2019-2020年高考數(shù)學(xué)專題復(fù)習(xí) 第16講 定積分與微積分基本定理練習(xí) 新人教A版考情展望1.利用微積分基本定理直接計(jì)算定積分的值.2.利用定積分的幾何意義，考查曲邊梯形的面積.3.利用定積分求變力做功、變速運(yùn)動(dòng)的質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)路程一、定積分的概念與性質(zhì)1定積分的定義如果函數(shù)f(x)在區(qū)間a，b上連續(xù)，用分點(diǎn)ax0<x1<<xi1<xi<<xnb將區(qū)間a，b等分成n個(gè)小區(qū)間，在每個(gè)小區(qū)間xi1，xi上任取一點(diǎn)i(i1,2，n)，作和式(i)xf(i)，當(dāng)n時(shí)，上述和式無限接近某個(gè)常數(shù)，這個(gè)常數(shù)叫做函數(shù)f(x)在區(qū)間a，b上的定積分，記作f(x)dx，即f(x)dxlif(i)2定積分的幾何意義(1)當(dāng)f(x)0時(shí)，定積分f(x)dx表示由直線xa，xb(ab)，y0和曲線yf(x)所圍成的曲邊梯形的面積(2)當(dāng)f(x)在a，b上有正有負(fù)時(shí)，如圖2131所示，圖2131則定積分f(x)dx表示介于x軸，曲線yf(x)以及直線xa，xb(ab)之間各部分曲邊梯形面積的代數(shù)和，即f(x)dxA1A3A2A4.3定積分的基本性質(zhì)kf(x)dxkf(x)dx.(k為常數(shù))f1(x)f2(x)dxf1(x)dxf2(x)dx.f(x)dxf(x)dxf(x)dx(其中a<c<b)定積分與曲邊梯形的面積如圖，設(shè)陰影部分面積為S.Sf(x)dx；Sf(x)dx；Sf(x)dxf(x)dx；Sf(x)dxg(x)dxf(x)g(x)dx.二、微積分基本定理一般地，如果f(x)是在區(qū)間a，b上的連續(xù)函數(shù)，且F(x)f(x)那么f(x)dxF(b)F(a)這個(gè)結(jié)論叫做微積分基本定理，又叫做牛頓萊布尼茲公式其中F(x)叫做f(x)的一個(gè)原函數(shù)為了方便，常把F(b)F(a)記作F(x)，即f(x)dxF(x)F(b)F(a)三、定積分在物理中的應(yīng)用變速直線運(yùn)動(dòng)作變速直線運(yùn)動(dòng)的物體所經(jīng)過的路程s，等于其速度函數(shù)vv(t)(v(t)0)在時(shí)間區(qū)間a，b上的定積分，即v(t)dt.變力做功如果物體在變力F(x)的作用下做直線運(yùn)動(dòng)，并且物體沿著與F(x)相同的方向從xa移動(dòng)到xb(ab)，那么變力F(x)所做的功為F(x)dx.1已知質(zhì)點(diǎn)的速度v10t，則從t0到tt0質(zhì)點(diǎn)所經(jīng)過的路程是()A10t B5t C.t D.t【解析】Svdt10tdt5t2t005t.【答案】B2求曲線yx2與yx所圍成圖形的面積，其中正確的是()AS(x2x)dx BS(xx2)dxCS(y2y)dy DS(y)dy【解析】由得或，S(xx2)dx，故選B.【答案】B3設(shè)f(x)，則1f(x)dx的值是()A.1x2dx B.12xdxC.1x2dx2xdx D.12xdxx2dx【解析】由分段函數(shù)的定義及積分運(yùn)算性質(zhì)，1f(x)dx12xdxx2dx.【答案】D4如果f(x)dx1，f(x)dx1，則f(x)dx_.【解析】f(x)dxf(x)dxf(x)dx1f(x)dx1，f(x)dx2.