2019-2020年高考數(shù)學(xué)大一輪復(fù)習(xí) 第九章 第53課 空間幾何體的表面積與體積要點(diǎn)導(dǎo)學(xué)與幾何體的表面積有關(guān)的問題(xx方城模擬)已知正四棱錐的底邊和側(cè)棱長均為3,那么該正四棱錐的外接球的表面積為.答案36解析由于正四棱錐的底邊和側(cè)棱長均為3,則此四棱錐底面正方形的外接圓即是外接球的一軸截面,故外接球的半徑是3,則該正四棱錐的外接球的表面積為432=36.如圖(1),在ABC中,AB=2,BC=2,ABC=120,若將ABC繞BC旋轉(zhuǎn)一周,求所形成的旋轉(zhuǎn)體的表面積.圖(1) 圖(2)(變式)解答如圖(2),過點(diǎn)A作ADBC,與CB交于點(diǎn)D,所得旋轉(zhuǎn)體是以AD為半徑、DC為高的圓錐,挖去一個(gè)以AD為半徑、DB為高的圓錐. 在ABC中,AB=2,BC=2,ABC=120,則AD=,AC=2,所以旋轉(zhuǎn)體表面積為AD(AC+AB)=(2+2)=2(1+).與幾何體的體積有關(guān)的問題(xx北京卷)如圖,在三棱柱ABC-A1B1C1中,側(cè)棱垂直于底面,ABBC,AA1=AC=2, BC=1,E,F分別為A1C1,BC的中點(diǎn).(例2)(1) 求證:平面ABE平面B1BCC1;(2) 求證:C1F平面ABE;(3) 求三棱錐E-ABC的體積.解答(1) 在三棱柱ABC-A1B1C1中,BB1底面ABC,所以BB1AB.又因?yàn)锳BBC,BB1BC=B,所以AB平面B1BCC1.因?yàn)锳B平面ABE,所以平面ABE平面B1BCC1.(2) 取AB的中點(diǎn)G,連接EG,FG.因?yàn)镋,F分別是A1C1,BC的中點(diǎn),所以FGAC,且FG=AC.因?yàn)锳CA1C1,且AC=A1C1,所以FCEC1,且FG=EC1,所以四邊形FGEC1為平行四邊形,所以C1FEG.又因?yàn)镋G平面ABE,C1F平面ABE,所以C1F平面ABE.(3) 因?yàn)锳A1=AC=2,BC=1,ABBC,所以AB=,所以三棱錐E-ABC的體積為V=SABCAA1=12=.精要點(diǎn)評(1) 正確地記憶和運(yùn)用公式是求多面體體積的前提;(2) 正確求某些關(guān)鍵量是求多面體體積的關(guān)鍵;(3) 對于不能直接求體積的復(fù)雜問題,要時(shí)刻關(guān)注轉(zhuǎn)化.(xx福建卷)如圖,在三棱錐A-BCD中,AB平面BCD,CDBD.(1) 求證:CD平面ABD;(2) 若AB=BD=CD=1,M為AD的中點(diǎn),求三棱錐A-MBC的體積.(變式)解答(1) 因?yàn)锳B平面BCD,CD平面BCD,所以ABCD.又CDBD,ABBD=B,AB平面ABD,BD平面ABD,所以CD平面ABD.(2) 由AB平面BCD,得ABBD.因?yàn)锳B=BD=1,所以SABD=.因?yàn)镸是AD的中點(diǎn),所以SABM=SABD=.由(1)知,CD平面ABD,因此VA-MBC=VC-ABM=SABMCD=.簡單幾何體的綜合問題如圖,在三棱柱ABC-A1B1C1中,AA1平面ABC,D,E分別為A1B1,AA1的中點(diǎn),點(diǎn)F在棱AB上,且AF=AB.(例3)(1) 求證:EF平面BDC1.(2) 在棱AC上是否存在一個(gè)點(diǎn)G,使得平面EFG將三棱柱分割成的兩部分體積之比為115?若存在,指出點(diǎn)G的位置;若不存在,請說明理由.思維引導(dǎo)(1) 取AB的中點(diǎn)M,由A1MBD可得EFBD,從而EF平面BDC1;(2) 假設(shè)AC上存在一點(diǎn)G,使平面EFG將三棱柱分割成兩部分的體積比為115,即=116,從而得出AG=AC>AC矛盾.解答(1) 如圖,取AB的中點(diǎn)M,因?yàn)锳F=AB,所以點(diǎn)F為AM的中點(diǎn),又因?yàn)辄c(diǎn)E為AA1的中點(diǎn),所以EFA1M.在三棱柱ABC-A1B1C1中,點(diǎn)D,M分別為A1B1,AB的中點(diǎn),所以A1DBM,A1D=BM,所以四邊形A1DBM為平行四邊形,所以A1MBD,所以EFBD.