2019-2020年高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 專題1 函數(shù)與導(dǎo)數(shù) 理 新人教版熱點一用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的性質(zhì)函數(shù)是高中數(shù)學(xué)的重點內(nèi)容,而函數(shù)的性質(zhì)又是高考命題的熱點,用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的性質(zhì)比用初等方法研究要方便得多,并且具有普遍的適用性.例1(xx安徽)若直線l與曲線C滿足下列兩個條件:(i)直線l在點P(x0,y0)處與曲線C相切;(ii)曲線C在點P附近位于直線l的兩側(cè).則稱直線l在點P處“切過”曲線C.下列命題正確的是.(寫出所有正確命題的編號)直線l:y=0在點P(0,0)處“切過”曲線C:y=x3;直線l:x=-1在點P(-1,0)處“切過”曲線C:y=(x+1)2;直線l:y=x在點P(0,0)處“切過”曲線C:y=sinx;直線l:y=x在點P(0,0)處“切過”曲線C:y=tanx;直線l:y=x-1在點P(1,0)處“切過”曲線C:y=lnx.【審題】本題考查切線與圖形的關(guān)系.【求解】對于,因為y=3x2,yx=0=0,所以l:y=0是曲線C:y=x3在點P(0,0)處的切線,畫圖可知曲線C在點P附近位于直線l的兩側(cè),正確;對于,因為y=2(x+1),yx=-1=0,所以l:x=-1不是曲線C:y=(x+1)2在點P(-1,0)處的切線,錯誤;對于,y=cosx,yx=0=1,所以曲線C在點P(0,0)處的切線為l:y=x,畫圖可知曲線C在點P附近位于直線l的兩側(cè),正確;對于,y=,yx=0=1,所以曲線C在點P(0,0)處的切線為l:y=x,畫圖可知曲線C在點P附近位于直線l的兩側(cè),正確;對于,y=,yx=1=1,所以曲線C在點P(1,0)處切線為l:y=x-1,又由h(x)=x-1-lnx(x>0)可得h(x)=1-,所以hmin(x)=h(1)=0,故x-1lnx,所以曲線C在點P附近位于直線l的下側(cè),錯誤.【答案】【易錯警示】錯誤的主要原因是思維定勢,對曲線在切線的兩側(cè)無法理解.【舉一反三】本題充分體現(xiàn)了導(dǎo)數(shù)的幾何意義.熱點二導(dǎo)數(shù)、函數(shù)與不等式用導(dǎo)數(shù)的方法研究與函數(shù)有關(guān)的不等式問題,是巧妙地構(gòu)造函數(shù),然后這個函數(shù)的單調(diào)性、極值、最值及特殊點的函數(shù)值,結(jié)合不等式的性質(zhì)來解決.例2(xx湖南)若0<x1<x2<1,則().【審題】本題主要考查函數(shù)的構(gòu)造,導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用,函數(shù)的單調(diào)性.【求解】依題可構(gòu)造函數(shù)f(x)= ,則f(x)= .當(dāng)x(0,1)時,f(x)<0,所以f(x)= 在區(qū)間(0,1)上遞減,故0<x1<x2<1時有f(x1)>f(x2),即x2>x1.【答案】C熱點三恒成立及求參數(shù)范圍問題恒成立問題可以轉(zhuǎn)化為我們較為熟悉的求最值的問題進(jìn)行求解,若不能分離參數(shù),可以將參數(shù)看成函數(shù)關(guān)系式中的常量,利用函數(shù)性質(zhì)求解.例3(xx湖南)已知函數(shù)f(x)=xcosx-sinx+1(x>0).(1)求f(x)的單調(diào)區(qū)間;(2)記xi為f(x)的從小到大的第i(iN*)個零點,證明:對一切nN*,有.【審題】本題主要考查導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用,函數(shù)的單調(diào)性,函數(shù)的零點,不等式的證明.(1)通過求導(dǎo),結(jié)合三角函數(shù)值的確定,根據(jù)導(dǎo)數(shù)值的正負(fù)情況來確定對應(yīng)的單調(diào)區(qū)間問題;(2)先根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性確定在對應(yīng)的區(qū)間內(nèi)至少存在一個零點,進(jìn)而確定對應(yīng)的不等式關(guān)系式,通過不等式的放縮來證明相應(yīng)的不等式成立問題.【求解】(1)f(x)=cosx-xsinx-cosx=-xsinx.