2019-2020年高考數(shù)學大一輪復習 第四章 第29課 三角函數(shù)的綜合應用要點導學與三角函數(shù)f(x)=Asin(x+)模型有關的應用問題已知電流I與時間t的函數(shù)關系式為I=Asin(t+).(1) 如圖所示是I=Asin(t+)在一個周期內(nèi)的圖象,根據(jù)圖中數(shù)據(jù)求I=Asin(t+)的解析式;(2) 如果t在任意一段 s時間內(nèi),電流I=Asin(t+)都能取得最大值和最小值,那么的最小正整數(shù)值是多少?(例1)思維引導電流與時間的關系符合形如y=Asin(x+)的函數(shù)模型.解答(1) 由題圖知,函數(shù)解析式是I=300sin.(2) 如果t在任意一段 s時間內(nèi),電流I=Asin(t+)都能取得最大值和最小值,則T,即,所以300,所以的最小正整數(shù)值是943.精要點評電流強度的最大值和最小值,就是電流函數(shù)I=Asin(t+)的最大值和最小值.(xx湖北卷)某實驗室一天的溫度(單位:)隨時間t(單位:h)的變化近似滿足函數(shù)關系:f(t)=10-cost-sint,t0,24).(1) 求實驗室這一天的最大溫差;(2) 若要求實驗室溫度不高于11,則在哪段時間實驗室需要降溫?解答(1) 因為f(t)=10-cost-sint=10-2=10-2sin,又0t<24,所以t+<,-1sin1.當t=2時,sin=1,此時f(t)min=8.當t=14時,sin=-1,此時f(t)max=12.故實驗室這一天的最高溫度為12 ,最低溫度為8 ,最大溫差為4 .(2) 依題意,當f(t)>11時,實驗室需要降溫.由(1)得f(t)=10-2sin,令10-2sin>11,即sin<-.又0t<24,因此<t+<,即10<t<18.故在10時至18時實驗室需要降溫.與三角函數(shù)有關的應用問題已知扇形AOB的半徑為1,中心角為60,四邊形PQRS是扇形的內(nèi)接矩形,問:點P在怎樣的位置時,矩形PQRS的面積最大?并求出這個最大值.(例2)思維引導這是一道“如何在幾何圖形中選取適當?shù)淖兞?將題目轉(zhuǎn)化為與三角函數(shù)有關的簡單函數(shù)模型”的問題.連接OP,設POS=,則可表示出其他量,從而建立三角函數(shù)模型,進行求解.解答連接OP,設POS=,則PS=sin ,OS=cos ,OR=QRtan 30=PStan 30=sin ,從而RS=OS-OR=cos -sin .所以矩形PQRS的面積S=PSRS=sin =sin 2-=-=sin-.因為0<<,所以<2+<.所以Smax=,當且僅當=時取得.即點P在弧AB的中點時,矩形面積最大,且最大值為.精要點評要能選擇合理變量來表示其他量,同時要注意角的范圍對運算結(jié)果的影響.如圖,在半徑為2、圓心角為AOB=45的扇形的上任取一點P,作扇形的內(nèi)接平行四邊形PNMQ,使點Q在OA上,點M,N在OB上.設BOP=,PNMQ的面積為S.(1) 求S與之間的函數(shù)關系;(2) 求S的最大值及相應的值.(變式)解答(1) 如圖,分別過點P,Q作PDOB,QEOB,垂足分別為D,E,則S=MNPD=EDPD=(2cos -2sin )2sin =4sin cos -4sin2,.(2) S=2sin 2+2cos 2-2=2sin（2+）-2,所以當=時,Smax=2-2.(xx蘇州暑假調(diào)查)如圖,某自來水公司要在公路兩側(cè)排水管,公路為東西方向,在路北側(cè)沿直線l1排,在路南側(cè)沿直線l2排,現(xiàn)要在矩形區(qū)域ABCD內(nèi)沿直線將l1與l2接通.已知AB=60m,BC=80m,公路兩側(cè)排管費用為每米1萬元,穿過公路的部分的排管費用為每米2萬元,設EF與AB所成的小于90的角為.(1) 求矩形區(qū)域ABCD內(nèi)的排管費用W關于的函數(shù)關系式;(2) 求排管的最小費用及相應的角.(例3)解答(1) 如圖,過E作EMBC,垂足為M.由題意得MEF=,故有MF=60tan,EF=,AE+FC=80-60tan.所以W=(80-60tan)1+2=80-+=80-.(2) 方法一:設f()=,其中00<,tan0=,則f()=.令f()=0,得1-2sin=0,即sin=,得=.列表如下:f()+0-f()極大值所以當=時,有f()max=-,此時有Wmin=80+60.答:排管的最小費用為80+60萬元,相應的角=.方法二:f()=,當且僅當(1-sin)=(1+sin)時取等號,此時sin=,=.以下同方法一.在ABC中,已知AB=2,BC=1,CA=.分別在AB,BC,CA上取點D,E,F,使得DEF為正三角形,設FEC=.(范題賞析)(1) 若=60,求DEF的邊長;(2) 求DEF邊長的最小值.規(guī)范答題(1) 若=60,則FDCB.設正三角形DEF的邊長為a,有AF+CF=,即atan 60+asin 60=,解得a=. (5分)(2) 設正三角形DEF的邊長為a,則CF=asin ,AF=-asin .設EDB=1(A=30,B=60),所以1=180-B-DEB=120-DEB,=180-60-DEB=120-DEB,ADF=180-60-1=120-,則1=.(7分)在ADF中,=, (10分)即a2sin(120-)+sin =, (12分)所以a=.所以DEF邊長的最小值為. (14分)1. 若函數(shù)f(2x)的定義域是-1,0,則f(cos x)的定義域是.答案(kZ)解析因為-1x0,所以2x1,所以cos x1,所以x(kZ).2. 設直線l1:x-2y+2=0的傾斜角為1,直線l2:mx-y+4=0的傾斜角為2,且2=1+90,則m=.答案-2解析由題意得tan 1=,tan 2=m.因為2=1+90,所以tan 1tan 2=-1,即m=-2.3. 如圖所示為一半徑是3 m的水輪,水輪的圓心O距離水面2 m,已知水輪每分鐘旋轉(zhuǎn)4圈,水輪上的點P到水面的距離y(m)與時間x(s)滿足函數(shù)關系y=Asin(x+)+2(>0,A>0),則=,A=.(第3題)答案3解析水輪每分鐘旋轉(zhuǎn)4圈,故每秒鐘旋轉(zhuǎn)圈,所以T=15,所以=,A=3.4. 敲擊一次音叉A所發(fā)出的聲波可用函數(shù)y1=sin(400t)描述,敲擊一次音叉B所發(fā)出的聲波可用函數(shù)y2=sin(360t)描述,則兩個音叉所發(fā)出的音量較大的是.(填“A”或“B”)答案B解析(y1)max=,(y2)max=,(y1)max<(y2)max,故音量較大的為B.溫馨提醒趁熱打鐵,事半功倍.請老師布置同學們完成配套檢測與評估中的練習(第57-58頁).