2019-2020年高考數(shù)學(xué)專題復(fù)習(xí) 第47講 二項(xiàng)分布及其應(yīng)用練習(xí) 新人教A版考情展望1.考查條件概率的理解和應(yīng)用.2.考查獨(dú)立事件相互獨(dú)立事件的概率求法.3.以解答題形式結(jié)合實(shí)際問題對獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)與二項(xiàng)分布進(jìn)行考查一、條件概率及其性質(zhì)條件概率的定義條件概率的性質(zhì)設(shè)A、B為兩個事件，且P(A)0，稱P(B|A)為在事件A發(fā)生的條件下，事件B發(fā)生的條件概率(1)0P(B|A)1(2)若B、C是兩個互斥事件，則P(BC|A)P(B|A)P(C|A)二、事件的相互獨(dú)立性設(shè)A、B為兩個事件，如果P(AB)P(A)P(B)，則稱事件A與事件B相互獨(dú)立三、獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)與二項(xiàng)分布1獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)在相同條件下重復(fù)做的n次試驗(yàn)稱為n次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)，即若用Ai(i1,2，n)表示第i次試驗(yàn)結(jié)果，則P(A1A2A3An)P(A1)P(A2)P(A3)P(An)2二項(xiàng)分布在n次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)中，設(shè)事件A發(fā)生的次數(shù)為X，在每次試驗(yàn)中事件A發(fā)生的概率為p，那么在n次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)中，事件A恰好發(fā)生k次的概率為P(Xk)Cpk(1p)nk(k0,1,2，n)，此時稱隨機(jī)變量X服從二項(xiàng)分布，記作XB(n，p)，并稱p為成功概率1判斷某事件發(fā)生是否是獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)，關(guān)鍵有兩點(diǎn)(1)在同樣的條件下重復(fù)，相互獨(dú)立進(jìn)行(2)試驗(yàn)結(jié)果要么發(fā)生，要么不發(fā)生2判斷一個隨機(jī)變量是否服從二項(xiàng)分布，要看兩點(diǎn)(1)是否為n次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)(2)隨機(jī)變量是否為在這n次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)中某事件發(fā)生的次數(shù)1設(shè)隨機(jī)變量B，則P(3)的值是()A.B.C.D.【解析】P(3)C363.【答案】B2小王通過英語聽力測試的概率是，他連續(xù)測試3次，那么其中恰有1次獲得通過的概率是()A. B. C. D.【解析】所求概率PC131.【答案】A3袋中有5個小球(3白2黑)，現(xiàn)從袋中每次取一個球，不放回地抽取兩次，則在第一次取到白球的條件下，第二次取到白球的概率是()A. B. C. D.【解析】在第一次取到白球的條件下，在第二次取球時，袋中有2個白球和2個黑球共4個球，所以取到白球的概率P，故選C.【答案】C4某次知識競賽規(guī)則如下：在主辦方預(yù)設(shè)的5個問題中，選手若能連續(xù)正確回答出兩個問題，即停止答題，晉級下一輪假設(shè)某選手正確回答每個問題的概率都是0.8，且每個問題的回答結(jié)果相互獨(dú)立則該選手恰好回答了4個問題就晉級下一輪的概率等于_【解析】此選手恰好回答4個問題就晉級下一輪，說明此選手第2個問題回答錯誤，第3、第4個問題均回答正確，第1個問題答對答錯都可以因?yàn)槊總€問題的回答結(jié)果相互獨(dú)立，故所求的概率為10.20.820.128.