2019-2020年高考數(shù)學(xué)考前指導(dǎo) 導(dǎo)數(shù)與函數(shù)練習(xí)題題目1：已知（），（）.（）判斷函數(shù)的單調(diào)性，給出你的結(jié)論；（）設(shè)，討論函數(shù)的圖象與直線（）公共點(diǎn)的個(gè)數(shù)；（）若數(shù)列的各項(xiàng)均為正數(shù)，在時(shí)，（），求證：.變式：求證：（）.解：（）求導(dǎo)，由得.當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，.所以函數(shù)在上是增函數(shù)，在上是減函數(shù).（）當(dāng)時(shí)，函數(shù)的圖象與直線（）公共點(diǎn)的個(gè)數(shù)等價(jià)于曲線與直線 （）公共點(diǎn)的個(gè)數(shù).令，則，所以.當(dāng)時(shí)，在上是增函數(shù)；當(dāng)時(shí)，在上是減函數(shù).所以，在上的最大值為，且，.如圖：于是 當(dāng)時(shí)，函數(shù)的圖象與直線（）有2個(gè)公共點(diǎn)； 當(dāng)時(shí)，函數(shù)的圖象與直線（）有1個(gè)公共點(diǎn)； 當(dāng)時(shí)，函數(shù)的圖象與直線（）有0個(gè)公共點(diǎn).（）由題意，正項(xiàng)數(shù)列滿足：，由（）知：，即有不等式（）由已知條件知，故，所以當(dāng)時(shí)，以上格式相乘得: ，又，故，即，對(duì)也成立.所以有（）（）.理科生此題也可用數(shù)學(xué)歸納法證明,證明如下：當(dāng)時(shí)，即（）成立；假設(shè)時(shí)，成立，那么，當(dāng)時(shí)，由（）知：，即有不等式（）于是，即有也成立，綜上可知（）式成立.變式的證明如下：由，得，所以有，即（）.說(shuō)明：此題是一道函數(shù)、數(shù)列與不等式的綜合問(wèn)題，共設(shè)置三問(wèn)，難易梯度明顯.第問(wèn)（）考查基本函數(shù)的單調(diào)性，比較簡(jiǎn)單；第（）問(wèn)在考查函數(shù)單調(diào)性的同時(shí)，還重點(diǎn)考查了函數(shù)的圖象，滲透數(shù)形結(jié)合思想，由于解決時(shí)要將原問(wèn)題“討論函數(shù)的圖象與直線（）公共點(diǎn)的個(gè)數(shù)”轉(zhuǎn)化為“討論曲線與直線 （）公共點(diǎn)的個(gè)數(shù)”，這一轉(zhuǎn)化有一定的思維難度，因此難度明顯大于第（）問(wèn)；第（）問(wèn)考查數(shù)列與不等式，證明數(shù)列與不等式時(shí)，代數(shù)變形的難度較大，其變形的目的性不好把控，是真正的壓軸點(diǎn)所在.題目的來(lái)源與發(fā)展：此題的第（）問(wèn)用了第（）問(wèn)的更深一步的結(jié)論，也是一個(gè)常遇到的結(jié)論：對(duì)于，不等式恒成立，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，從圖象上看就是直線是對(duì)數(shù)函數(shù)在處的切線，且除了切點(diǎn)外，對(duì)數(shù)函數(shù)的圖象恒在直線圖象的下方，其關(guān)系如圖： 11因此我們就有這樣的結(jié)論：直線（）與函數(shù)的圖象的公共點(diǎn)的個(gè)數(shù)，當(dāng)時(shí)，有2個(gè)公共點(diǎn)；當(dāng)時(shí)，有1個(gè)公共點(diǎn)；當(dāng)時(shí)，有0個(gè)公共點(diǎn).這么看，第（）問(wèn)與第（）也有淵源，因?yàn)椤霸O(shè)，討論函數(shù)的圖象與直線（）公共點(diǎn)的個(gè)數(shù)”就是等價(jià)于研究“方程（）解的個(gè)數(shù)”，我們對(duì)方程作變形處理得，即，若令，即有，這樣問(wèn)題就回歸到直線（）與函數(shù)的圖象的公共點(diǎn)的個(gè)數(shù)的問(wèn)題上.這么看，本題的第（）（）兩問(wèn)，都是在簡(jiǎn)單的第（）問(wèn)的基礎(chǔ)上向前發(fā)展起來(lái)的。對(duì)于直線與也有類似的結(jié)論.題目2：已知函數(shù)（為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)）（）求的單調(diào)區(qū)間；（）是否存在正實(shí)數(shù)使得，若存在求出，否則說(shuō)明理由；（）若存在不等實(shí)數(shù)，使得，證明：.解：（）函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間是，單調(diào)遞增區(qū)間為.（）不存在正實(shí)數(shù)使得成立.事實(shí)上，由（）知函數(shù)在上遞增，而當(dāng)，有，在上遞減，有，因此，若存在正實(shí)數(shù)使得，必有.令，則，因?yàn)椋?，所以為上的增函?shù)，所以，即，故不存在正實(shí)數(shù)使得成立.（）若存在不等實(shí)數(shù)，使得，則和中，必有一個(gè)在，另一個(gè)在，不妨設(shè)，.若，則，由（）知：函數(shù)在上單調(diào)遞減，所以；若，由（）知：當(dāng)，則有，而所以，即而，由（）知：函數(shù)在上單調(diào)遞減，所以，即有，由（）知：函數(shù)在上單調(diào)遞減，所以；綜合，得：若存在不等實(shí)數(shù)，使得，則總有.說(shuō)明：由軸對(duì)稱函數(shù)的性質(zhì)啟發(fā)命制該題，將函數(shù)的單調(diào)性，方程的根、導(dǎo)函數(shù)，不等式知識(shí)融為一體，考查學(xué)生的等價(jià)轉(zhuǎn)化能力，分析問(wèn)題，解決問(wèn)題的能力。分步設(shè)問(wèn)，逐層遞進(jìn)，敘述簡(jiǎn)潔，具有較高的區(qū)分度。題目的來(lái)源與發(fā)展：（1）其實(shí)本題也來(lái)源于直線與的關(guān)系.因?yàn)椋?，則得，則轉(zhuǎn)化為直線與的關(guān)系；（2）若函數(shù)的圖象關(guān)于對(duì)稱，則有；因此軸對(duì)稱函數(shù)一定會(huì)有函數(shù)值相等的點(diǎn)，但有函數(shù)值相等的點(diǎn)，未必有對(duì)稱軸，本題第（）（）問(wèn)就是基于弄清楚這一點(diǎn)來(lái)命制的，因此掌握概念的本質(zhì)是關(guān)鍵.