2019年高考數(shù)學(xué)總復(fù)習(xí) 第7章 第7節(jié) 數(shù)學(xué)歸納法課時跟蹤檢測 理（含解析）新人教版1用數(shù)學(xué)歸納法證明“2n>n21對于nn0的正整數(shù)n都成立”時，第一步證明中的起始值n0應(yīng)取()A2B3C5D6解析：選C令n0分別取2,3,5,6，依次驗證可得n05.故選C.2對于不等式<n1(nN*)，某同學(xué)用數(shù)學(xué)歸納法的證明過程如下：(1)當(dāng)n1時，<11，不等式成立(2)假設(shè)當(dāng)nk(kN*且k1)時，不等式成立，即<k1，則當(dāng)nk1時，<(k1)1.所以當(dāng)nk1時，不等式成立，則上述證法()A過程全部正確Bn1驗得不正確C歸納假設(shè)不正確D從nk到nk1的推理不正確解析：選D在nk1時，沒有應(yīng)用nk時的假設(shè)，所以不是數(shù)學(xué)歸納法故選D.3(xx汕頭一中月考)用數(shù)學(xué)歸納法證明等式：123n2(nN*)，則從nk到nk1時左邊應(yīng)添加的項為()Ak21B(k1)2C.D(k21)(k22)(k23)(k1)2解析：選D當(dāng)nk時，等式左邊123k2，當(dāng)nk1時，等式左邊123k2(k21)(k22)(k1)2，比較上述兩個式子，當(dāng)nk1時，等式左邊是在假設(shè)nk時等式成立的基礎(chǔ)上，等式的左邊加上了(k21)(k22)(k1)2，故選D.4某個命題與自然數(shù)n有關(guān)，若nk(kN*)時命題成立，那么可推得當(dāng)nk1時該命題也成立，現(xiàn)已知n5時，該命題不成立，那么可以推得()An6時該命題不成立Bn6時該命題成立Cn4時該命題不成立Dn4時該命題成立解析：選C方法一由nk(kN*)時命題成立，可推得當(dāng)nk1時該命題也成立因而若n4成立，必有n5成立現(xiàn)知n5不成立，所以n4一定不成立故選C.方法二其逆否命題為“若當(dāng)nk1時該命題不成立，則當(dāng)nk時也不成立”為真，故由“n5時不成立”可得“n4時不成立”故選C.5在用數(shù)學(xué)歸納法證明f(n)<1(nN*，n3)的過程中：假設(shè)當(dāng)nk(kN*，k3)時，不等式f(k)<1成立，則需證當(dāng)nk1時，f(k1)<1也成立若f(k1)f(k)g(k)，則g(k)()A.B.C.D.解析：選Bf(k1)，f(k)，f(k1)f(k)，g(k).故選B.6已知f(n)，則()Af(n)中共有n項，當(dāng)n2時，f(2)Bf(n)中共有n1項，當(dāng)n2時，f(2)Cf(n)中共有n2n項，當(dāng)n2時，f(2)Df(n)中共有n2n1項，當(dāng)n2時，f(2)解析：選D總項數(shù)為n2n1，f(2).故選D.7用數(shù)學(xué)歸納法證明“2n1n2n2(nN*)”時，第一步應(yīng)驗證_答案：當(dāng)n1時，左邊4右邊，故不等式成立8若f(n)122232(2n)2，則f(k1)與f(k)的遞推關(guān)系式是_解析：f(k1)f(k)(2k1)2(2k2)2f(k)1222(2k)2，f(k1)1222(2k)2(2k1)2(2k2)2；f(k1)f(k)(2k1)2(2k2)2.9設(shè)數(shù)列an的前n項和為Sn，且對任意的自然數(shù)n都有：(Sn1)2anSn，通過計算S1，S2，S3，猜想Sn_.解析：由(S11)2S得：S1；由(S21)2(S2S1)S2得：S2；由(S31)2(S3S2)S3得：S3.猜想Sn.10用數(shù)學(xué)歸納法證明：1222n22212，第二步證明由“k到k1”時，左邊應(yīng)添加的項為_解析：(k1)2k2當(dāng)nk時，左邊1222k22212；當(dāng)nk1時，左邊1222k2(k1)2k22212.故應(yīng)添加的項為(k1)2k2.11觀察下列各式1>，1>1，1>，1>2，1>，照此規(guī)律，寫出第n個式子，并加以證明解：猜想第n個不等式為1>(nN*)當(dāng)n1時，1>，猜想正確假設(shè)當(dāng)nk(k1且kN*)時猜想正確，即1>，當(dāng)nk1時，1>>.所以當(dāng)nk1時，猜想成立由知對于任意nN*不等式恒成立12各項都為正數(shù)的數(shù)列an滿足a11，aa2.(1)求數(shù)列an的通項公式；(2)求證：對一切nN*恒成立(1)解：aa2，數(shù)列a為首項為1，公差為2的等差數(shù)列，a1(n1)22n1，又an>0，則an. (2)證明：由(1)知，即證1.當(dāng)n1時，左邊1，右邊1，所以不等式成立當(dāng)n2時，左邊<右邊，所以不等式成立假設(shè)當(dāng)nk(k2，kN*)時不等式成立，即1，當(dāng)nk1時，左邊1<.所以當(dāng)nk1時不等式成立由知對一切nN*不等式恒成立1用數(shù)學(xué)歸納法證明不等式<(n2，nN*)的過程中，由nk遞推到nk1時不等式左邊()A增加了一項B增加了兩項、C增加了B中兩項但減少了一項D以上各種情況均不對解析：選C當(dāng)nk時，左邊，當(dāng)nk1時，左邊，比較兩式可得增加了兩項、，少了一項.故選C.2設(shè)數(shù)列an的前n項和為Sn，且方程x2anxan0有一根為Sn1，n1,2,3，.猜想數(shù)列Sn的通項公式為_解析：由題設(shè) (Sn1)2an(Sn1)an0，即S2Sn1anSn0.當(dāng)n2時，anSnSn1，代入上式得Sn1Sn2Sn10.由可得S1a1，由可得S2，S3.由此猜想Sn，n1,2,3，.3用數(shù)學(xué)歸納法證明>(k>1)，則當(dāng)nk1時，左端應(yīng)乘上_，這個乘上去的代數(shù)式共有因式的個數(shù)是_解析：2k1因為分母的公差為2，所以乘上去的第一個因式是(1)，最后一個是(1)，根據(jù)等差數(shù)列通項公式可求得共有12k2k12k1項4設(shè)數(shù)列an滿足a12，an1an(n1,2，)(1)求證：an>對一切正整數(shù)n都成立；(2)令bn，判斷bn與bn1的大小，并說明理由(1)證明：證法一：當(dāng)n1時，a12>，不等式成立假設(shè)當(dāng)nk(kN*，k1)時不等式成立，即ak>.當(dāng)nk1時，aa2>2k3>2(k1)1，因為a12，an1an(n1,2，)，所以an>0(nN*)所以當(dāng)nk1時不等式成立由知an>對一切正整數(shù)n都成立證法二：當(dāng)n1時，a12>，結(jié)論成立假設(shè)當(dāng)nk(kN*，k1)時結(jié)論成立，即ak>.當(dāng)nk1時，由函數(shù)f(x)x(x>1)的單調(diào)遞增性和歸納假設(shè)，知ak1ak>>.所以當(dāng)nk1時，結(jié)論成立由知an>對一切正整數(shù)n均成立(2)解：因為bn，可知bn>0，所以<<1.bn1<bn.