【答案】0.1285(2011湖北高考)如圖1081，用K、A1、A2三類不同的元件連接成一個系統(tǒng)當(dāng)K正常工作且A1、A2至少有一個正常工作時，系統(tǒng)正常工作已知K、A1、A2正常工作的概率依次為0.9、0.8、0.8，則系統(tǒng)正常工作的概率為()圖1081A0.960 B0.864 C0.720 D0.576【解析】A1，A2均不能正常工作的概率P(12)P(1)P(2)1P(A1)1P(A2)0.20.20.04.K，A1，A2相互獨(dú)立，系統(tǒng)正常工作的概率為P(K)1P(12)0.9(10.04)0.864.【答案】B6(xx遼寧高考)兩個實(shí)習(xí)生每人加工一個零件，加工為一等品的概率分別為和，兩個零件是否加工為一等品相互獨(dú)立，則這兩個零件中恰有一個一等品的概率為()A. B. C. D.【解析】記兩個零件中恰有一個一等品的事件為A，則P(A).【答案】B考向一 192條件概率從1,2,3,4,5中任取2個不同的數(shù)，事件A“取到的2個數(shù)之和為偶數(shù)”，事件B“取到的2個數(shù)均為偶數(shù)”，則P(B|A)等于()A.B.C.D.【思路點(diǎn)撥】利用條件概率的計(jì)算公式P(B|A)計(jì)算【嘗試解答】P(A)，P(AB).由條件概率計(jì)算公式，得P(B|A).【答案】B規(guī)律方法11.利用定義，分別求P(A)和P(AB)，得,P(B|A).這是通用的求條件概率的方法.,2.借助古典概型概率公式，先求事件A包含的基本事件數(shù)n(A)，再求事件A與事件B的交事件中包含的基本事件數(shù)，即n(AB)，得P(B|A).對點(diǎn)訓(xùn)練(1)設(shè)A、B為兩個事件，若事件A和B同時發(fā)生的概率為，在事件A發(fā)生的條件下，事件B發(fā)生的概率為，事件A發(fā)生的概率為_(2)有一批種子的發(fā)芽率為0.9，出芽后的幼苗成活率為0.8，在這批種子中，隨機(jī)抽取一粒，則這粒種子能成長為幼苗的概率為_【解析】(1)由題意知：P(AB)，P(B|A)，P(A).(2)設(shè)種子發(fā)芽為事件A，種子成長為幼苗為事件AB(發(fā)芽，又成活為幼苗)，出芽后的幼苗成活率為：P(B|A)0.8，P(A)0.9.根據(jù)條件概率公式P(AB)P(B|A)P(A)0.90.80.72，即這粒種子能成長為幼苗的概率為0.72.【答案】(1)(2)0.72考向二 193相互獨(dú)立事件的概率(xx大綱全國卷)甲、乙、丙三人進(jìn)行羽毛球練習(xí)賽，其中兩人比賽，另一人當(dāng)裁判，每局比賽結(jié)束時，負(fù)的一方在下一局當(dāng)裁判設(shè)各局中雙方獲勝的概率均為，各局比賽的結(jié)果相互獨(dú)立，第1局甲當(dāng)裁判(1)求第4局甲當(dāng)裁判的概率；(2)X表示前4局中乙當(dāng)裁判的次數(shù)，求X的數(shù)學(xué)期望【思路點(diǎn)撥】(1)由相互獨(dú)立事件同時發(fā)生的概率公式求解；(2)前4局乙當(dāng)裁判的次數(shù)可能為0,1,2，仿(1)的思路分別計(jì)算各自的概率并代入數(shù)學(xué)期望公式求解【解】(1)記A1表示事件“第2局結(jié)果為甲勝”，A2表示事件“第3局甲參加比賽時，結(jié)果為甲負(fù)”，A表示事件“第4局甲當(dāng)裁判”，則AA1A2，P(A)P(A1A2)P(A1)P(A2).(2)X的可能取值為0,1,2.設(shè)A3表示事件“第3局乙和丙比賽時，結(jié)果為乙勝丙”，B1表示事件“第1局結(jié)果為乙勝丙”，B2表示事件“第2局乙和甲比賽時，結(jié)果為乙勝甲”，B3表示事件“第3局乙參加比賽時，結(jié)果為乙負(fù)”則P(X0)P(B1B2A3)P(B1)P(B2)P(A3)，P(X2)P(B3)P()P(B3)，P(X1)1P(X0)P(X2)1，故EX0P(X0)1P(X1)2P(X2).