【答案】25(xx湖北高考)一輛汽車在高速公路上行駛，由于遇到緊急情況而剎車，以速度v(t)73t(t的單位：s，v的單位：m/s)行駛至停止在此期間汽車?yán)^續(xù)行駛的距離(單位：m)是()A125ln 5 B825ln C425ln 5 D450ln 2【解析】由v(t)73t0，可得t4，因此汽車從剎車到停止一共行駛了4 s，此期間行駛的距離為v(t)dtdt425ln 5.【答案】C6(xx湖南高考)若x2dx9，則常數(shù)T的值為_【解析】x2dxx39，T3.【答案】3考向一 044定積分的計(jì)算(1)(xx西安模擬)若0(sin xacos x)dx2，則實(shí)數(shù)a等于()A1B1C.D(2)定積分dx的值為()A9 B3 C. D.(3)設(shè)f(x)(e為自然對(duì)數(shù)的底數(shù))，則f(x)dx的值為_【思路點(diǎn)撥】(1)尋求使F(x)sin xacos x的F(x)，運(yùn)用微積分基本定理求值；(2)利用定積分的幾何意義求解；(3)f(x)是分段函數(shù)，故根據(jù)定積分的性質(zhì)把所求定積分轉(zhuǎn)化為兩個(gè)定積分和的形式求解【嘗試解答】(1)(asin xcos x)sin xacos x.0(sin xacos x)dx(asin xcos x)0(asin 0cos 0)a12.a1.(2)由定積分的幾何意義知，dx是由曲線y，直線x0，x3，y0圍成的封閉圖形的面積，故dx，故選C.(3)f(x)，f(x)dxx2dxdxx3ln xln e.【答案】(1)B(2)C(3),規(guī)律方法1 1.用微積分基本定理求定積分，關(guān)鍵是求出被積函數(shù)的原函數(shù).此外，如果被積函數(shù)是絕對(duì)值函數(shù)或分段函數(shù)，那么可以利用定積分對(duì)積分區(qū)間的可加性，將積分區(qū)間分解，代入相應(yīng)的解析式，分別求出積分值相加.2.根據(jù)定積分的幾何意義可利用面積求定積分.3.若yf(x)為奇函數(shù)，則af(x)dx0.對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練(1)|1x|dx_.(2)1dx_.【解析】(1)|1x|dx|1x|dx|1x|dx(1x)dx(x1)dx1.(2)由定積分的幾何意義知，1dx是由曲線y，直線x1，x0，y0圍成的封閉圖形的面積，故1dx.【答案】(1)1(2)考向二 045利用定積分求平面圖形的面積(1)(xx煙臺(tái)模擬)如圖2132，設(shè)OABC是圖中邊長(zhǎng)分別為1和2的矩形區(qū)域，則矩形OABC內(nèi)位于函數(shù)y(x0)圖象下方的陰影部分區(qū)域面積為()圖2132Aln 2B1ln 2C2ln 2 D1ln 2(2)(xx廣州模擬)曲線yx2與直線ykx(k0)所圍成的曲邊圖形的面積為，則k_.【思路點(diǎn)撥】(1)(2)先求交點(diǎn)坐標(biāo)，確定積分區(qū)間，再利用定積分的幾何意義求面積【嘗試解答】(1)如圖，過D作DEx軸于點(diǎn)E，由圖可知，S陰影SOEDC dx2ln x1ln 2. (2)由得或則曲線yx2與直線ykx(k0)所圍成的曲邊梯形的面積為(kxx2)dxk3，即k38，k2.【答案】(1)D(2)2規(guī)律方法21.求曲邊圖形面積的方法與步驟,(1)畫圖，并將圖形分割為若干個(gè)曲邊梯形；(2)對(duì)每個(gè)曲邊梯形確定其存在的范圍，從而確定積分的上、下限；(3)確定被積函數(shù)；(4)求出各曲邊梯形的面積和，即各積分的絕對(duì)值的和.2.利用定積分求曲邊圖形面積時(shí)，一定要找準(zhǔn)積分上限、下限及被積函數(shù).當(dāng)圖形的邊界不同時(shí)，要分不同情況討論.對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練(1)(xx貴陽(yáng)模擬)由直線x，x，y0與曲線ycos x所圍成的封閉圖形的面積為()A.B1C.D.