2019年高中數(shù)學(xué) 3.1 第1課時(shí)歸納推理同步檢測 北師大版選修1-2一、選擇題1觀察下列數(shù)列的特點(diǎn)：1,2,2,3,3,3,4,4,4,4，則第100項(xiàng)是()A10 B13C14 D100答案C解析91，從第92項(xiàng)到第105項(xiàng)都是14，故選C.2觀察下圖中圖形的規(guī)律，在其右下角的空格內(nèi)適合的圖形為()A. BC D答案A解析圖形涉及三種符號、，其中符號與各有3個(gè)，且各自有二黑一白，所以缺一個(gè)黑色符號，即應(yīng)畫上才合適3用火柴棒擺“金魚”，如圖所示：按照上面的規(guī)律，第n個(gè)“金魚”圖形需要火柴棒的根數(shù)為()A6n2 B8n2C6n2 D8n2答案C解析歸納“金魚”圖形的構(gòu)成規(guī)律知，后面“金魚”都比它前面的“金魚”多了去掉尾巴后6根火柴組成的魚頭部分，故各“金魚”圖形所用火柴棒的根數(shù)構(gòu)成一首項(xiàng)為8，公差是6的等差數(shù)列，通項(xiàng)公式為an6n2.4已知數(shù)列an的前n項(xiàng)和Snn2an(n2)，而a11，猜想an等于()A. BC. D答案B解析由a11，Snn2an，得a2，a3，a4，猜想an，故應(yīng)選B.5如圖所示的是一串黑白相間排列的珠子，若按這種規(guī)律排列下去，那么第36顆珠子的顏色是()A白色 B黑色C白色的可能性大 D黑色的可能性大答案A解析由圖知，這串珠子的排列規(guī)律是：每5個(gè)一組(前3個(gè)是白色珠子，后2個(gè)是黑色珠子)呈周期性排列，而36571，即第36顆珠子正好是第8組中的第1顆珠子，其顏色與第一顆珠子的顏色相同，故它的顏色一定是白色6四個(gè)小動物換座位，開始是鼠、猴、兔、貓分別坐在第1,2,3,4號座位上(如圖所示)，如果第1次前后排動物互換座位，第2次左右列動物互換座位，這樣交替進(jìn)行下去，那么第2 013次互換座位后，小兔坐在第()號座位上()開始 第1次 第2次 第3次A1 B2C3 D4答案A解析由題意得第4次互換座位后，四個(gè)小動物回到了原位，即每經(jīng)過4次互換座位后，小動物回到原位，所以第2 013次互換座位后的結(jié)果與第1次互換座位后的結(jié)果相同，小兔坐在第1號座位上故選A.二、填空題7考查下列式子：112；23432,3456752,4567891072，得出的結(jié)論是_答案n(n1)(n2)(3n2)(2n1)2解析從數(shù)值特征看，等式左邊首數(shù)為n時(shí)，共有連續(xù)2n1個(gè)數(shù)，右邊為(2n1)2.8經(jīng)計(jì)算發(fā)現(xiàn)下列正確不等式：<2，<2，<2，根據(jù)以上不等式的規(guī)律，試寫出一個(gè)對正實(shí)數(shù)a，b成立的條件不等式：_.答案當(dāng)ab20時(shí)，有2(a>0，b>0)解析各不等式右邊相同，左邊兩根號內(nèi)的數(shù)之和等于20.三、解答題9已知Sn，寫出S1，S2，S3，S4的值，并由此歸納出Sn的表達(dá)式分析在Sn中分別令n1,2,3,4，可以求得S1，S2，S3，S4的值，再進(jìn)行歸納推測解析S1；S2；S3；S4；由此猜想：Sn(nN)點(diǎn)評本題利用歸納猜想的思想求得了Sn的表達(dá)式，有兩點(diǎn)應(yīng)注意：正確理解與把握數(shù)列求和中Sn的含義；在對特殊值進(jìn)行規(guī)律觀察時(shí)，有時(shí)需要將所得結(jié)果作變形處理，以顯示隱藏的規(guī)律性10某同學(xué)在一次研究性學(xué)習(xí)中發(fā)現(xiàn)，以下五個(gè)式子的值都等于同一個(gè)常數(shù)：sin213cos217sin13cos17；sin215cos215sin15cos15；sin218cos212sin18cos12；sin2(18)cos248sin(18)cos48；sin2(25)cos255sin(25)cos55.