規(guī)律方法21.應(yīng)用相互獨(dú)立事件同時發(fā)生的概率乘法公式求概率的步驟：(1)確定諸事件是相互獨(dú)立的；(2)確定諸事件是否同時發(fā)生；(3)先求出每個事件發(fā)生的概率，再求其積.2.求相互獨(dú)立事件同時發(fā)生的概率的方法主要有(1)利用相互獨(dú)立事件的概率乘法公式直接求解.(2)正面計(jì)算較繁或難以入手時，可從其對立事件入手計(jì)算.對點(diǎn)訓(xùn)練(xx重慶高考)甲、乙兩人輪流投籃，每人每次投一球約定甲先投且先投中者獲勝，一直到有人獲勝或每人都已投球3次時投籃結(jié)束設(shè)甲每次投籃投中的概率為，乙每次投籃投中的概率為，且各次投籃互不影響(1)求甲獲勝的概率；(2)求投籃結(jié)束時甲的投球次數(shù)的分布列與期望【解】設(shè)Ak、Bk分別表示甲、乙在第k次投籃投中，則P(Ak)，P(Bk)(k1,2,3)(1)記“甲獲勝”為事件C，由互斥事件有一個發(fā)生的概率與相互獨(dú)立事件同時發(fā)生的概率計(jì)算公式知P(C)P(A1)P( A2)P( A3)P(A1)P( )P( )P(A2)P( )P( )P()P()P(A3)22.(2)的所有可能值為1,2,3.由獨(dú)立性知P(1)P(A1)P(B1)，P(2)P( A2)P( B2)22，P(3)P( )22.綜上知，的分布列為123P所以E123.考向三 194獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)與二項(xiàng)分布(xx山東高考)甲、乙兩支排球隊(duì)進(jìn)行比賽，約定先勝3局者獲得比賽的勝利，比賽隨即結(jié)束除第五局甲隊(duì)獲勝的概率是外，其余每局比賽甲隊(duì)獲勝的概率都是，假設(shè)各局比賽結(jié)果相互獨(dú)立(1)分別求甲隊(duì)以30,31,32勝利的概率(2)若比賽結(jié)果為30或31，則勝利方得3分，對方得0分；若比賽結(jié)果為32，則勝利方得2分，對方得1分求乙隊(duì)得分X的分布列及數(shù)學(xué)期望【思路點(diǎn)撥】(1)根據(jù)題意確定每一個事件的比賽次數(shù)，由相互獨(dú)立事件的概率公式求概率(2)確定隨機(jī)變量X的所有可能取值，求出取每一個值時的概率即可得出分布列，從而求出數(shù)學(xué)期望【嘗試解答】(1)記“甲隊(duì)以30勝利”為事件A1，“甲隊(duì)以31勝利”為事件A2，“甲隊(duì)以32勝利”為事件A3，由題意，各局比賽結(jié)果相互獨(dú)立，故P(A1)3，P(A2)C2，P(A3)C22.所以甲隊(duì)以30勝利和以31勝利的概率都為，以32勝利的概率為.(2)設(shè)“乙隊(duì)以32勝利”為事件A4，由題意，各局比賽結(jié)果相互獨(dú)立，所以P(A4)C22.由題意，隨機(jī)變量X的所有可能的取值為0,1,2,3，根據(jù)事件的互斥性得P(X0)P(A1A2)P(A1)P(A2).又P(X1)P(A3)，P(X2)P(A4)，P(X3)1P(X0)P(X1)P(X2)，故X的分布列為X0123P所以EX0123.規(guī)律方法31.獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)是在同樣的條件下重復(fù)進(jìn)行，各次之間相互獨(dú)立地進(jìn)行的一種試驗(yàn).在這種試驗(yàn)中，每一次試驗(yàn)只有兩種結(jié)果，即某事件要么發(fā)生，要么不發(fā)生，并且任何一次試驗(yàn)中發(fā)生的概率都是一樣的.2.求復(fù)雜事件的概率，要正確分析復(fù)雜事件的構(gòu)成，看復(fù)雜事件能轉(zhuǎn)化為幾個彼此互斥的事件的和事件還是能轉(zhuǎn)化為幾個相互獨(dú)立事件同時發(fā)生的積事件，然后求概率.