2019-2020年高考數(shù)學(xué)大一輪復(fù)習(xí) 第六章 第36課 平面向量的數(shù)量積要點導(dǎo)學(xué)平面向量數(shù)量積的運算(1) 已知|a|=4,|b|=5,且a與b的夾角為60,求(2a+3b)(3a-2b)的值.(2) 已知|a|=3,|b|=2,a與b的夾角為60,c=3a+5b,d=ma-3b.當(dāng)m為何值時,cd?當(dāng)m為何值時,cd?思維引導(dǎo)根據(jù)數(shù)量積的運算律來進行計算.解答(1) (2a+3b)(3a-2b)=6a2-4ab+9ab-6b2=6a2+5ab-6b2=642+545cos60-652=96+50-150=-4.(2) 因為cd,所以c=d,所以3a+5b=(ma-3b),所以3a+5b=ma-3b,所以解得因為cd,所以cd=0,所以(3a+5b)(ma-3b)=0,所以3ma2-9ab+5mab-15b2=0,所以3m9-932cos60+5m32cos60-1522=0,所以m=.精要點評數(shù)量積的運算律自身的特點要弄清,模和夾角是數(shù)量積計算中必須關(guān)注的兩個關(guān)鍵因素.(xx蘇北四市期末)在平面四邊形ABCD中,已知AB=3,DC=2,點E,F分別在邊AD,BC上,且=3,=3.若向量與的夾角為60,則的值為.思維引導(dǎo)由題意可知與為目標向量,求的值的關(guān)鍵是將用與線性表示.答案7解析由題意得=+,且=+,將以上兩式相加,得2=+=(+)+,=+,于是=+,從而=+=9+32cos60=7.利用向量的數(shù)量積求模和夾角已知向量x=a-b,y=2a+b,且|a|=|b|=1,ab,求x與y的夾角的余弦值.思維引導(dǎo)根據(jù)數(shù)量積的定義式的等價變形cos =,可求得兩個向量的夾角.解答因為|x|2=x2=a2-2ab+b2=1-0+1=2,|y|2=y2=4a2+4ab+b2=5,xy=2a2-ab-b2=1,所以cos =.(xx南京、鹽城二模)已知|=1,|=2,AOB=,=+,那么與的夾角大小為.答案60解析由題意得=|cosAOB=-1,=+=1+(-1)=,|=,故cosAOC=,則AOC=60.向量數(shù)量積的綜合應(yīng)用如圖,在矩形ABCD中,AB=,BC=2,點E為BC的中點,點F在邊CD上.若=,則=.(例3)思維引導(dǎo)利用=+,=+,=+進行運算與求值.答案解析由題意得=+,所以=(+)=+=cos 0=,從而得到=1,=-1.又=+,=+,所以=(+)(+)=+=-(-1)+12=.【題組強化重點突破】1. (xx淮安、宿遷摸底)已知非零向量a,b滿足(a-2b)a,(b-2a)b,那么向量a與b的夾角為.答案解析設(shè)向量a與b的夾角為,由(a-2b)a,(b-2a)b,得|a|2-2ab=0,|b|2-2ab=0,即|a|=|b|,所以cos =,又0,故=.2. (xx南京、鹽城一模)在ABC中,BC=2,A=,則的最小值為.答案-解析設(shè)AB=x,AC=y,由余弦定理得22=x2+y2-2xycos,即4=x2+y2+xy2xy+xy,故xy,當(dāng)且僅當(dāng)x=y時取等號,=|cosA=-xy-=-,即的最小值為-.3. (xx蘇中三市、宿遷一調(diào))在ABC中,D是BC的中點,AD=8,BC=20,則的值為.答案-36解析方法一:因為=+,=+,所以=(+)(+)=-=64-100=-36.方法二:以BC為x軸,點D為原點建立平面直角坐標系,則B(-10,0),C(10,0),A(8cos,8sin),所以=(-10-8cos,-8sin)(10-8 cos,-8sin)=64 cos2-100+64 sin2=64-100=-36.方法三:以BC為x軸,點D為原點建立平面直角坐標系,則B(-10,0),C(10,0),A(xA,yA).由AD=8,則+=64.又=(-10-xA,-yA)(10-xA,-yA)=-100+=64-100=-36.4. (xx南通期末)若向量a=(cos,sin),b=(cos,sin),且|a+b|2ab,則cos(-)的值是.答案1解析由題意得2cos(-),且cos(-)0,所以2+2cos(-)4cos2(-),所以cos(-)-12cos(-)+10,所以cos(-)1,所以cos(-)=1.在平面直角坐標系xOy中,已知點A(1,0),B(0,1),C(2,5),D是AC上的動點,滿足=(R).(1) 求|2+|的值;(2) 求cosBAC;(3) 若,求實數(shù)的值.規(guī)范答題 (1) 因為=(-1,1),=(1,5),所以2+=(-1,7).(2分)所以|2+|=5.(4分)(2) cosBAC=.(9分)(3) =-=(1,5)-(-1,1)=(+1,5-1).(11分)因為,所以=0,(13分)即(+1)1+(5-1)(-1)=0,解得=.(14分)1. (xx江西卷)已知單位向量e1與e2的夾角為,且cos=,向量a=3e1-2e2,b=3e1-e2,a與b的夾角為,那么cos=.答案解析cos=.2. (xx全國卷)設(shè)向量a,b滿足|a+b|=,|a-b|=,則ab=.答案1解析由已知得|a+b|2=10,|a-b|2=6,兩式相減,得4ab=4,所以ab=1.3. 已知兩個單位向量a,b的夾角為60,c=ta+(1-t)b,若bc=0,那么t=.答案24. 已知向量a=(2,1),ab=10,|a+b|=5,那么|b|=.答案5解析(a+b)2=50=a2+2ab+b2,解得|b|=5.溫馨提醒趁熱打鐵,事半功倍.請老師布置同學(xué)們完成配套檢測與評估中的練習(xí)(第71-72頁).