因?yàn)锽D平面BC1D,EF平面BC1D,所以EF平面BC1D.(2) 假設(shè)AC上存在一點(diǎn)G,使得平面EFG將三棱柱分割成兩部分的體積之比為115,則=116,因?yàn)?,所以=,所以AG=AC>AC,所以符合要求的點(diǎn)G不存在.(xx江西卷)如圖,在四棱錐P-ABCD中,ABCD為矩形,平面PAD平面ABCD.(1) 求證:ABPD;(2) 若BPC=90,PB=,PC=2,則AB為何值時(shí),四棱錐P-ABCD的體積最大?(變式)解答(1) 因?yàn)锳BCD為矩形,所以ABAD.又平面PAD平面ABCD,平面PAD平面ABCD=AD,所以AB平面PAD,故ABPD.(2) 過點(diǎn)P作POAD,垂足為O,過點(diǎn)O作OGBC垂足為G,連接PG,則PO平面ABCD,BC平面POG,BCPG.在RtBPC中,BC=,則PG=,GC=,BG=.設(shè)AB=m,則OP=,故四棱錐P-ABCD的體積為V=m=.因?yàn)閙=,所以當(dāng)m=,即AB=時(shí),四棱錐P-ABCD的體積最大.如圖(1),在直角梯形ABCD中,ABAD,ADBC,F為AD的中點(diǎn),點(diǎn)E在BC上,且EEAB.已知AB=AD=CE=2,沿線段EF把四邊形CDFE折起,使平面CDFE平面ABEF,如圖(2)所示.(1) 求證:AB平面BCE;(2) 求三棱錐C-ADE的體積. 圖(1) 圖(2)(范題賞析)規(guī)范答題(1) 在圖(1)中,EFAB,ABAD,所以EFAD.(2分)在圖(2)中,CEEF,又平面CDFE平面ABEF,且平面CDFE平面ABEF=EF,所以CE平面ABEF.又AB平面ABEF,所以CEAB.(5分)又ABBE,BECE=E,所以AB平面BCE.(7分)(2) 因?yàn)槠矫鍯DFE平面ABEF,且平面CDFE平面ABEF=EF,AFFE,AF平面ABEF,所以AF平面CDEF,(10分)所以AF為三棱錐A-CDE的高,且AF=1.又AB=CE=2,所以SCDE=22=2. (12分)所以 =AFSCDE=. (14分)1. 一個(gè)六棱錐的體積為2,其底面是邊長為2的正六邊形,側(cè)棱長都相等,則該六棱錐的側(cè)面積為.答案12解析設(shè)六棱錐的高為h,則V=Sh,所以46h=2,解得h=1,設(shè)斜高為h,則h2+()2=h2,所以h=2,所以,該六棱錐的側(cè)面積為226=12.2. 已知正方形ABCD的邊長為2,E,F分別為BC,DC的中點(diǎn),沿AE,EF,AF折成一個(gè)四面體,使B,C,D三點(diǎn)重合,則這個(gè)四面體的體積為.答案3. (xx山東卷)在三棱錐P-ABC中,D,E分別為PB,PC的中點(diǎn),記三棱錐D-ABE的體積為V1,P-ABC的體積為V2,則=.(第3題)答案解析如圖,由于D,E分別是邊PB與PC的中點(diǎn),所以SBDE=SPBC.又因?yàn)锳平面BDE的距離與點(diǎn)A到平面PBC的距離相等,所以=.4. 在如圖所示的幾何體中,平面ACE平面ABCD,四邊形ABCD為平行四邊形,ACB=90,EFBC,AC=BC=,AE=EC=1.(第4題)(1) 求證:AE平面BCEF;(2) 求三棱錐D-ACF的體積.解答(1) 因?yàn)槠矫鍭CE平面ABCD,且平面ACE平面ABCD=AC,BCAC,BC平面ABCD,所以BC平面AEC.又因?yàn)锳E平面AEC,所以BCAE.又AC=,AE=EC=1,所以AC2=AE2+CE2,所以AEEC.又因?yàn)锽CEC=C,所以AE平面ECBF.(2) 設(shè)AC的中點(diǎn)為G,連接EG,因?yàn)锳E=CE,所以EGAC.因?yàn)槠矫鍭CE平面ABCD,且平面ACE平面ABCD=AC,所以EG平面ABCD.因?yàn)镋FBC,EF平面ABCD,BC平面ABCD,所以EF平面ABCD,所以點(diǎn)F到平面ABCD的距離就等于點(diǎn)E到平面ABCD的距離,即點(diǎn)F到平面ABCD的距離為EG的長,所以=SACDEG.因?yàn)镾ACD=ACAD=1,EG=AC=,所以=1=,即三棱錐D-ACF的體積為.溫馨提醒趁熱打鐵,事半功倍.請老師布置同學(xué)們完成配套檢測與評估中的練習(xí)(第105-106頁).