對點(diǎn)訓(xùn)練(xx遼寧高考)現(xiàn)有10道題，其中6道甲類題，4道乙類題，張同學(xué)從中任取3道題解答(1)求張同學(xué)至少取到1道乙類題的概率；(2)已知所取的3道題中有2道甲類題，1道乙類題設(shè)張同學(xué)答對每道甲類題的概率都是，答對每道乙類題的概率都是，且各題答對與否相互獨(dú)立用X表示張同學(xué)答對題的個數(shù)，求X的分布列和數(shù)學(xué)期望【解】(1)設(shè)事件A“張同學(xué)所取的3道題至少有1道乙類題”，則有“張同學(xué)所取的3道題都是甲類題”因?yàn)镻()，所以P(A)1P().(2)X所有的可能取值為0,1,2,3.P(X0)C0202；P(X1)C11C0202；P(X2)C20C1211；P(X3)C20.所以X的分布列為：X0123P所以E(X)01232.易錯易誤之十七因混淆二項(xiàng)分布與相互獨(dú)立事件而致誤1個示范例1個防錯練某射手每次射擊擊中目標(biāo)的概率是，且各次射擊的結(jié)果互不影響(1)假設(shè)這名射手射擊5次，求恰有2次擊中目標(biāo)的概率；(2)假設(shè)這名射手射擊5次，求有3次連續(xù)擊中目標(biāo)，另外2次未擊中目標(biāo)的概率；(3)假設(shè)這名射手射擊3次，每次射擊，擊中目標(biāo)得1分，未擊中目標(biāo)得0分，在3次射擊中，若有2次連續(xù)擊中，而另外1次未擊中，則額外加1分；若3次全擊中，則額外加3分，記為射手射擊3次后的總的分?jǐn)?shù)，求的分布列【解】(1)設(shè)X為射手在5次射擊中目標(biāo)的次數(shù)，則XB.在5次射擊中，恰有2次擊中目標(biāo)的概率P(X2)C23.(2)設(shè)“第i次射擊擊中目標(biāo)”為事件Ai(i1,2,3,4,5)；“射手在5次射擊中，有3次連續(xù)擊中目標(biāo)，另外2次未擊中目標(biāo)”為事件A，則P(A)P(A1A2A3 )P(A2A3A4)P( A3A4A5)32323.解答第(2)問易出現(xiàn)因不明獨(dú)立事件與獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)的區(qū)別誤認(rèn)為是n次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)，可導(dǎo)致求得PC32這一錯誤結(jié)果.(3)由題意可知，的所有可能取值為0,1,2,3,6，P(0)P( )3，P(1)P(A1 )P(A2)P( A3)22.P(2)P(A1A3)，P(3)P(A1A2)P(A2A3)22，P(6)P(A1A2A3)3，所以的分布列是01236P【防范措施】(1)正確區(qū)分獨(dú)立事件與n次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)是解決此類問題的關(guān)鍵.(2)判斷某事件發(fā)生是否是獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)，關(guān)鍵有兩點(diǎn)：在同樣的條件下重復(fù)，相互獨(dú)立進(jìn)行.,試驗(yàn)結(jié)果要么發(fā)生，要么不發(fā)生.某校要用三輛校車從新校區(qū)把教師接到老校區(qū)，已知從新校區(qū)到老校區(qū)有兩條公路，校車走公路堵車的概率為，不堵車的概率為；校車走公路堵車的概率為p，不堵車的概率為1p.若甲、乙兩輛校車走公路，丙校車由于其他原因走公路，且三輛車是否堵車相互之間沒有影響(1)若三輛校車中恰有一輛校車被堵的概率為，求走公路堵車的概率；(2)在(1)的條件下，求三輛校車中被堵車輛的個數(shù)的分布列和數(shù)學(xué)期望【解】(1)由已知條件得C(1p)2p，即3p1，則p.(2)解：可能的取值為0,1,2,3.P(0)；P(1)；P(2)C；P(3)的分布列為：0123P所以E0123.