5.1(2) 弧度制 一、教學(xué)內(nèi)容分析本節(jié)課的內(nèi)容主要是學(xué)習(xí)角的一種新的度量.弧度制與角度制一樣，只是度量角的一種方法，但由于學(xué)生有先入為主的想法，所以學(xué)起來(lái)有一定的困難.本堂課首先必須清楚1弧度的概念，它與所在圓的半徑大小無(wú)關(guān).其次弧度制與角度制相比有一定的優(yōu)點(diǎn)，一是在進(jìn)位上角度制在度、分、秒上是60進(jìn)制，而弧度制卻是十進(jìn)制，其二在弧長(zhǎng)和扇形的面積的表示上弧度制也比角度制簡(jiǎn)單. 在教學(xué)時(shí)，可通過(guò)弧度制與角度制對(duì)比來(lái)分析、說(shuō)明應(yīng)用弧度制的度量方法比應(yīng)用角度制的度量方法更具有優(yōu)越性.二、教學(xué)目標(biāo)設(shè)計(jì)(1) 理解弧度的意義，能正確地進(jìn)行弧度與角度的換算，熟記特殊角的弧度數(shù)；(2) 了解角的集合與實(shí)數(shù)集R之間可以建立起一一對(duì)應(yīng)的關(guān)系；(3) 掌握弧度制下的弧長(zhǎng)公式，會(huì)利用弧度解決某些簡(jiǎn)單的實(shí)際問(wèn)題；(4) 在理解弧度制定義的基礎(chǔ)上，領(lǐng)會(huì)弧度制定義的合理性；(5) 通過(guò)學(xué)習(xí)，理解并認(rèn)識(shí)角度制與弧度制都是對(duì)角度量的方法，二者是辯證統(tǒng)一的.三、教學(xué)重點(diǎn)及難點(diǎn)重點(diǎn)：理解弧度制引入的必要性，掌握定義，能熟練地進(jìn)行角度制與弧度制的互化難點(diǎn)：弧度制定義的理解四、教學(xué)流程設(shè)計(jì)實(shí)例引入概念辨析鞏固練習(xí)總結(jié)提煉作業(yè)及反饋拓展與思考五、教學(xué)過(guò)程設(shè)計(jì) 一、情景引入回顧：我們?cè)谄矫鎺缀沃醒芯拷堑亩攘浚?dāng)時(shí)是用度作為單位來(lái)度量角，的角是如何定義的？ 我們規(guī)定把周角的作為度的角把用度作為單位來(lái)度量角的制度叫做角度制.例：已知三角形中兩個(gè)內(nèi)角分別為，求它的另一個(gè)內(nèi)角的大小.在角度制下，當(dāng)把兩個(gè)帶著度、分、秒各單位的角相加、相減時(shí)，由于運(yùn)算進(jìn)率非十進(jìn)制，給我們帶來(lái)不少困難那么我們能否重新選擇角的單位，使在該單位制下兩角的加、減運(yùn)算與常規(guī)的十進(jìn)制加減法一樣去做呢？本節(jié)課就來(lái)嘗試選擇這種新單位二、學(xué)習(xí)新課1、概念形成n 弧度制的定義我們把等于半徑長(zhǎng)的圓弧所對(duì)的圓心角叫做1弧度的角，如圖1，弧的長(zhǎng)等于半徑，弧所對(duì)的圓心角就是弧度的角，弧度制的單位符號(hào)是，讀作弧度圖1的弧度數(shù) 的弧度數(shù) 提問(wèn)：若弧是一個(gè)半圓，則其圓心角的弧度數(shù)是多少？若弧是一個(gè)整圓，則其圓心角的弧度數(shù)是多少？因?yàn)榘雸A的弧長(zhǎng)，其圓心角的弧度數(shù)是，同理，若弧是一個(gè)整圓，其圓心角的弧度數(shù)是在到的角的弧度數(shù)必然適合不等式，角的概念推廣后，弧的概念也隨之推廣，任一正角的弧度數(shù)都是一個(gè)正數(shù)如果圓心角表示一個(gè)負(fù)角，且它所對(duì)的弧長(zhǎng)，則這個(gè)圓心角的弧度數(shù)是，由此我們給出弧度制的定義：一般地，正角的弧度數(shù)是一個(gè)正數(shù)，負(fù)角的弧度數(shù)是一個(gè)負(fù)數(shù)，零角的弧度數(shù)是0；角的弧度數(shù)的絕對(duì)值，其中是以角作為圓心角時(shí)所對(duì)的弧長(zhǎng)， 是圓的半徑，這種以弧度作為單位來(lái)度量角的單位制，叫做弧度制提問(wèn)：為什么可以用弧長(zhǎng)與其半徑的比值來(lái)度量角的大小呢？即這個(gè)比值是否與所取的圓的半徑大小無(wú)關(guān)呢？ （易證以角為圓心角所對(duì)的弧長(zhǎng)與其半徑的比值，由的大小來(lái)確定，與所取的半徑大小無(wú)關(guān)，僅與角的大小有關(guān)）因?yàn)椋梢缘玫?，那弧長(zhǎng)等于圓弧所對(duì)圓心角的弧度數(shù)的絕對(duì)值與半徑的積，這個(gè)公式比采用角度制時(shí)相應(yīng)公式要簡(jiǎn)單問(wèn)題：試用角的弧度數(shù)表示扇形的面積公式.