2019年高考數(shù)學(xué)總復(fù)習(xí) 第7章 第7節(jié) 數(shù)學(xué)歸納法課時跟蹤檢測 理(含解析)新人教版.doc
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2019年高考數(shù)學(xué)總復(fù)習(xí) 第7章 第7節(jié) 數(shù)學(xué)歸納法課時跟蹤檢測 理(含解析)新人教版.doc
2019年高考數(shù)學(xué)總復(fù)習(xí) 第7章 第7節(jié) 數(shù)學(xué)歸納法課時跟蹤檢測 理(含解析)新人教版1用數(shù)學(xué)歸納法證明“2n>n21對于nn0的正整數(shù)n都成立”時,第一步證明中的起始值n0應(yīng)取()A2B3C5D6解析:選C令n0分別取2,3,5,6,依次驗證可得n05.故選C.2對于不等式<n1(nN*),某同學(xué)用數(shù)學(xué)歸納法的證明過程如下:(1)當(dāng)n1時,<11,不等式成立(2)假設(shè)當(dāng)nk(kN*且k1)時,不等式成立,即<k1,則當(dāng)nk1時,<(k1)1.所以當(dāng)nk1時,不等式成立,則上述證法()A過程全部正確Bn1驗得不正確C歸納假設(shè)不正確D從nk到nk1的推理不正確解析:選D在nk1時,沒有應(yīng)用nk時的假設(shè),所以不是數(shù)學(xué)歸納法故選D.3(xx汕頭一中月考)用數(shù)學(xué)歸納法證明等式:123n2(nN*),則從nk到nk1時左邊應(yīng)添加的項為()Ak21B(k1)2C.D(k21)(k22)(k23)(k1)2解析:選D當(dāng)nk時,等式左邊123k2,當(dāng)nk1時,等式左邊123k2(k21)(k22)(k1)2,比較上述兩個式子,當(dāng)nk1時,等式左邊是在假設(shè)nk時等式成立的基礎(chǔ)上,等式的左邊加上了(k21)(k22)(k1)2,故選D.4某個命題與自然數(shù)n有關(guān),若nk(kN*)時命題成立,那么可推得當(dāng)nk1時該命題也成立,現(xiàn)已知n5時,該命題不成立,那么可以推得()An6時該命題不成立Bn6時該命題成立Cn4時該命題不成立Dn4時該命題成立解析:選C方法一由nk(kN*)時命題成立,可推得當(dāng)nk1時該命題也成立因而若n4成立,必有n5成立現(xiàn)知n5不成立,所以n4一定不成立故選C.方法二其逆否命題為“若當(dāng)nk1時該命題不成立,則當(dāng)nk時也不成立”為真,故由“n5時不成立”可得“n4時不成立”故選C.5在用數(shù)學(xué)歸納法證明f(n)<1(nN*,n3)的過程中:假設(shè)當(dāng)nk(kN*,k3)時,不等式f(k)<1成立,則需證當(dāng)nk1時,f(k1)<1也成立若f(k1)f(k)g(k),則g(k)()A.B.C.D.解析:選Bf(k1),f(k),f(k1)f(k),g(k).故選B.6已知f(n),則()Af(n)中共有n項,當(dāng)n2時,f(2)Bf(n)中共有n1項,當(dāng)n2時,f(2)Cf(n)中共有n2n項,當(dāng)n2時,f(2)Df(n)中共有n2n1項,當(dāng)n2時,f(2)解析:選D總項數(shù)為n2n1,f(2).故選D.7用數(shù)學(xué)歸納法證明“2n1n2n2(nN*)”時,第一步應(yīng)驗證_答案:當(dāng)n1時,左邊4右邊,故不等式成立8若f(n)122232(2n)2,則f(k1)與f(k)的遞推關(guān)系式是_解析:f(k1)f(k)(2k1)2(2k2)2f(k)1222(2k)2,f(k1)1222(2k)2(2k1)2(2k2)2;f(k1)f(k)(2k1)2(2k2)2.9設(shè)數(shù)列an的前n項和為Sn,且對任意的自然數(shù)n都有:(Sn1)2anSn,通過計算S1,S2,S3,猜想Sn_.