圖2133(2)已知函數(shù)f(x)x3ax2bx(a，bR)的圖象如圖2133所示，它與x軸在原點(diǎn)處相切，且x軸與函數(shù)圖象所圍區(qū)域(圖中陰影部分)的面積為，則a的值為_【解析】(1)由題意知Scos xdxsin x.(2)f(x)3x22axb，f(0)0，b0，f(x)x3ax2，令f(x)0，得x0或a(a0)S陰影(x3ax2)dxa4，a1.【答案】(1)D(2)1考向三 046定積分物理意義的應(yīng)用物體A以v3t21(m/s)的速度在一直線l上運(yùn)動(dòng)，物體B在直線l上，且在物體A的正前方5 m處，同時(shí)以v10t(m/s)的速度與A同向運(yùn)動(dòng)，出發(fā)后，物體A追上物體B所用的時(shí)間t(s)為()A3B4C5D6【思路點(diǎn)撥】利用定積分分別計(jì)算出物體A、B行駛的路程，然后利用它們之間的關(guān)系求解【嘗試解答】因?yàn)槲矬wA在t秒內(nèi)行駛的路程為(3t21)dt，物體B在t秒內(nèi)行駛的路程為10tdt，所以(3t2110t)dt(t3t5t2)t3t5t25(t5)(t21)0，即t5.故選C.【答案】C規(guī)律方法3利用定積分解決變速直線運(yùn)動(dòng)問題和變力做功問題時(shí)，關(guān)鍵是求出物體做變速直線運(yùn)動(dòng)的速度函數(shù)和變力與位移之間的函數(shù)關(guān)系，確定好積分區(qū)間，得到積分表達(dá)式，再利用微積分基本定理計(jì)算即得所求.對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練設(shè)變力F(x)作用在質(zhì)點(diǎn)M上，使M沿x軸正向從x1運(yùn)動(dòng)到x10，已知F(x)x21且方向和x軸正向相同，則變力F(x)對(duì)質(zhì)點(diǎn)M所做的功為_J(x的單位：m，力的單位：N)【解析】由題意知變力F(x)對(duì)質(zhì)點(diǎn)M所做的功為(x21)dx342.【答案】342易錯(cuò)易誤之五定積分的幾何意義不明不白1個(gè)示范例1個(gè)防錯(cuò)練(2011課標(biāo)全國(guó)卷)由曲線y，直線yx2及y軸所圍成的圖形的面積為()A.B4C.D6【解析】作出曲線y，直線yx2的草圖(如圖所示)，所求面積為陰影部分的面積由得交點(diǎn)A(4,2)因此y與yx2及y軸所圍成的圖形的面積為(x2)dx(x2)dx此處在求解時(shí)，常因不理解定積分的幾何意義，導(dǎo)致不能將封閉圖形的面積正確地用定積分表示.81624.【防范措施】由兩條或兩條以上的曲線圍成的較為復(fù)雜的圖形，在不同的區(qū)段內(nèi)位于上方和下方的函數(shù)有所變化，通過解方程組求出曲線的不同的交點(diǎn)坐標(biāo)，可以將積分區(qū)間進(jìn)行細(xì)化分段，然后根據(jù)圖象對(duì)各個(gè)區(qū)段分別求面積進(jìn)而求和，在每個(gè)區(qū)段上被積函數(shù)均是由上減下；若積分變量選取x運(yùn)算較為復(fù)雜，可以選y為積分變量，同時(shí)更改積分的上下限.求由曲線y，y2x，yx所圍成圖形的面積【解】法一畫出草圖，如圖所示解方程組，及，得交點(diǎn)分別為(1,1)，(0,0)，(3，1)所以Sdxdxdxdx692.法二若選積分變量為y，則三個(gè)函數(shù)分別為xy2，x2y，x3y.因?yàn)樗鼈兊慕稽c(diǎn)分別為(1,1)，(0,0)，(3，1)所以S1(2y)(3y)dy(2y)y2dy1(22y)dy0(2yy2)dy(2yy2)(21)2.