第十七章 勾股定理 17.1 勾股定理 （第1課時(shí)） 復(fù)習(xí)引入 前面學(xué)習(xí)了三角形的有關(guān)知識，我們知道：三角形有三個(gè)角和三條邊： 問題1：三個(gè)角之間有什么關(guān)系？ 問題2：三條邊之間有何關(guān)系？ A B C 畢達(dá)哥拉斯的發(fā)現(xiàn) 相傳2500多年前，畢達(dá)哥拉斯有一次在朋友家作客時(shí)，發(fā)現(xiàn)朋友家用磚鋪成的地面圖案反映了直角三角形三邊的某種關(guān)系.我們也來觀察一下地面的圖案，看看能從中發(fā)現(xiàn)什么數(shù)量關(guān)系. 探究1 1 問題1 三個(gè)正方形的面積S1，S2，S3有什么關(guān)系？ S1+S2=S3 S1 S2 S3 a b c a2+b2=c2 是不是所有的直角三角形都是這樣的呢？是不是所有的直角三角形都是這樣的呢？ 圖1 圖1 探究2 2 問題2 觀察右邊兩個(gè)圖并填下表： 面積面積 圖圖 A B C 圖1 圖2 4 9 13 SC=S大正方形-4個(gè)S直角三角形 9 25 34 SA+SB=SC a b c a2+b2=c2 SC=S小正方形+4個(gè)S直角三角形 猜想 如果直角三角形兩直角邊分別如果直角三角形兩直角邊分別為為a、b，斜邊為，斜邊為c，那么，那么a2+b2=c2 a b c 證明 （趙爽弦圖） 圖3 .,22,)(214,)(,2222222222cbacaabbabcabababc即：所以小正方形的面積解：大正方形的面積 如果直角三角形兩直角邊分別為如果直角三角形兩直角邊分別為a、b， 斜邊為斜邊為c，那么，那么 222.abc即即 直角三角形兩直角邊的平方和直角三角形兩直角邊的平方和 等于斜邊的平方等于斜邊的平方. a b c 表示為：RtABC中，C=90， 則 .222cba結(jié)論 勾股定理勾股定理 應(yīng)用 1.1.成立條件成立條件： 在直角三角形在直角三角形 2.2.公式變形公式變形: : 222,acb222;bca3.3.作用作用：已知直角三角形任意兩邊長，：已知直角三角形任意兩邊長， 求第三邊長求第三邊長. . a b c 在中國古代，人們把彎曲成直角的手臂的上半部分稱為在中國古代，人們把彎曲成直角的手臂的上半部分稱為“勾”，下半部分稱為“股”“勾”，下半部分稱為“股”. .我國古代學(xué)者把直角三角我國古代學(xué)者把直角三角形較短的直角邊稱為“勾”，較長的直角邊稱為“股”，形較短的直角邊稱為“勾”，較長的直角邊稱為“股”，斜邊稱為“弦”斜邊稱為“弦”. . 勾勾 股股 數(shù)學(xué)小知識 勾股定理的由來 這個(gè)定理在中國又稱為這個(gè)定理在中國又稱為“商高定理商高定理”，商高是公，商高是公元前十一世紀(jì)的中國人元前十一世紀(jì)的中國人. .當(dāng)時(shí)中國的朝代是西周，當(dāng)時(shí)中國的朝代是西周，是奴隸社會時(shí)期是奴隸社會時(shí)期. .在中國古代大約是戰(zhàn)國時(shí)期西漢在中國古代大約是戰(zhàn)國時(shí)期西漢的數(shù)學(xué)著作的數(shù)學(xué)著作周髀算經(jīng)周髀算經(jīng)中記錄著商高同周公的中記錄著商高同周公的一段對話一段對話. .商高說：商高說：“故折矩，故折矩，勾廣三，股修四，勾廣三，股修四，經(jīng)隅五經(jīng)隅五. .”商高那段話的意思就是說：當(dāng)直角三角商高那段話的意思就是說：當(dāng)直角三角形的兩條直角邊分別為形的兩條直角邊分別為3 3（短邊）和（短邊）和4 4（長邊）時(shí)，（長邊）時(shí)，徑隅（就是弦）則為徑隅（就是弦）則為5 5. .以后人們就簡單地把這個(gè)以后人們就簡單地把這個(gè)事實(shí)說成事實(shí)說成“勾三股四弦五勾三股四弦五”. .由于勾股定理的內(nèi)容由于勾股定理的內(nèi)容最早見于商高的話中，所以人們就把這個(gè)定理叫最早見于商高的話中，所以人們就把這個(gè)定理叫做做“商高定理商高定理”. . 畢達(dá)哥拉斯（畢達(dá)哥拉斯（PythagorasPythagoras）是）是古希臘數(shù)學(xué)家，他是公元前五世古希臘數(shù)學(xué)家，他是公元前五世紀(jì)的人，紀(jì)的人，比商高晚出生五百多年比商高晚出生五百多年. .希臘另一位數(shù)學(xué)家歐幾里德希臘另一位數(shù)學(xué)家歐幾里德（EuclidEuclid，是公元前三百年左右，是公元前三百年左右的人）在編著的人）在編著幾何原本幾何原本時(shí)，時(shí)，認(rèn)為這個(gè)定理是畢達(dá)哥達(dá)斯最早認(rèn)為這個(gè)定理是畢達(dá)哥達(dá)斯最早發(fā)現(xiàn)的，所以他就把這個(gè)定理稱發(fā)現(xiàn)的，所以他就把這個(gè)定理稱為“畢達(dá)哥拉斯定理”，以后就為“畢達(dá)哥拉斯定理”，以后就流傳開了流傳開了. . 美國第二十任總統(tǒng)加菲爾德（美國第二十任總統(tǒng)加菲爾德（1831-1881）的證法在數(shù)學(xué)史）的證法在數(shù)學(xué)史上被傳為佳話上被傳為佳話 .人們?yōu)榱思o(jì)念他對勾股定理直觀、簡捷、易人們?yōu)榱思o(jì)念他對勾股定理直觀、簡捷、易懂、明了的證明，就把這一證法稱為“總統(tǒng)”證法懂、明了的證明，就把這一證法稱為“總統(tǒng)”證法. 有趣的總統(tǒng)證法有趣的總統(tǒng)證法 b c a b c a A B C D 我國有記載的最早勾股定理的證明，是三國時(shí)，我國古代數(shù)學(xué)家趙爽在他所著的勾股方囿圖注中，用四個(gè)全等的直角三角形拼成一個(gè)中空的正方形來證明的.每個(gè)直角三角形的面積叫朱實(shí)，中間的正方形面積叫黃實(shí)，大正方形面積叫弦實(shí)，這個(gè)圖也叫弦圖.年的國際數(shù)學(xué)家大會將此圖作為大會會徽 鞏固練習(xí)鞏固練習(xí) 教材P24 練習(xí)1、2題 課堂小結(jié) 1、勾股定理的內(nèi)容是什么？ 2、勾股定理總結(jié)的是什么數(shù)量關(guān)系？ 3、勾股定理有什么用途？ 作業(yè) 1、教科書P28第1、2、3題。 2、思考題：教科書P29 第10題