(shè)成等差數(shù)列的三個(gè)正數(shù)分別為ad，a，ad.依題意，得adaad15，解得a5.所以bn中的b3，b4，b5依次為7d,10,18d.依題意，(7d)(18d)100，解之得d2或d13(舍去)，b35，公比q2，因此b1.故bn2n152n3.(2)證明由(1)知b1，公比q2，Sn52n2，則Sn52n2，因此S1，2(n2)數(shù)列Sn是以為首項(xiàng)，公比為2的等比數(shù)列規(guī)律方法21.本題求解常見的錯(cuò)誤：(1)計(jì)算失誤，不注意對(duì)方程的根(公差d)的符號(hào)進(jìn)行判斷；(2)不能靈活運(yùn)用數(shù)列的性質(zhì)簡(jiǎn)化運(yùn)算.2.要判定一個(gè)數(shù)列不是等比數(shù)列，則只需判定其任意的連續(xù)三項(xiàng)不成等比即可.對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練(1)在正項(xiàng)數(shù)列an中，a12，點(diǎn)(，)(n2)在直線xy0上，則數(shù)列an的前n項(xiàng)和Sn_.(2)數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn，若anSnn，cnan1，求證：數(shù)列cn是等比數(shù)列，并求an的通項(xiàng)公式【解析】(1)由題意知0，an2an1(n2)，數(shù)列an是首項(xiàng)為2，公比為2的等比數(shù)列Sn2n12.【答案】2n12(2)證明anSnn，a1S11，得a1，c1a11.又an1Sn1n1，anSnn，2an1an1，即2(an11)an1.又a11，即，數(shù)列cn是以為首項(xiàng)，以為公比的等比數(shù)列則cnn1n，an的通項(xiàng)公式ancn11n.考向三 092等比數(shù)列的性質(zhì)及應(yīng)用(1)設(shè)等比數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn，若S6S312，則S9S3等于()A12B23C34D13(2)(xx衡水模擬)在等比數(shù)列an中，若a7a8a9a10，a8a9，則_.【思路點(diǎn)撥】(1)借助S3，S6S3，S9S6成等比求解(2)應(yīng)用等比數(shù)列的性質(zhì)a7a10a8a9求解【嘗試解答】(1)由等比數(shù)列的性質(zhì)：S3、S6S3、S9S6仍成等比數(shù)列，于是(S6S3)2S3(S9S6)，將S6S3代入得.(2)法一a7a8a9a10，a8a9a7a10，.法二由題意可知得，即，所以.【答案】(1)C(2)規(guī)律方法3在解決等比數(shù)列的有關(guān)問題時(shí)，要充分挖掘隱含條件，利用性質(zhì)，特別是“若mnpq，則amanapaq”，可以減少運(yùn)算量，提高解題速度.對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練(1)(xx課標(biāo)全國卷)已知an為等比數(shù)列，a4a72，a5a68，則a1a10()A7B5C5D7(2)(xx大連模擬)已知等比數(shù)列an滿足an0，n1,2，且a5a2n522n(n3)，則log2a1log2a3log2a2n1等于()An(2n1) B(n1)2 Cn2 D(n1)2【解析】(1)由于a5a6a4a78，a4a72，a4，a7是方程x22x80的兩根，解之得a44，a72或a42，a74.q3或q32.當(dāng)q3時(shí)，a1a10a7q34(2)(2)()7，當(dāng)q32時(shí)，a1a10a7q34(2)7.(2)a5a2n5a22n，且an0，an2n，a2n122n1，log2a2n12n1，log2a1log2a3log2a2n1135(2n1)n2.【答案】(1)D(2)C 思想方法之十三分類討論思想在等比數(shù)列求和中的應(yīng)用分類討論的實(shí)質(zhì)是將整體化為部分來解決其求解原則是不復(fù)重，不遺漏，討論的方法是逐類進(jìn)行在數(shù)列的學(xué)習(xí)中，也有多處知識(shí)涉及到分類討論思想 ，具體如下所示：(1)前n項(xiàng)和Sn與其通項(xiàng)an的關(guān)系：an(2)等比數(shù)列的公比q是否為1；(3)在利用公式Sn求和時(shí)，數(shù)列的項(xiàng)的個(gè)數(shù)為偶數(shù)還是奇數(shù)等等求解以上問題的關(guān)鍵是找準(zhǔn)討論的切入點(diǎn)，分類求解1個(gè)示范例1個(gè)對(duì)點(diǎn)練(xx天津高考)已知首項(xiàng)為的等比數(shù)列an不是遞減數(shù)列，其前n項(xiàng)和為Sn(nN*)，且S3a3，S5a5，S4a4成等差數(shù)列(1)求數(shù)列an的通項(xiàng)公式；(2)設(shè)TnSn(nN*)，求數(shù)列Tn的最大項(xiàng)的值與最小項(xiàng)的值【解】(1)設(shè)等比數(shù)列an的公比為q，因?yàn)镾3a3，S5a5，S4a4成等差數(shù)列，所以S5a5S3a3S4a4S5a5，即4a5a3，于是q2.又an不是遞減數(shù)列且a1，所以q.故等比數(shù)列an的通項(xiàng)公式為ann1(1)n1.(2)由(1)得Sn1n當(dāng)n為奇數(shù)時(shí)，Sn隨n的增大而減小，所以1SnS1，故0SnS1.當(dāng)n為偶數(shù)時(shí)，Sn隨n的增大而增大，所以S2Sn1，故0SnS2.所以數(shù)列Tn最大項(xiàng)的值為，最小項(xiàng)的值為.(xx青島模擬)已知數(shù)列dn滿足dnn，等比數(shù)列an為遞增數(shù)列，且aa10,2(anan2)5an1，nN*.(1)求an；(2)令cn1(1)nan，不等式ckxx(1k100，kN*)的解集為M，求所有dkak(kM)的和【解】(1)設(shè)an的首項(xiàng)為a1，公比為q，所以(a1q4)2a1q9，解得a1q，又因?yàn)?(anan2)5an1，所以2(ananq2)5anq，則2(1q2)5q,2q25q20，解得q(舍)或q2，所以an22n12n.(2)cn1(1)nan1(2)n，dnn，當(dāng)n為偶數(shù)，cn12n2 014，即2n2 013，不成立；當(dāng)n為奇數(shù)，cn12n2 014，即2n2 013，因?yàn)?101 024,2112 048，所以n2m1,5m49，則dk組成首項(xiàng)為11，公差為2的等差數(shù)列，ak(kM)組成首項(xiàng)為211，公比為4的等比數(shù)列，則所有dkak(kM)的和為2 475.