令f(x)=0,得x=k(kN*).當(dāng)x(2k,(2k+1)(kN)時,sinx>0,此時f(x)<0.當(dāng)x(2k+1),(2k+2)(kN)時,sinx<0,此時f(x)>0.故f(x)的單調(diào)遞減區(qū)間為(2k,(2k+1)(kN),單調(diào)遞增區(qū)間為(2k+1),(2k+2)(kN).(2)由(1)知,f(x)在區(qū)間(0,)上單調(diào)遞減.又當(dāng)nN*時,因為f(n)f(n+1)=(-1)nn+1(-1)n+1(n+1)+1<0,且函數(shù)f(x)的圖象是連續(xù)不斷的,所以f(x)在區(qū)間(n,(n+1)內(nèi)至少存在一個零點.又f(x)在區(qū)間(n,(n+1)上是單調(diào)的,故n<xn+1<(n+1).因此當(dāng)n=1時, ;【技巧點撥】利用導(dǎo)數(shù)求最值解決恒成立問題時,注意f(x)>a恒成立f(x)min>a恒成立的轉(zhuǎn)化與應(yīng)用. 而對于證明不等式時得注意對不等式的放縮或數(shù)學(xué)歸納法的應(yīng)用等.熱點四利用導(dǎo)數(shù)識別函數(shù)圖象給出函數(shù)關(guān)系式描繪或者識別其圖象.除根據(jù)一般方法研究其性質(zhì)外,求導(dǎo)也有獨到的技巧.例4(xx江西)在同一直角坐標(biāo)系中,函數(shù)y=ax2-x+與y=a2x3-2ax2+x+a(aR)的圖象不可能是().【審題】本題主要考查函數(shù)的圖象及性質(zhì)、導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算,考查綜合應(yīng)用知識解決問題的能力、運(yùn)算求解能力.【求解】當(dāng)a=0時,D符合;當(dāng)a0時,函數(shù)y=ax2-x+的對稱軸為x=,對函數(shù)y=a2x3-2ax2+x+a,求導(dǎo)得y=3a2x2-4ax+1=(3ax-1)(ax-1),令y=0,x1=,x2=,所以對稱軸x=介于兩個極值點x1=,x2=之間,所以B是錯誤的.所以選擇B.【答案】B演練經(jīng)典習(xí)題1. (xx全國新課標(biāo))已知函數(shù)f(x)=ax3-3x2+1,若f(x)存在唯一的零點x0,且x0>0,則a的取值范圍是().A. (2,+)B. (1,+)C. (-,-2)D. (-,-1)2. (xx全國新課標(biāo))若函數(shù)f(x)=kx-lnx在區(qū)間(1,+)單調(diào)遞增,則k的取值范圍是().A. (-,-2B. (-,-1C. 2,+)D. 1,+)3. (xx遼寧)當(dāng)x-2,1時,不等式ax3-x2+4x+30恒成立,則實數(shù)a的取值范圍是().A. -5,-3B. C. -6,-2D. -4,-34. (xx江西)若曲線y=xlnx上點P處的切線平行于直線2x-y+1=0,則點P的坐標(biāo)是.5. (xx全國新課標(biāo))已知函數(shù)f(x)=x3-3x2+ax+2,曲線y=f(x)在點(0,2)處的切線與x軸交點的橫坐標(biāo)為-2.(1)求a;(2)證明:當(dāng)k<1時,曲線y=f(x)與直線y=kx-2只有一個交點.6. (xx重慶)已知函數(shù)f(x)= ,其中aR,且曲線y=f(x)在點(1,f(1)處的切線垂直于直線y=.求:(1)a的值;(2)函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間與極值.7. (xx東北三校聯(lián)合模擬)已知函數(shù)f(x)=(1+x)lnx.(1)求f(x)在x=1處的切線方程;(2)設(shè)g(x)= ,對任意x(0,1),g(x)<-2,求實數(shù)a的取值范圍.8. (xx海淀區(qū)期末)已知函數(shù)f(x)=ex(x2+ax-a),其中a是常數(shù).(1)當(dāng)a=1時,求曲線y=f(x)在點(1,f(1)處的切線方程;(2)求f(x)在區(qū)間0,+)上的最小值.9. (xx青島質(zhì)檢)已知函數(shù)f(x)= .(1)若不等式f(x)<k-xx對于x-2,3恒成立,求最小的正整數(shù)k;(2)令函數(shù),求曲線y=g(x)在(1,g(1)處的切線與兩坐標(biāo)軸圍成的三角形面積的最小值.參考答案與解析演練經(jīng)典習(xí)題1. C解析:顯然a=0時,函數(shù)有兩個不同的零點,不符合.當(dāng)a0時,由f(x)=3ax2-6x=0,得x1=0, x2=.