(1)試從上述五個(gè)式子中選擇一個(gè)，求出這個(gè)常數(shù)；(2)根據(jù)(1)的計(jì)算結(jié)果，將該同學(xué)的發(fā)現(xiàn)推廣為三角恒等式，并證明你的結(jié)論答案(1)(2)sin2cos2(30)sincos(30)證明略解析解法一：(1)選擇(2)式，計(jì)算如下：sin215cos215sin15cos151sin301.(2)三角恒等式為sin2cos2(30)sincos(30).證明如下：sin2cos2(30)sincos(30)sin2(cos30cossin30sin)2sin(cos30cossin30sin)sin2cos2sincossin2sincossin2sin2cos2.解法二：(1)同解法一(2)三角恒等式為sin2cos2(30)sincos(30).證明如下：sin2cos2(30)sincos(30)sin(cos30cossin30sin)cos2(cos60cos2sin60sin2)sincossin2cos2cos2sin2sin2(1cos2)1cos2cos2.一、選擇題11我們把1,4,9,16,25，這些數(shù)稱作正方形數(shù)，這是因?yàn)檫@些數(shù)目的點(diǎn)可以排成一個(gè)正方形(如下圖)，則第n個(gè)正方形數(shù)是()An(n1) Bn(n1)Cn2 D(n1)2答案C解析第n個(gè)正方形數(shù)的數(shù)目點(diǎn)可排成每邊都有n個(gè)點(diǎn)的正方形，故為n2.13平面內(nèi)的小圓形按照下圖中的規(guī)律排列，每個(gè)圖中的圓的個(gè)數(shù)構(gòu)成一個(gè)數(shù)列an，則下列結(jié)論正確的是()a515；數(shù)列an是一個(gè)等差數(shù)列；數(shù)列an是一個(gè)等比數(shù)列；數(shù)列an的遞推關(guān)系是anan1n(nN*)A BC D答案D解析由于a11，a23，a36，a410，所以有a2a12，a3a23，a4a34.因此必有a5a45，即a515，故正確同時(shí)正確，而an顯然不是等差數(shù)列也不是等比數(shù)列，故錯(cuò)誤，故選D.12如圖是元宵花燈展中一款五角星燈連續(xù)旋轉(zhuǎn)閃爍所成的三個(gè)圖形，照此規(guī)律閃爍，下一個(gè)呈現(xiàn)出來的圖形是()答案A解析由前三個(gè)圖形呈現(xiàn)出來的規(guī)律可知，下一個(gè)圖形可視作上一圖形順時(shí)針旋轉(zhuǎn)144得到的，故由第三個(gè)圖形順時(shí)針旋轉(zhuǎn)144得到的圖形應(yīng)為A.二、填空題14觀察下列不等式1<，1<，1<，照此規(guī)律，第五個(gè)不等式為_答案1<解析本題考查了歸納的思想方法觀察可知1<，所以第五個(gè)不等式為：1<.在用歸納法歸納一般性結(jié)論的時(shí)候，要養(yǎng)成檢驗(yàn)意識15如圖是由一些小正方體摞成的第(1)堆有1個(gè)，第(2)堆有4個(gè)，第(3)堆有10個(gè)，則第n堆有_個(gè)小正方體答案n(n1)(n2)解析第一堆有1個(gè)；第二堆有1(12)4個(gè)；第三堆有1(12)(123)10個(gè)；第n堆有1(12)(123)(12n)n(n1)(n2)個(gè)三、解答題16由下列各式：1>，1>1，1>，1>2，請你歸納出一般結(jié)論解析將題中所給四個(gè)式子變形>，1>，1>，1>，歸納概括，猜測得1>.17已知數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn，a1且Sn2an(n2，nN)，計(jì)算S1，S2，S3，S4，并猜想Sn的表達(dá)式解析當(dāng)n2時(shí)，anSnSn1，Sn2SnSn1.Sn120.當(dāng)n1時(shí)，S1a1；當(dāng)n2時(shí)，2S1，S2；當(dāng)n3時(shí)，2S2，S3；當(dāng)n4時(shí)，2S3，S4.猜想：Sn(nN)