2019-2020年高考數(shù)學大一輪復習 第五章 第30課 正弦定理與解三角形自主學習.doc
2019-2020年高考數(shù)學大一輪復習 第五章 第30課 正弦定理與解三角形自主學習1. 利用平面幾何知識及三角函數(shù)知識可以證明正弦定理.正弦定理:=2R(其中R為ABC的外接圓的半徑,下同). 變式:(1) a=2Rsin A,b=2Rsin B,c=2Rsin C;(2) sin A=,sin B=,sin C=;(3) abc=sin Asin Bsin C;?(4) =(等比性質).2. 利用正弦定理,可以解決以下兩類解斜三角形的問題:(1) 已知兩角與任一邊,求其他兩邊和一角;(2) 已知兩邊與其中一邊的對角,求另一邊的對角(從而進一步求出其他的邊和角). 對于“已知兩邊與其中一邊的對角,求另一邊的對角(從而進一步求出其他的邊和角)”的題型,可能出現(xiàn)多解或無解的情況.驗證解的情況可用數(shù)形結合法. 如:已知a,b和A,用正弦定理求B,解的情況如下:若A為銳角,則a<bsin A無解a=bsin A一解bsin A<a<b兩解ab一解若A為直角或鈍角,則 無解 一解3. 由正弦定理,可得三角形面積公式:SABC=absin C=bcsin A=acsin B=r(a+b+c)(r為內切圓半徑).?4. 三角形內角定理的變形:由A+B+C=,知A=-(B+C),可得出:sin A=sin(B+C),cos A=-cos(B+C). 而=-,有sin=cos,cos=sin.1. (必修5P7例1改編)設銳角三角形ABC的內角A,B,C的對邊分別為a,b,c,若a=2bsin A,則B=.答案解析由正弦定理得sin A=2sin Bsin A,則sin B=,B為銳角,所以B=.2. (必修5P10習題3改編)在ABC中,若A=60,a=,則=.答案2解析利用正弦定理及等比性質得=2.3. (必修5P11習題6改編)在ABC中,若a=2,b=3,C=,則ABC的面積大小為.答案解析SABC=absinC=23sin=.4. (必修5P10練習2改編)在ABC中,已知a=5,c=10,A=30,那么B=.答案105或15解析先由正弦定理求角C,再由三角形內角和求角B,要特別注意由正弦定理求角C時,應根據(jù)c>a,A=30,得角C有兩個解.故B=105或15.5. (必修5P9例4改編)在ABC中,若=,則ABC的形狀為.答案正三角形解析由題意及正弦定理得=,即tanA=tanB=tanC,所以A=B=C,故ABC是正三角形.