當(dāng)a>0時,函數(shù)f(x)在(-, 0), 上單調(diào)遞增,在上單調(diào)遞減,又f(0)=1,所以函數(shù)f(x)存在小于0的零點,不符合題意;當(dāng)a<0時,函數(shù)f(x)在, (0, +)上單調(diào)遞減,在上單調(diào)遞增,所以只需,解得a<-2,所以選C.2. D解析: ,且x>0,由題可知f(x)0,即得kx-10,得x (k<0時不滿足),因為函數(shù)f(x)在區(qū)間(1, +)上單調(diào)遞增,所以1,解得k1.4. (e, e)解析:由題意知,y=lnx+1,直線斜率為2.由導(dǎo)數(shù)的幾何意義知,令lnx+1=2,得x=e,所以y=elne=e,所以P(e, e).5. (1) f(x)=3x2-6x+a, f(0)=a.曲線y=f(x)在點(0, 2)處的切線方程為y=ax+2.由題設(shè)得,所以a=1.(2) 證明:由(1)知,f(x)=x3-3x2+x+2.設(shè)g(x)=f(x)-kx+2=x3-3x2+(1-k)x+4,由題設(shè)知1-k>0.當(dāng)x0時,g(x)=3x2-6x+1-k>0,g(x)單調(diào)遞增,g(-1)=k-1<0, g(0)=4,所以g(x)=0在(-, 0上有唯一實根.當(dāng)x>0時,令h(x)=x3-3x2+4,則g(x)=h(x)+(1-k)x>h(x).h(x)=3x2-6x=3x(x-2), h(x)在(0, 2)上單調(diào)遞減,在(2, +)上單調(diào)遞增,所以g(x)>h(x)h(2)=0.所以g(x)=0在(0, +)上沒有實根.綜上,g(x)=0在R有唯一實根,即曲線y=f(x)與直線y=kx-2只有一個交點.6. (1) 對f(x)求導(dǎo)得,由f(x)在點(1, f(1)處的切線垂直于直線解得令f(x)=0,解得x=-1或x=5.因為x=-1不在f(x)的定義域(0, +)內(nèi),故舍去.當(dāng)x(0, 5)時,f(x)<0,故f(x)在(0, 5)上為減函數(shù);當(dāng)x(5, +)時,f(x)>0,故f(x)在(5, +)上為增函數(shù).由此知函數(shù)f(x)在x=5時取得極小值f(5)=-ln5.7. (1)由題意知函數(shù)f(x)的定義域為(0,+),因為，所以f(1)=2,且切點為(1,0).故f(x)在x=1處的切線方程為y=2x-2.設(shè)m(x)=x2+(2-4a)x+1,方程m(x)=0的判別式=16a(a-1).若a(0,1),0,m(x)0,h(x)0,h(x)在(0,1)上是增函數(shù),又h(1)=0,所以x(0,1)時,h(x)<0.若a(1+),>0,m(0)=1>0,m(1)=4(1-a)<0,故存在x0(0,1),使得m(x)<0,h(x)<0,h(x)在(x0,1)上是減函數(shù),又h(1)=0,故當(dāng)x(x0,1)時,h(x)>0.綜上,實數(shù)a的取值范圍是(0,1.8. (1)由f(x)=ex(x2+ax-a)可得f(x)=exx2+(a+2)x.當(dāng)a=1時,f(1)=e,f(1)=4e.所以曲線y=f(x)在點(1,f(1)處的切線方程為y-e=4e(x-1),即y=4ex-3e.(2)令f(x)=exx2+(a+2)x=0,解得x=-(a+2)或x=0.當(dāng)-(a+2)0,即a-2時,在區(qū)間0,+)上,f(x)0,所以f(x)在0,+)上單調(diào)遞增,所以f(x)在區(qū)間0,+)上的最小值為f(0)=-a;當(dāng)-(a+2)>0,即a<-2時,f(x),f(x)隨x的變化情況如下表:x0(0,-(a+2)-(a+2)(-(a+2),+)f(x)00+f(x)f(0)f(-(a+2)由上表可知函數(shù)f(x)在區(qū)間0,+)上的最小值為f(-(a+2)= .綜上可知,當(dāng)a-2時,f(x)在0,+)上的最小值為-a;當(dāng)a<-2時,f(x)在0,+)上的最小值為.9. (1)因為f(x)= ,所以f(x)=x2-1.令f(x)=x2-1=0,解得x=1.當(dāng)x變化時,f(x)和f(x)的變化如下:x-2(-2,-1)-1(-1,1)1(1,3)3f(x)+0-0+f(x)極大極小由上表可知,f(x)極大值=f(-1)= .又f(3)=6,f(-2)= ,比較可得,當(dāng)x-2,3時,f(x)max=f(3)=6.因為f(x)<k-2 005恒成立,所以k-2 005>6,即k>2 011.所以最小的正整數(shù)k=2 012.(2)因為,所以g(x)=x2-ax.所以g(1)=1-a.