解析:由(S11)2S得:S1;由(S21)2(S2S1)S2得:S2;由(S31)2(S3S2)S3得:S3.猜想Sn.10用數(shù)學(xué)歸納法證明:1222n22212,第二步證明由“k到k1”時,左邊應(yīng)添加的項為_解析:(k1)2k2當(dāng)nk時,左邊1222k22212;當(dāng)nk1時,左邊1222k2(k1)2k22212.故應(yīng)添加的項為(k1)2k2.11觀察下列各式1>,1>1,1>,1>2,1>,照此規(guī)律,寫出第n個式子,并加以證明解:猜想第n個不等式為1>(nN*)當(dāng)n1時,1>,猜想正確假設(shè)當(dāng)nk(k1且kN*)時猜想正確,即1>,當(dāng)nk1時,1>>.所以當(dāng)nk1時,猜想成立由知對于任意nN*不等式恒成立12各項都為正數(shù)的數(shù)列an滿足a11,aa2.(1)求數(shù)列an的通項公式;(2)求證:對一切nN*恒成立(1)解:aa2,數(shù)列a為首項為1,公差為2的等差數(shù)列,a1(n1)22n1,又an>0,則an. (2)證明:由(1)知,即證1.當(dāng)n1時,左邊1,右邊1,所以不等式成立當(dāng)n2時,左邊<右邊,所以不等式成立假設(shè)當(dāng)nk(k2,kN*)時不等式成立,即1,當(dāng)nk1時,左邊1<.所以當(dāng)nk1時不等式成立由知對一切nN*不等式恒成立1用數(shù)學(xué)歸納法證明不等式<(n2,nN*)的過程中,由nk遞推到nk1時不等式左邊()A增加了一項B增加了兩項、C增加了B中兩項但減少了一項D以上各種情況均不對解析:選C當(dāng)nk時,左邊,當(dāng)nk1時,左邊,比較兩式可得增加了兩項、,少了一項.故選C.2設(shè)數(shù)列an的前n項和為Sn,且方程x2anxan0有一根為Sn1,n1,2,3,.猜想數(shù)列Sn的通項公式為_解析:由題設(shè) (Sn1)2an(Sn1)an0,即S2Sn1anSn0.當(dāng)n2時,anSnSn1,代入上式得Sn1Sn2Sn10.由可得S1a1,由可得S2,S3.由此猜想Sn,n1,2,3,.3用數(shù)學(xué)歸納法證明>(k>1),則當(dāng)nk1時,左端應(yīng)乘上_,這個乘上去的代數(shù)式共有因式的個數(shù)是_解析:2k1因為分母的公差為2,所以乘上去的第一個因式是(1),最后一個是(1),根據(jù)等差數(shù)列通項公式可求得共有12k2k12k1項4設(shè)數(shù)列an滿足a12,an1an(n1,2,)(1)求證:an>對一切正整數(shù)n都成立;(2)令bn,判斷bn與bn1的大小,并說明理由(1)證明:證法一:當(dāng)n1時,a12>,不等式成立假設(shè)當(dāng)nk(kN*,k1)時不等式成立,即ak>.當(dāng)nk1時,aa2>2k3>2(k1)1,因為a12,an1an(n1,2,),所以an>0(nN*)所以當(dāng)nk1時不等式成立由知an>對一切正整數(shù)n都成立證法二:當(dāng)n1時,a12>,結(jié)論成立假設(shè)當(dāng)nk(kN*,k1)時結(jié)論成立,即ak>.當(dāng)nk1時,由函數(shù)f(x)x(x>1)的單調(diào)遞增性和歸納假設(shè),知ak1ak>>.所以當(dāng)nk1時,結(jié)論成立由知an>對一切正整數(shù)n均成立(2)解:因為bn,可知bn>0,所以<<1.bn1<bn.