扇形面積公式：.2、角度制與弧度制的互化用“弧度”與“度”去度量每一個(gè)角時(shí)，除了零角以外，所得到的量數(shù)都是不同的，但它們既然是度量同一個(gè)角的結(jié)果，二者就可以相互換算我們已經(jīng)知道：若弧是一個(gè)整圓，它的圓心角是周角，其弧度數(shù)是，而在角度制里它是，因此，兩邊除以2，得若將等式兩邊同除以180，得；同理，若將等式兩邊同除以，得（即）例1：把角化為弧度制.答：.例2：把角化為角度制.答：.說(shuō)明在進(jìn)行角度制與弧度制互化時(shí)要抓住這個(gè)關(guān)鍵下面請(qǐng)大家寫(xiě)出一些特殊角的弧度數(shù)角度 弧度 按從左至右順序其答案是：、今后我們用弧度制表示角的時(shí)候，“弧度”二字或“”通常省略不寫(xiě)，而只寫(xiě)相應(yīng)的弧度數(shù)例如：角就表示是弧度的角，就表示弧度的角的余弦，即例3：計(jì)算下列各式的值(1) (2) (精確到)答： (1) ；（2）.說(shuō)明第（2）小題使用計(jì)算器計(jì)算，教師可提醒學(xué)生注意計(jì)算器的設(shè)置，需根據(jù)問(wèn)題，選擇角度制還是弧度制.3、角度制與弧度制的比較引進(jìn)弧度制后，我們應(yīng)將它與角度制進(jìn)行比較，同學(xué)們應(yīng)明確： 弧度制是以“弧度”為單位度量角的制度，角度制是以“度”為單位度量角的制度； 弧度是等于半徑長(zhǎng)的圓弧所對(duì)的圓心角（或該弧）的大小，而是圓的所對(duì)的圓心角的大??； 不論是以“弧度”還是以“度”為單位的角的大小都是一個(gè)與半徑大小無(wú)關(guān)的定值4、角的集合與實(shí)數(shù)集R之間的一一對(duì)應(yīng)正角零角負(fù)角正數(shù)零負(fù)數(shù)用弧度制來(lái)度量角，實(shí)際上是在角的集合與實(shí)數(shù)集R之間建立這樣的一一對(duì)應(yīng)關(guān)系（如圖2所示）圖2每一個(gè)角都有唯一的一個(gè)實(shí)數(shù)（即這個(gè)角的弧度數(shù)）與它對(duì)應(yīng)；反過(guò)來(lái)，每一個(gè)實(shí)數(shù)也都有唯一的一個(gè)角（角的弧度數(shù)等于這個(gè)實(shí)數(shù)）與它對(duì)應(yīng)說(shuō)明以后我們將要學(xué)習(xí)的三角函數(shù)看成是以實(shí)數(shù)為自變量的函數(shù)，它的自變量的意義可以有多種解釋，從而使三角函數(shù)的應(yīng)用更加廣泛，在數(shù)學(xué)與科學(xué)研究中普遍采用弧度制，這是重要的原因之一例4：下列各角中哪幾個(gè)是第二象限角？(1) (2) (3) (4) (5) (6) 答：(1) (2) (3) (4) (5) (6) 從而可知(2)、(4)、(5)所給的角在第二象限內(nèi).說(shuō)明： 用弧度制表示終邊重合的角的方法； 把一角化為形式，其中，從而可判斷角所在的象限 在同一問(wèn)題求解過(guò)程中，兩種單位不能混用，如 寫(xiě)法不妥例5：填空(1) 在內(nèi)與終邊重合的角是_.(2) 圓的弧長(zhǎng)等于該圓內(nèi)接正三角形的邊長(zhǎng)，則該弧所對(duì)的圓心角的弧度數(shù)是_.(3) 在扇形中，弧長(zhǎng)為，則此扇形內(nèi)切圓的面積是_.答：(1) ；(2) ；(3).三、鞏固練習(xí)練習(xí)5.1（2）四、課堂小結(jié)（1）弧度制的定義；（2）弧度制與角度制之間的互化（）；（3）扇形弧長(zhǎng)公式：，扇形面積公式：；（4）掌握用弧度制表示終邊重合的角；（5）理解弧度制的思想.五、課后作業(yè)練習(xí)冊(cè) P1315習(xí)題5.1 A組 1.(2)，3，4，5，7習(xí)題5.1 B組 3，4六、教學(xué)設(shè)計(jì)說(shuō)明1、 要使學(xué)生理解弧度制與引入弧度制的必要性.弧度制與角度制一樣，只是度量角的一種方法，但由于學(xué)生有先入為主的想法，所以學(xué)起來(lái)有一定的困難. 首先必須清楚1弧度的概念，它與所在圓的半徑大小無(wú)關(guān).其次弧度制與角度制相比有一定的優(yōu)點(diǎn)，一是在進(jìn)位上角度制在度、分、秒上是六十進(jìn)制，而弧度制卻是十進(jìn)制；其二在弧長(zhǎng)和扇形的面積的表示上弧度制也比角度制簡(jiǎn)單. 在教學(xué)時(shí)，通過(guò)弧度制與角度制對(duì)比分析、說(shuō)明應(yīng)用弧度制的度量比應(yīng)用角度制的度量方法具有優(yōu)越性；2、 關(guān)于弧度制與角度制之間互化，教學(xué)時(shí)要抓住這個(gè)關(guān)鍵引導(dǎo)學(xué)生.3、 教學(xué)應(yīng)注意強(qiáng)調(diào)在同一式中，所采用的單位必須一致.